P1 2015 2

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno Costa, Paulo Goldfeld e Cesar
Niche
Data: 1 de Outubro de 2015
Primeira Prova
1. Deseja-se encontrar o polinômio da forma p(x) =
a0 + a1(x + 1) + a2x(x + 1) cujo gráfico passe pelos
pontos (−1, 2), (0, 3) e (1, 0). O vetor de coeficientes
(a0, a1, a2):
(a) é solução do sistema linear representado por 1 −1 1 21 0 0 3
1 1 1 0
 .
(b) é solução do sistema linear representado por 1 0 0 21 1 0 3
1 2 2 0
 .
(c) é solução do sistema linear representado por[ −1 0 1 0
2 3 0 0
]
.
(d) não pode ser calculado pela solução de um sis-
tema linear, pois trata-se de um problema qua-
drático.
(e) Não sei.
2. Seja A uma matriz m× n, com m < n, tal que a
dimensão da imagem de A é igual a m.
I. A~x = ~b nem sempre tem solução.
II. Quando A~x = ~b tem solução, a solução não é
única.
(a) I é verdadeira, mas II é falsa.
(b) I é falsa, mas II é verdadeira.
(c) I e II são verdadeiras.
(d) I e II são falsas.
(e) Não sei.
3. Qual conjunto abaixo pode ser uma base para a ima-
gem de uma matriz A3×5?
(a) Um conjunto de 5 vetores em R3
(b) Um conjunto de 5 vetores em R5
(c) Um conjunto de 3 vetores em R5
(d) Um conjunto de 3 vetores em R3
(e) Não sei.
4. Seja A =
 1 2 02 1 3
3 2 4

e seja H a imagem de A.
Assinale a alternativa verdadeira:
(a) {(1, 2, 0), (2, 1, 3), (3, 2, 4)} é base de H.
(b) H é gerado por (1, 2, 0), (2, 1, 3) e (3, 2, 4).
(c) H é gerado por (1, 2, 3), (2, 1, 2) e (0, 3, 4).
(d) {(1, 2, 3), (2, 1, 2), (0, 3, 4)} é base de H.
(e) Não sei.
5. Seja R2 o conjunto dos pares ordenados de números
reais munido da soma usual. Considere as seguintes
operações de produto por um escalar k ∈ R:
k · (x, y) = (kx, ky), k ∗ (x, y) = (k2x, k2y)
(a) o produto ∗ não é distributivo com relação à
soma vetorial.
(b) o produto ∗ é distributivo com relação à soma
de escalares.
(c) (R,+, ∗) não é um espaço vetorial.
(d) (R,+, ·) não é um espaço vetorial.
(e) Não sei.
6. Seja A uma matrix 4 × 2. Deseja-se construir uma
matriz M de forma que o produto C = AM seja uma
matriz 4× 2 satisfazendo:
i. A primeira coluna de C é igual à soma das colunas
de A;
ii. A segunda coluna de C é igual à diferença entre
as colunas de A;
Qual a soma de todos os elementos da matriz
M?
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) 4
(e) Não sei.
7. Considere a matriz A5×5, cujas linhas são
~v1, ~v2, . . . , ~v5. É dado que uma forma escalonada de
A é
A ∼

0 1 4 7 9
0 0 4 5 6
0 0 0 2 3
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
 .
Qual dos seguintes conjuntos gera R5? (Abaixo, ~ej
indica o vetor (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), cuja única entrada
não-nula é a j-ésima.)
(a) {~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5, ~e2, ~e3, ~e4}
(b) {~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5}
(c) {~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5, ~e1, ~e2}
(d) {~v1, ~v2, ~v3, ~v4, ~v5, ~e1, ~e5}
(e) Não sei.
Turma: Nome: Teste 1, pág. 1
8. Considere as afirmativas:
I. A~x = ~0 tem solução única se e só se as colunas de
A são linearmente independentes.
II. A~x = ~b tem solução para todo ~b se e só se as linhas
de A são linearmente independentes.
(a) I e II são verdadeiras.
(b) I é verdadeira, mas II é falsa.
(c) I é falsa, mas II é verdadeira.
(d) I e II são falsas.
(e) Não sei.
9. O vetor (4, 5, 5) pode ser expresso como (4, 5, 5) =
a(1, 1, 1) + b(1, 2, 3) + c(1, 2, 4). O coeficiente c vale:
(a) 2
(b) -1
(c) 1
(d) -2
(e) Não sei.
10. Seja H o conjunto dos polinômios da forma p(x) =
ax2+bx+c que satisfazem p(2) = 2p(1). A dimensão
de H é:
(a) não está definida, pois H não é subespaço.
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) Não sei.
11. (QUESTÃO EXTRA) Seja Sp(2) o conjunto das
matrizes M ∈ M2(R) tais que M tJM = J , onde
J =
[
0 −1
1 0
]
. Seja M =
[
a b
c d
]
. Considere as
seguintes afirmações:
I. Se M ∈ Sp(2), então ad− bc = 1.
II. Sp(2) é um subespaço vetorial deM2(R).
(a) I é verdadeira, II é falsa.
(b) I e II são falsas.
(c) I é falsa, II é verdadeira.
(d) I e II são verdadeiras.
(e) Não sei.
12. Sejam A =
[
1 2 3 4
1 2 4 3
]
e B =
[
1 2 5 4
1 2 4 4
]
.
Defina H = N(A)∩N(B) (interseção do núcleo de A
com o núcleo de B). A dimensão de H é:
(a) 0
(b) 3
(c) 1
(d) 2
(e) Não sei.
13. Sejam A uma matriz e B a sua forma escalonada.
Considere as seguintes afirmativas:
I. As colunas de B são combinações lineares das co-
lunas de A.
II. As linhas de B são combinações lineares das linhas
de A.
(a) I é verdadeira, II é falsa.
(b) I e II são verdadeiras.
(c) I e II são falsas.
(d) I é falsa, II é verdadeira.
(e) Não sei.
14. Quais das expressões abaixoNÃO REPRESENTA
a solução geral do sistema:{
x+ y + z + w = 4
x− y + z + w = 6
(a) (5− t− s,−1, 2t+ 2s,−t− s),∀t, s ∈ R
(b) (4− t− s,−1, 1 + t, s),∀t, s ∈ R
(c) (4− t− s,−1, t, 1 + s),∀t, s ∈ R
(d) (3− t− s,−1, 1 + t, 1 + s),∀t, s ∈ R
(e) Não sei.
15. Sejam Am×n e Bn×m duas matrizes cujo produto é
a matriz nula, isto é, AB = 0m×m. Pode-se afirmar
que:
(a) BA = 0n×n.
(b) A = 0m×n ou B = 0n×m.
(c) O conjunto das linhas de A é linearmente depen-
dente ou o conjunto das colunas de B é linear-
mente dependente.
(d) O conjunto das colunas de A é linearmente de-
pendente ou o conjunto das linhas de B é line-
armente dependente.
(e) Não sei.
Turma: Nome: Teste 1, pág. 2
1 B
2 B
3 D
4 C
5 C
6 A
7 D
8 A
9 B
10 C
11 A
12 C
13 D
14 A
15 D
Turma: Nome: Teste 1, pág. 3