AD2 GAI 2015.2 gabarito

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AD2 - Geometria Analítica I - 2015.2
Gabarito
Questão 1: [5,0 pontos]
(a) [2,5 pontos] Identifique a curva de equação x2 − 8x + 16 − 4y = 0, faça um esboço detalhado
da mesma, determinando os pontos de interseção com os eixos coordenados, centro, vértices, focos,
diretriz, assíntotas, se houver.
(b) [2,5 pontos] Determine a equação de um círculo, situado no primeiro quadrante do sistema de eixos
coordenados, que intercepta a cônica do item (a) em um único ponto e intercepta a reta l : x+4 = 0
em dois pontos.
Questão 1: [4,5 pontos]
(a) [2,0 pontos] Identifique a curva de equação x2 − 8x + 16 − 4y = 0, faça um esboço detalhado
da mesma, determinando os pontos de interseção com os eixos coordenados, centro, vértices, focos,
diretriz, assíntotas, se houver.
(b) [2,5 pontos] Determine a equação do círculo de menor raio, com centro na curva do item anterior
e tangente aos eixos coordenados.
Solução:
(a) Completando quadrado, temos:
0 = x2 − 8x+ 16− 4y = (x− 4)2 − 16− 4y + 16 = (x− 4)2 − 4y,
ou ainda, temos uma parábola de equação H : (x − 4)2 = 4y. Seu vértice é V = (4, 0), seu foco é
F = (4, 1), já que 4p = 4, isto é, p = 1, e sua diretriz tem equação r : y = −1. Assim, temos o
esboço de H:
1
(b) Se um círculo de centro C = (x, y) tangencia os eixos coordenados, então devemos ter x = y = r,
com r o raio do círculo. Veja o gráfico:
Como C = (x, x) pertence a parábola H do item (a), então suas coordenadas devem satisfazer a
equação de H. Logo x é raiz da equação:
4x = (x− 4)2 =⇒ x2 − 12x+ 16 = 0.
Ou seja, x = y = r = 6± 2√5. Observe que temos duas soluções, mas o exercício pede o círculo de
menor raio, então devemos ter x = y = r = 6− 2√5. Logo a equação do círculo é
C : (x− (6− 2
√
5))2 + (y − (6− 2
√
5))2 = (6− 2
√
5)2.
Questão 2: [2,5 pontos]
Tangenciando externamente a elipse E1 : 9x2 + 4y2 − 72x − 24y + 144 = 0, temos uma elipse E2 de eixo
maior sobre a reta que suporta o eixo menor de E1 e cujos eixos têm a mesma medida que os eixos de E1.
Sabendo que E2 está inteiramente contida no primeiro quadrante:
(a) [1,0 pontos] Determine o centro de E2.
(b) [1,5 ponto] Faça um esboço de E1 e E2, exibindo focos, centro e vértices.
2
Solução:
(a) Completanto quadrados na equação de E1, temos:
9(x2 − 8x) + 4(y2 − 6y) + 144 = 0
9(x− 4)2 − 144 + 4(y − 3)2 − 36 + 144 = 0
9(x− 4)2 + 4(y − 3)2 = 36
(x− 4)2
4
+
(y − 3)2
9
= 1
Assim, seu centro é C1 = (4, 3), os vértices do eixo menor são V13 = (2, 3) e V14 = (6, 3), e os vértices
do eixo maior são V11 = (4, 0) e V12 = (4, 6).
Agora vejamos os fatos:
(1) Como o eixo maior de E2 está na reta suporte do eixo menor de E1, então a ordenada do centro
C2 de E1 é 3.
(2) O item (1), juntamente com o fato de E2 tangenciar E1, implica que um dos vértices do eixo
maior de E2 deve ser V13 ou V14.
(3) O comprimento do eixo maior de E1 deve ser igual ao comprimento do eixo maior de E2 que é
6. Isto é, a distância de C2 aos vértices do eixo maior de E2 é 3.
(4) Dos itens anteriores, temos que se E2 tangenciar E1 em V13 = (2, 3), seu centro deve ser C2 =
(2− 3, 3) = (−1, 3) ou C2 = (2 + 3, 3) = (5, 3). O primeiro caso não pode ocorrer, pois E2 deve
estar contida no primeiro quadrante, e o segundo também não pode ocorrer, pois E1 e E2 se
interceptariam em mais de um ponto, deixando de ser tangentes. Logo E2 deve tangenciar E1
em V14 = (6, 3) e, consequentemente, temos C2 = (6 + 3, 3) = (9, 3). Veja a ilustração no item
(b)!
(b) Em E1 e E2 , a2 = 9 e b2 = 4 e, consequentemente, c =
√
a2 − b2 = √5. Em E1, como o eixo maior
está na reta x = 4 e o centro é C1 = (4, 3), então os focos são F1 = (4, 3−
√
5) e F2 = (4, 3+
√
5). Em
E2, como o eixo maior está na reta y = 3 e o centro é C2 = (9, 3), então os focos são F3 = (9−
√
5, 3)
e F4 = (9 +
√
5, 3).
Questão 3: [3,0 pontos] Considere hipérbole transladada H com um foco F = (0, 4) e tangente as retas
r1 : x− 1 = 0 e r2 : x− 3 = 0. Determine:
(a) [1,2 pontos] O outro foco, vértices, centro e assintotas de H.
(b) [0,8 ponto] A interseção de H com os eixos de coordenadas.
(c) [1,0 ponto] Faça um esboço da hipérbole com focos, vértices e assítotas.
Solução:
3
(a) Como H é transladada, temos que sua reta focal é paralela a um dos eixos coordenados. Assim como
F = (0, 4) é um dos focos, a reta focal pode ser f : x = 0 ou f : y = 4. Mas, no primeiro caso, H
interceptaria as retas r1 e r2 em mais de um ponto cada, não podendo portanto ser tangente à elas.
Deste modo, concluímos que a reta focal deve ser f : y = 4.
Observe que as retas tangentes a H são perpendiculares ao eixo focal e, por isso, elas tangenciam
H nos vértices. Assim, os vértices pertencentes ao eixo focal de H são os pontos A1 = f ∩ r1 e
A2 = f ∩ r2. Ou ainda, A1 = (1, 4) e A2 = (3, 4). Veja o gráfico:
Tomando o ponto médio de A1A2, temos o centro C = (2, 4) de H.
Como a = d(A1, C) e c = d(F,C) temos a = 1 e c = 2. Assim b =
√
c2 − a2 = √3. Assim as
assíntotas são l1 : (y − 4) =
√
3(x− 2) e l2 : (y − 4) =
√
3(x− 2).
(b) Pelos cálculos feitos no item anterior, temos que a equação da hipérbole é
(x− 2)2 − (y − 4)
2
3
= 1.
Assim, para saber o ponto de interseção de H com o eixo OY , basta substituir x = 0 na equação da
hipérbole, que pode-se encontrar o pontos (0, 7) e (0, 1). Para encontrar os pontos de interseção de
H com o eixo OX, basta substituir y = 0 na equação da hipérbole, que pode-se encontrar o pontos
(2 +
√
19
3
, 0) e (2−
√
19
3
, 0).
(c)
4
5