Cálculo Diferencial E Integral (157)

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Prof. Constantino 
Notas de Aula: Campo Vetorial, Rotacional e Divergência 
 
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1. CAMPO VETORIAL: 
Para visualizarmos um campo vetorial, basta desenharmos setas representando os vetores 
F(x,y) começando de um ponto (x, y), evidentemente fazermos setas para todos os vetores é 
algo impossível, por isto basta fazer isso para alguns pontos representativos em D, como na 
figura que segue: 
 
 
 
Geralmente um campo vetorial é uma função cujo domínio é um conjunto de pontos do 
𝑅2 𝑜𝑢 𝑅3 e cuja imagem é um conjunto de vetores em 𝑉2𝑜𝑢 𝑉3. 
1.1. Definição: 
Seja D um conjunto em 𝑅2(uma região plana). Um campo vetorial sobre 𝑅2 é uma função F 
que associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional F(x, y). 
Como F(x, y)é um vetor bidimensional, podemos escrever em termos de suas funções 
componentes P e Q: 
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝒊 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝒋 = 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 → 𝑭 = 𝑃 𝒊 + 𝑄 𝒋 
 
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Note que P e Q são funções escalares de duas variáveis e são denotadas, algumas vezes, 
campos escalares, com o objetivo de diferenciar dos campos vetoriais. 
Definição: Seja E um subconjunto do R3. Um campo vetorial sobre o R3 é uma função F que 
associa a cada ponto(x, y, z) em E um vetor tridimensional F(x, y, z). 
Como às vezes identificamos o ponto (x, y, z) com seu vetor de posição x =<x, y, z> e 
escrevemos F(x) em vez de F(x, y, z).Então F é uma função que associa um vetor F(x) ao vetor x. 
1.2. ROTACIONAL E DIVERGÊNCIA 
Essas duas operações, de ser realizadas com campos vetoriais e que são básicas nas aplicações 
de cálculo vetorial à mecânica dos fluidos e à eletricidade e magnetismo. Cada operação 
lembra uma diferenciação, mas uma produz um campo vetorial enquanto a outra gera um 
campo escalar. 
1.2.1. ROTACIONAL 
O termo rotacional significa o vetor que está associado com rotações. 
Podemos observar tal fenômeno quando: 
 da atuação da função F no campo de velocidade em mecânica dos fluidos; 
 Partículas perto (x, y, z) no fluido tendem a rodar em torno do eixo que aponta na 
direção de rot F (x,y,z). O comprimento do vetor rotacional determina o quão rápido 
as partículas se movem em torno desse eixo. Assim, quando: rot F = 0, no ponto P, 
então o fluido não gira em P e F é chamado de irrotacional em P; quando rot F  0 
temos rotação no ponto especificado. Verifique a ação do rotacional na figura que 
segue: 
 
Se 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅 k é um campo vetorial sobre 𝑅3 e as derivadas parciais de P, Q e R 
existem, então o Rotacional de F é um campo vetorial sobre 𝑅3 definido por 
𝑟𝑜𝑡 𝑭 = 
𝜕𝑅
𝜕𝑦
− 
𝜕𝑄
𝜕𝑧
 𝒊 + 
𝜕𝑃
𝜕𝑧
− 
𝜕𝑅
𝜕𝑥
 𝒋 + 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
− 
𝜕𝑃
𝜕𝑦
 𝒌 
 
 
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Essa equação pode ser reescrita como: 
𝑟𝑜𝑡 𝑭 = ∇ 𝑥 𝐹 = 
𝒊 𝒋 𝒌
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑷 𝑸 𝑹
 
Exemplo: Se F(x, y,z) = xz i + xyz j – y2 k, DETERMINE o rotacional de F 
𝑟𝑜𝑡 𝑭 = ∇ 𝑥 𝐹 = 
𝒊 𝒋 𝒌
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑷 𝑸 𝑹
 
= ( - 2y – xy)i – (0 – x)j + (yz – 0) k 
= -y(2 + x)i + xj + yz k 
TEOREMA: Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem 
contínuas, então: 
𝒓𝒐𝒕 𝛁𝒇 = 𝟎 
O que nos permite afirmar que um campo vetorial será conservativo se rot F = 0 
Exemplo: 
 𝒂 Mostre que𝑭 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦2𝑧3 𝒊 + 2𝑥𝑦𝑧3 𝒋 + 3𝑥𝑦2𝑧2 𝒌 é 𝑢𝑚 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
 
 
𝒂) 𝑟𝑜𝑡 𝑭 = 𝛁 𝒙 𝑭 = 𝟔𝒙𝒚𝒛𝟐 − 𝟔𝒙𝒚𝒛𝟐 𝒊 − 3𝑦2𝑧2 − 3𝑦2𝑧2 𝒋 + 2𝑦𝑧3 − 2𝑦𝑧3 𝒌
𝑟𝑜𝑡 𝑭 = 𝟎 
 
Como rot F = 0 e o domínio de F é R
3
, f é um campo vetorial conservativo. 
 
1.2.2. DIVERGÊNCIA 
O termo divergência pode ser entendida na mecânica dos fluidos como a velocidade de um 
líquido. Se F (x, y, z) é a velocidade de um líquido (ou gás), então div F(x,y,z) representa a taxa 
líquida de variação ( com relação ao tempo) da massa do líquido (ou gás) fluindo no ponto (x, 
y, z) por unidade de volume, ou seja, div F (x, y, z) mede a tendência de o fluido diferir do 
ponto (x, y,z). 
Se div F = 0, então F é dito incompressível. 
Se F = P i + Q j + R k é um campo vetorial em R3 e existem 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
 ;
𝜕𝑄
𝜕𝑦
 𝑒
𝜕𝑅
𝜕𝑧
 , então a divergência 
de F é a função de três variáveis definida por 
div F = 
𝜕𝑃
𝜕𝑥
+
𝜕𝑄
𝜕𝑦
+
𝜕𝑅
𝜕𝑧
 
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Observando que rot F é um campo vetorial, mas div F é um campo escalar, podemos associar o 
operador gradiente ∇ = 
𝜕
𝜕𝑥
 𝒊 + 𝜕
𝜕𝑦
 𝒋 + 𝜕
𝜕𝑧
 𝒌, a divergência de F pode ser escrita 
simbolicamente como o produto escalar de ∇ 𝑒 𝑭: 
div F = ∇ ∙ 𝑭 
 
Exemplo: 
Se 𝑭 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑧 𝒊 + 𝑥𝑦𝑧 𝒋 − 𝑦2𝒌 ache div F 
Solução: 
𝐼) 𝑑𝑖𝑣 𝑭 = ∇ ∙ 𝐹 = = 
𝜕
𝜕𝑥
 𝑥𝑧 +
𝜕
𝜕𝑦
 (𝑥𝑦𝑧) +
𝜕
𝜕𝑧
(−𝑦2)
𝐼𝐼) 𝑑𝑖𝑣 𝑭 = 𝑧 + 𝑥𝑧 
 
 
Links interessantes: 
https://pt.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/partial_derivatives_topic