lista 3

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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Professor: Carlos Nascimento e Edilaine
Lista 3 - 2017/2
0. Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
a)
f : R2 −→ R2
(x, y) 7−→ (x+ y, x− y)
b)
g : R2 −→ R
(x, y) 7−→ xy
c)
h :M2 −→ R2[
a b
c d
]
7−→ (a+ b, c− d)
d) M : R3 −→ R2; M(x, y, z) = ( x y z )
 1 20 −1
1 1

e)
N : R −→ R
x 7−→ |x|
1. Sejam α = {(1,−1), (0, 2)} e β = {(1, 0,−1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de R2 e R3 respectivamente
e [T ]αβ =
 1 01 1
0 −1

a) Ache T .
b) Se S(x, y) = (2y, x− y, x), ache [S]αβ .
c) DetermineKerT, ImT, ImS,KerS e comprove a validade do Teorema do Núcleo e da Imagem.
2. Considere a transformação linear T : R3 −→ R3 dada por T (x, y, z) = (z, x− y,−z).
a) Determine uma base do núcleo de T .
b) Dê a dimensão da imagem de T .
c) T é sobrejetora? Justifique.
d) Determine KerT e ImT .
3. Seja T : R3 −→ R2 uma transformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e
T (1, 0, 0) = (3, 4).
a) Determinar T (x, y, z).
b) Determinar v ∈ R3 tal que T (v) = (−3,−2).
c) Determinar v ∈ R3 tal que T (v) = (0, 0).
4. Para cada uma das transformações lineares a seguir, determinar o núcleo, a imagem, uma base
e a dimensão para cada um desses subespaços. Determine se T é injetora e/ou sobrejetora.
a) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (3x− y,−3x+ y)
b) T : R2 −→ R3, T (x, y) = (x+ y, x, 2y)
c) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x− y − 2z,−x+ 2y + z, x− 3z)
d) T :M(2, 2) −→ R2, T
([
a b
c d
])
= (a− b, a+ b)
5. Considere a transformação linear T : R3 −→ R2 definida por T (x, y, z) = (2x+y− z, x+2y) e as
bases A = {(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} do R3 e B = {(−1, 1), (0, 1)} do R2. Determine a matriz
[T ]AB.
6. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R2 −→ R3 nas bases A = {(−1, 1), (1, 0)}
do R2 e B = {(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R3 é:
[T ]AB =
 3 12 5
1 −1

encontrar a expressão de T (x, y) e a matriz [T ].
7. Seja T o operador linear dado pela matriz:
 1 2 −12 0 1
1 −2 2

a) Calcular KerT e dim(KerT ).
b) Calcular ImT e dim(ImT ).
8. Sejam F : R2 −→M(2, 2) uma transformação linear e α e β as bases canônicas de R2 e M(2, 2),
respectivamente. Sabendo que
[F ]αβ =

1 0
2 1
3 −2
−1 2
 ,
determinar:
a) F (1, 0) b) F (0, 1) c) F (x, y) d) (a, b) tal que F (a, b) =
[
1 −2
3 4
]
9. Verifique se o vetor v ∈ V pertence ao núcleo da transformação linear T : V −→ W , em cada
caso:
1. V = R3; W = R2; T (x, y) = (x+ y − z, 3y + z); v = (4,−1, 3).
2. V = R3; W = R2; T (x, y, z) = (x+ y − z, 3y + z); v = (1,−1, 2).
3. V =M2(R); W = R; T
(
a11 a22
a21 a22
)
= a11 + a12 + 2a21 + 2a22; v =
[
1 3
3 −5
]
.
10. Considere o operador linear
T : R2 → R2
(x, y)→ (y, 2y).
Mostre que λ = 2 é um autovalor de T e vetores da forma (a, 2a) são autovetores associados.
11. Encontre os autovalores e autovetores associados dos operadores lineares abaixo:
a) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (2x, y)
b) T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (x+ y, 2x+ y)
c) T : R3 → R3 tal que (x, y, z) 7→ (x+ y, x− y + 2z, 2x+ y − z)
d) T : R4 → R4 tal que (x, y, z, w) 7→ (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + w)
12. Encontre o operador linear T : R2 → R2, tal que T tenha autovalores −2 e 3 associados aos
autovetores (3a, a) e (−2a, a), respectivamente.
13. Ache os autovalores e os autovetores associados das seguintes matrizes:
2
a)
[
1 2
0 −1
]
b)
[
1 1
1 1
]
c)
 1 2 30 1 2
0 0 1

d)
 3 −3 −40 3 5
0 0 −1

e)
 1 0 2−1 0 1
1 1 2

f)
 1 1 21 2 1
2 1 1

g)
 0 1 00 0 1
−1 0 0

h)
 1 3 −30 4 0
−3 3 1

i)
 −1 −4 142 −7 14
2 −4 11

j)

