(ENVIAR) Inferência Estatística Resumo 1ª Unidade

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INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
COMANDOS GERAIS EM R STUDIO
- Ctrl+L: Limpar o console (O console é a única parte que roda o código)
- help(“nomedafunção”): Para saber o que a função faz: digita 
-library(nomedopacote): Para abrir um pacote
-As setas para cima e para baixo do teclado volta/avança os comandos digitados;
INICIALIZAÇÕES:
Definindo variáveis: utilizo = ou <-
Ex.: m = log(2)
 m <- log(2)
Definindo vetores: nomedovetor =c( )
*O c significa concatenar
*Para chamar uma posição no vetor basta fazer: nomedovetor[posição desejada]
*Se estou trabalhando com caracteres faço: nomedovetor= c(“caractere”, ... , “caractereN”)
Definindo matrizes (crio uma matriz vazia): nomedamatriz =matrix(nrow=número de linhas, ncol=número de colunas)
*Para atribuir valores à matriz: nomedamatriz[numdalinha, numdacoluna]= valor correspondente
*Para criar e atribuir valores em sequência à matriz: nomedamatriz=matrix(sequência(ex.: 1:24), nrow=número de linhas, ncol=número de colunas)
*t(x)-matriz transposta
*solve(x)-matriz inversa
FUNÇÕES GERAIS:
- mean(variável): Média
- sd(variável): Desvio Padrão
- var(variável):Variância
- cov(variável): Covariância
- cor(x,y):Correlação linear (R)
-length(variável): Tamanho da amostra
- plot(variável) ou plot(x,y): Plotar gráfico
- hist (variavel): Plota um histograma
- abs(variavel): Assume o valor absoluto da variável
- demo (graphics): Mostra a capacidade de plotar gráficos no R
FUNÇÕES EM R PARA OS TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO:
Distribuição Normal:
- pnorm (valor em questão, média, desvio padrão da média) Dá como saída a probabilidade
- qnorm (probabilidade em questão) Dá como saída Z –indicar a probabilidade atentando para o fato de ser unilateral ou bilateral
- dnorm-densidade
Distribuição T-student:
(quando não conheço desvio padrão)
-pt(valor em questão, graus de liberdade(n-1)) Dá como saída a probabilidade
-qt(probabilidade em questão, graus de liberdade(n-1)) Dá como saída Z –indicar a probabilidade atentando para o fato de ser unilateral ou bilateral
dt- densidade
Distribuição chi-quadrado(x²):-com n-1graus de liberdade
-pchisq(valor em questão, graus de liberdade(n-1)) Dá como saída a probabilidade
-qchisq-(probabilidade em questão, graus de liberdade(n-1)) Dá como saída Z -faz o cálculo através da probabilidade complementar
- dchisq-densidade
CAP.7) DISTRIBUIÇÕES DE AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
	Parâmetros(população)
	Medida
	Estatística (amostra)
	μ
	Média
	x-barra
	σ²
	Variância
	s²
	σ
	Desvio padrão
	s
	p
	Proporção
	p^
*Teorema do Limite Central:
Esse teorema afirma que quando o tamanho da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal.
Na inferência estatística a utilidade do teorema central do limite vai desde estimar os parâmetros como a média populacional ou o desvio padrão da média populacional, a partir de uma amostra aleatória dessa população, ou seja, da média amostral e do desvio padrão da média amostral até calcular a probabilidade de um parâmetro ocorrer dado um intervalo, sua média amostral e o desvio padrão da média amostral.
Distribuição Normal:
Para uma população:
Para duas populações:
CAP.8) INTERVALOS DE CONFIANÇA 
CASOS:
8.1. Para média (μ), σ² conhecida Normal
8.2. Para média (μ), σ² desconhecida T de Student
8.3 Para variância (σ²) Chi-Quadrado
8.4 Para proporção (p), grandes amostras Normal(binomial)
8.1. Para média (μ), σ² conhecida Normal
*BILATERAL:
Em R:
LI <- mean(x) - qnorm(1-α/2)*(σ/sqrt(n))
LS <-mean(x) + qnorm(1-α/2)*(σ/sqrt(n))
*UNILATERAL:
Em R:
LS <- mean(x) + qnorm(1-α)*(σ/sqrt(n))
Em R:
LS <- mean(x) - qnorm(1-α)*(σ/sqrt(n))
*OBS1.: Escolha do tamanho da amostra: 
 onde: 
*OBS2.: Se n for muito grande: Troca σ por s, ou seja, desvio padrão populacional por desvio padrão amostral. 
