gabarito aula 1

Prévia do material em texto

Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 1 1
Geometria Anal´ıtica I
31/01/2011
Respostas dos Exerc´ıcios do Mo´dulo I - Aula 1
Prezados alunos, este gabarito procura auxilia´-los em uma das etapas mais
importantes de seu estudo: o exerc´ıcio. Depende de voceˆ, pore´m, a real utilidade
deste material; esperamos que ele so´ seja consultado apo´s va´rias tentativas de
soluc¸a˜o do exerc´ıcio. Lembre-se de que na˜o e´ a resposta que ensina, mas sim
todo o processo que voceˆ faz para chegar ate´ ela (pesquisa, revisa˜o da teoria,
encadeamento de fatos, deduc¸a˜o).
E, mesmo ao ler o gabarito, concentre-se muito mais em cada etapa do desen-
volvimento do que nos resultados em si. Procure entender cada passo, e pensar
em como aplica´-lo a outras situac¸o˜es; so´ assim voceˆ aprendera´ as ferramentas.
Ale´m do conteu´do escrito por mim, este material concentra o esforc¸o de outros
professores, os autores do Mo´dulo e o professor Humberto Bortolossi, cordenador
de GA I em 2005, a quem aproveito a ocasia˜o para agradecer pela ajuda. Agradec¸o
tambe´m a` tutora Carolina Novo pela revisa˜o da primeiras verso˜es deste gabarito.
Um ‘[ ]’ logo apo´s o nu´mero de um exerc´ıcio, indica que a resoluc¸a˜o foi ex-
tra´ıda ipsis litteris de alguma outra versa˜o do gabarito (exceto pelas figuras e por
uma poss´ıvel reformatac¸a˜o); ao final do presente gabarito ha´ uma relac¸a˜o destas
refereˆncias.
Bom estudo,
Leonardo Silvares
Coordenador
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 1 2
Aula 1
1. Entenda “geometricamente”, no enunciado do exerc´ıcio, como “intuitiva-
mente” ou talvez “graficamente”, mais a frente (especificamente na Aula
3), voceˆ aprendera´ uma ferramente alge´brica para verificar (ou negar) o
paralelismo
[HB]
a. AB e CD sa˜o paralelos de sentidos opostos.
b. AB e CD sa˜o paralelos de mesmo sentido.
c. AB e CD na˜o sa˜o nem paralelos e nem coincidentes e, portanto, na˜o
esta´ definida a comparac¸a˜o de sentidos destes segmentos orientados.
d. AB e CD na˜o sa˜o nem paralelos e nem coincidentes e, portanto, na˜o
esta´ definida a comparac¸a˜o de sentidos destes segmentos orientados.
2. [HB] Lembre-se de que se A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) e D =
(d1, d2) sa˜o, respectivamente, as coordenadas dos pontos A, B, C e D, enta˜o
CD ≡ AB se, e somente se, (d1 − c1, d2 − a2) = (b1 − a1, b2 − a2),
isto e´, se, e somente se,
d1 = c1 + b1 − a1 e d2 = c2 + b2 − a2.
Como A = (a1, a2) = (−1,−1) e B = (b1, b2) = (2, 1/2), as coordenadas do
ponto D podem ser obtidas a partir das coordenadas do ponto C atrave´s
das relac¸o˜es
d1 = c1 + 3 e d2 = c2 + 3/2.
Respostas:
a. D =
(
4,
1
2
)
; b. D =
(
4,
7
2
)
;
c. D =
(
3,
3− 2√2
2
)
; d. D =
(
3−
√
2,
3 + 2
√
3
2
)
.
3. Na Proposic¸a˜o 1.1, foi visto um bom crite´rio para determinar se dois
segmentos orientados sa˜o equipolentes. Vamos aplica´-lo, enta˜o:
a. AD e BC teˆm como pontos me´dios (−1/2, 1) e (2, 1/2), respectiva-
mente, logo, AB e CD na˜o sa˜o equipolentes.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 1 3
b. Sa˜o equipolentes; c. na˜o sa˜o equipolentes; d. na˜o sa˜o equipolentes.
4. a. Fazendo P = (x, y), como O = (0, 0), temos
−→
OP = (x − 0, y − 0) =
(x, y). Assim,
(x, y) =
−→
AB = (3− 1, 3− (−1)) = (2, 5)⇒ P = (x, y) = (2, 5).
b. P =
(
17
6
, 3
4
)
; c. P =
(
−1−√3
2
, −1−
√
3
2
)
5. Fazendo A = (a1, a2), B = (b1, b2), C = (c1, c2) e D = (d1, d2), basta veri-
ficar se (b1 − a1, b2 − a2) = (d1 − c1, d2 − c2). Assim:
a. Sim, pois
−→
AB =
−−→
CD = (1,−1).
b. Na˜o, pois
−→
AB = (1,−1) 6= (−1, 1) = −−→CD.
c. Na˜o, pois
−→
AB = (5/2, 2) 6= (−1/2, 2) = −−→CD.
d. Na˜o, pois
−→
AB = (2, 1) 6= (3, 2) = −−→CD.
6. ABCD sera´ um paralelogramo se, e somente se, suas diagonais AD e BC
se interceptam em seus pontos me´dios, no caso, M = (4, 2). Assim, fazendo
C = (c1, c2), temos M = (4, 2) =
(
c1−3
2
, c2−2
2
)
(ponto me´dio de BC), logo
C = (5, 2). Analogamente, D = (7, 3).
7. Observe que existem treˆs poss´ıves construc¸o˜es para esse paralelogramo:
Tomemos a primeira como caso de trabalho. Para que PRQS seja um
paralelogramo, devemos ter os pontos me´dios das diagonais PQ e RS coin-
cidindo. Assim, fazendo S = (x, y), temos(
1 + 2
2
,
0 + 4
2
)
= ponto me´dio de PQ = ponto me´dio de RS =
(
3 + x
2
,
3 + y
2
)
Assim, S = (0, 1). Nos outros casos, obteremos (2,−1) e (4, 7).
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 1 4
Refereˆncias
[HB] Gabarito elaborado pelo professor Humberto Bortolossi, primeiro semestre
de 2005.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