Gabarito EP Extra

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1. Faça um esboço detalhado da região R :
{
x+ |y| ≤ 2
x ≥ −1 .
Solução: A explicação para reigião envolvendo módulos, pode ser encontrada, por exemplo, nas
Eps Extra de Região e coordenadas polares. Assim o gráfico da inequação x+ |y| ≤ 2 é:
A região x ≥ −1 é: A interseção das regiões acima é:
1
2. Determine a equação da hipérbole H, com centro em (1, 2) e vértices focais (3, 2) e (−1, 2). Faça
um esboço detalhado da mesma.
Solução: Escrevendo A1 = (−1, 2) e A2 = (3, 2), note que o centro C = (1, 2) de H não precisava
ser dado, pois ele é o ponto médio do segmento A1A2, o qual sabemos calcular.
Como A1 e A2 são são vértices de H segue que a reta focal tem equação y = 2 e portanto é paralela
ao eixo OX.
Neste caso temos que a equação de H é da forma (x−1)2
a2
− (y−2)2
b2
= 1. Devemos determinar a2 e b2,
se possível. A maneira de fazermos isso é subsituido os pontos conhecidos de H em sua equação e
depois resolver o sistema com as equações resultantes.
Substituindo A1 na equação obtemos
(
(−1)−1
)2
a2
−
(
2−2
)2
b2
= 1 e substituindo A2 obtemos
(3−1)2
a2
− (2−2)2
b2
= 1, o que nos dá o sistema.
{
4
a2
= 1
4
a2
= 1.
Neste caso, o sistema na verdade só tem uma equação, da qual é possível determinar apenas a2 = 4.
Note que, com as condições dadas, qualquer valor positivo pode ser usado no lugar de b2.
Conclusão: Existem infinitas hipérboles com as condições dadas, uma para cada valor de b2 > 0.
As equações de cada uma dessas hipérboles devem satisfazer: H : (x−1)2
4
− (y−2)2
b2
= 1.
Para ilustrar um caso onde é possível determinar apenas uma hipérbole. Imagine que os vértices de
H são A1 e A2 acima, e que o ponto P = (2
√
5 + 1, 8) pertence a H. Neste caso, substituindo os
pontos A1 e P na equação de H obtemos o sistema
{
4
a2
= 1
20
a2
− 36
b2
= 1.
Resolvendo o sistema obtemos, a2 = 4 e b2 = 9, donde H : (x−1)2
4
− (y−2)2
9
= 1. Temos o gráfico, com
focos F1 = (1−
√
13, 2) e F1 = (1 +
√
13, 2):
3. Verifique se a reta r : x+ y = 3 contém um diâmetro do círculo (x− 1)2 + (y − 2)2 = 1 e, em caso
afirmativo, determine as extremidades A e B deste diâmetro (que é uma corda que contém o centro
do círculo).
Solução: Como o centro (1, 2) do círculo está em r, pois satisfaz a equação da reta: 1 + 2 = 3,
então r contém um diâmetro do círculo. Agora para determinar as extremidades A e B deste
diâmetro, basta determinar a interseção de r com o círculo. Para isso, basta resolver o sistema{
x+ y = 3
(x− 1)2 + (y − 2)2 = 1.
Isolando o x da primeira equação e substituindo na segunda obtemos
(3− y − 1)2 + (y − 2)2 = 1 ⇒ 2(y − 2)2 = 1 ⇒ y = 2 +
√
2
2
ou y = 2−
√
2
2
.
2
Agora substituindo y = 2 +
√
2
2
na primeira equação obtemos x = 1−
√
2
2
e substituindo y = 2−
√
2
2
na primeira equação obtemos x = 1 +
√
2
2
. Assim, as extremidades são os pontos de coordenadas
(1−
√
2
2
, 2 +
√
2
2
) e (1 +
√
2
2
, 2−
√
2
2
).
3