8.2 Para média (μ), σ² desconhecida T de Student
*BILATERAL:
Em R:
LI <- mean(x) -qt(1-α/2, n-1)*(s/sqrt(n))
Ls<- mean(x) + qt(1-α/2, n-1)*(s/sqrt(n)),
onde s é o desvio padrão amostral (calculado por s=sd(x))
*UNILATERAL:
Em R:
Troca qt(1-α/2, n-1) por qt(1-α, n-1)
8.3 Para variância (σ²) Chi-Quadrado
*BILATERAL:
Em R:
LI <- ((n-1)*s²)/qchisq(1-α/2, n-1)
LS <- ((n-1)*s²)/qchisq(α/2, n-1),
onde s é o desvio padrão amostral (calculado por s=sd(x))
*UNILATERAL: (troca α/2 por α)
Em R:
LI <- ((n-1)*s²)/qchisq(1-α, n-1)
Em R:
LS <- ((n-1)*s²)/qchisq(α, n-1)
8.4 Para proporção (p), grandes amostras Normal(binomial)
*BILATERAL:
Em R:
LI <- p^ - qnorm(1-α/2)*sqrt((p^*(1-p^))/n)
LS <- p^ + qnorm(1-α/2)*sqrt((p^*(1-p^))/n)
*UNILATERAL:
Em R:
LI <- p^ - qnorm(1-α)*sqrt((p^*(1-p^))/n) 
Em R:
LS <- p^ + qnorm(1-α)*sqrt((p^*(1-p^))/n)
OBS.: Escolha do tamanho da amostra:
, onde E = p^ - p
OBS2.: Para unilateral de limite superior (Limite superior):
CAP.9) TESTES DE HIPOTÉSE 
	
	
	Ho é V
	Ho é F
	Aceitar Ho
	Sem erro
	ERRO TIPO II
	Rejeitar Ho
	ERRO TIPO I
	Sem erro
α = valor P = Probabilidade (Erro Tipo I) = P(Rejeitar H0/H0 é Verdadeiro); = Área da região crítica (área hachurada abaixo);
β = Probabilidade (Erro Tipo II)=P(Não rejeitar H0/H0 é falso);
RELAÇÃO ENTRE IC E TESTE DE HIPÓTESE:
BILATERAL: 	Ho =θo (Hipótese nula) θ pode ser μ, σ² ou p
			Ha ≠ θo (Hipótese alternativa)	 (casos possíveis)
- Verifica-se se pertence ao intervalo de confiança (IC)
	* Se θo pertencer ao IC: Aceita-se Ho
	* Senão: Rejeita-se Ho
CASOS:
9.1 Para média (μ), σ² conhecida Normal
9.2 Para média (μ), σ² desconhecida T de Student
9.3 Para variância (σ²) Chi-Quadrado
9.4 Para proporção (p), grandes amostras Normal(binomial)
9. 1 Para média (μ), σ² conhecida Normal
(Zteste) =zo =μo:
*BILATERAL:
Em R:
Dado IC de xbarra:
valorp=alfa <- 2*(pnorm(LI do xbarra, μo, σ/sqrt(n)))
Ou 
valorp = alfa <- 1 - (pnorm(LS do xbarra, μo, σ/sqrt(n))-pnorm(LI do xbarra, μo, σ/sqrt(n)))
beta = pnorm(LS, μo, , σ/sqrt(n)) - pnorm(LI,μo, , σ/sqrt(n)) 
Dado xbarra:
Se xbarra < μo
valorp=alfa <- 2*(pnorm(xbarra, μo, σ/sqrt(n)))
Se xbarra > μo
valorp=alfa <- 2*(1-pnorm(xbarra, μo, σ/sqrt(n)))
Obs: Se Z0>Z(alfa/2) ou Z0< -Z(alfa/2): Rejeita-se H0;
 Se –Z(alfa/2)<Z0<Z(alfa/2): Não rejeita H0;
*UNILATERAL:
Em R:
P-VALOR= alfa <- (1-pnorm(xbarra, μo, σ/sqrt(n))) (gráfico: Limite superior)
P-VALOR= alfa <- pnorm(xbarra, μo, σ/sqrt(n)) (gráfico: Limite inferior)
Z0< - Z(alfa): rejeita-se H0;
Obs1.: Escolha do tamanho da amostra:
 , se for unilateral alfa=alfa/2
Testes de hipótese para a média com variância conhecida: critérios de rejeição de H0
2. Para média (μ), σ² desconhecida T de Student
3. Para variância (σ²) Chi-Quadrado
	 (Chiteste) =σ²o
4. Para proporção (p), grandes amostras Normal(binomial)
 (Zteste) = zo = po
*BILATERAL:
Dado IC de p^:
Em R:
alfa = valorp<- 2*(pnorm( LI do p^, po, sqrt(p*(1-p)/n)))
ou