2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0

14. Mostre que se λ é autovalor do operador T : V → V e v é um autovetor associado a ele, então
kv, onde k 6= 0, é também um autovetor de T associado a λ.
15. Se T : V → V é um operador linear e λ ∈ R, mostre que Wλ = {v ∈ V | T (v) = λv} é um
subespaço de V .
17. Seja A =
[
0 2
1 1
]
a) Ache os autovalores de A e A−1.
b) Quais são os autovetores associados?
20. Seja T : V → V um operador linear.
a) Se λ = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora.
b) A recíproca é verdadeira? Ou seja, se T não é injetora, então λ = 0 é autovalor de T?
23. Dada a matriz

2 1 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3

A é diagonalizável?
24. Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
a) A =
[
1 1
0 a
]
b) B =
[
1 a
0 1
]
25. Sejam T : R3 −→ R3 linear, α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, a base canônica de R3, β =
{(0, 1, 1), (0,−1, 1), (1, 0, 1)} e [T ]αα =
 2 0 10 −3 1
0 0 −3
 .
a)Encontre o polinômio característico de T , os autovalores de T e os autovetores correspondentes.
b) Ache [T ]ββ e o polinômio característico. Que observação você faz a este respeito?
c) Encontre uma base γ de R3, se for possível, tal que [T ]γγ seja diagonal.
28. Mostre que A =
[
1 1
0 1
]
não é diagonalizável.
30. Sejam T : V → V operador linear e λ um autovalor de T . Lembramos que o conjunto
Vλ = {v ∈ V : T (v) = λv}
é um subespaço vetorial de V , chamado de Autoespaço associado a λ.
3
Encontre todos os autovalores e uma base de cada autoespaço do operador T : R3 → R3 definido
por:
T (x, y, z) = (2x+ y, y − z, 2y + 4z).
Nos exercícios a seguir, se não for mencionado qual o produto interno a ser considerado, utilize
o produto interno usual do respectivo espaço.
31. Sejam u = (x1, x2), v = (y1, y2) vetores em R2. Verifique que
< u, v >= x1y1 − x1y2 − x2y1 + 3x2y2
é um produto interno em R2.
32. Encontre a norma de v = (3, 4) ∈ R2 com relação ao produto interno usual e também com relação
ao produto interno definido no exercício anterior.
33. Normalize cada um dos seguintes vetores no espaço euclidiano R3: u = (2, 1,−1), v = (1/2, 2/3,−1/4).
34. Seja V o espaço vetorial dos polinômios, com produto interno dado por
< f, g >=
∫ 1
0
f(t)g(t).
Sejam f(t) = t+ 2, g(t) = t2 − 2t− 3. Encontre: < f, g > e ||f ||.
35. Mostre que, se u é ortogonal a v, então todo múltiplo escalar de u também é ortogonal a v.
Encontre um vetor unitário ortogonal a v1 = (1, 1, 2) e v2 = (0, 1, 3) em R3.
36. Seja W o subespaço de R5 gerado por u = (1, 2, 3,−1, 2) e v = (2, 4, 7, 2,−1). Encontre uma
base para o complemento ortogonal W⊥ de W .
37. Seja β = {(1, 2), (2, 1)}. Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base ortonormal β′
de R2, em relação ao produto interno usual.
38. Seja β = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)}. Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma base
ortonormal β′ de R3, em relação ao produto interno usual.
39. Considere o produto interno definido em R2 por: dados u = (x1, y1), v = (x2, y2),
< u, v >= 2x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2.
Seja β = {(−1, 1), (1, 1)}. Encontre uma base ortonormal β′ de R2, em relação ao produto interno
definido acima.
40. SejaW o subespaço de R3 gerado por (1, 0, 1), (1, 1, 0). Encontre uma base paraW⊥, com relação
ao produto interno usual.
41. Sejam T : R3 → R3, operador definido por
T (x, y, z) = (z, x− y,−z),
e W = kerT . Encontre uma base para W⊥, com relação ao produto interno usual.
42. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u, v são vetores unitários ortogonais em
V , então ||u− v|| = √2.
43. Seja W a reta em R2 de equação y = 2x. Obtenha uma equação para W⊥.
44. Seja W o plano em R3 de equação x− 2y − 3z = 0. Obtenha equações paramétricas de W⊥.
45. Seja W a reta em R3 de equações paramétricas x = 2t, y = −5t, z = 4t. Obtenha uma equação
para W⊥.
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