valorp = alfa <- 1 – (pnorm( LS do p^, po, sqrt(p*(1-p)/n)) - pnorm( LI do p^, po, sqrt(p*(1-p)/n))
beta = pnorm(LS, po, , σ/sqrt(n)) - pnorm(LI, po, , sqrt(p*(1-p)/n) ) 
Dado p^:
Se p^ < po
valorp<- 2*(pnorm(p^, po, sqrt(p*(1-p)/n)))
Se p^ > po
valorp<- 2*(1 – pnorm(p^, po, sqrt(p*(1-p)/n)))
*UNILATERAL:
Em R:
alfa = valor-p<- (1-pnorm( p^, po, sqrt(p*(1-p)/n))) (limite superior)
alfa = valor-p<- pnorm( p^, po,sqrt(p*(1-p)/n)) (limite inferior)
Obs1.: Escolha do tamanho da amostra:
CAP.11) REGRESSÃO LINEAR
#Declarar x, y
x =c()
y =c()
Regressão Simples:
Linear->y=bo+b1x
nomedaregressao<-lm(y~x)
#Plotar reta de regressão simples:
lines(x, predict(nomedaregressao))
ou 
abline(intercept, x)
ou
abline(nomedaregressao)
#Plotar gráfico com segmentos
plot(x,y)
abline(nomedaregressao)
residuals(nomedaregressao): resíduos (y-y^)
predict(nomedaregressao):previsão (y^)
Visualizar informações:
Intercept= bo; 
x= b1; 
estimate=valor estimado;
stderror= erro padrão;
t value =quantos erros padrões o coeficiente está distante de 0;
pr(>[t])=analisa T.H. para H0: bo ou b1=0, se for alta(mais de 5%), você rejeita a regressão; probabilidade de estar fora do intervalo definido t-value
R² = indica se o modelo é bom, está entre 0 e 1; 
R² ajustado= ajusta o valor de R² considerando uma maior quantidade de parâmetros;
summary(nomedaregressao) = resumo do que foi feito 
aov (nomedaregressao) = análise de variância
textxy (x, y, resíduos) = colocar os valores do erro residuais
# Intervalos de confiança: 
Se xo não pertence à x:
predict((lm(y~x), data.frame(x=xo), interval = "prediction", level = 1-alpha) Dá valores do intervalo de confiança da predição
fit - valor "y=bo+b1xo" lwr - limite inferior upr - limite sperior
Se xo pertence à x:
predict(lm(y~x), data.frame(x=xo), interval = "confidence", level = 1-alpha) Dá valores do intervalo de confiança 
segments(x,y,x,nomedavariavel,col="cor desejada")
Obs.: nomedavariavel2=signif(parâmetro, número de casas decimais)-coloca o parâmetro pra duas casas decimais
	
#Analisando a F-statistic -usa a distribuição "f"
pf (valor de F, grau de liberdade 1 (n-p), grau de liberdade 2 (n-p-1))
valor de F=MQm/MQe
Se valor de F>0 -verifico a validade do teste através de 1-pf = p-valor (indica a probabilidade de F ser 0)
EXEMPLOS:
# Resumo do que foi feito – summary(nomedaregressao)
Call:
lm(formula = y ~ x)
Residuals:
 Min 1Q Median 3Q Max 
-78.74 -27.64 -18.15 36.58 82.79
Coefficients:
EstimateStd. Error t valuePr(>|t|) 
(Intercept) 2984.285 576.792 5.174 0.00207 **
 x -7.627 1.940 -3.932 0.00770 **
 ---
 Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 61.25 on 6 degreesoffreedom
Multiple R-squared: 0.7204,	Adjusted R-squared: 0.6738 
F-statistic: 15.46 on 1 and 6 DF, p-value: 0.007698
#Análise de variância –aov(nomedaregressao)
summary(aov(lm(y~x))
	
Df Sum SqMeanSq FvaluePr(>F) 
x 1 57989 57989 15.46 0.0077 **
Residuals 6 22508 3751 
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1