2012 1 AD2 CI Gabarito

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Respostas AD02 - 1/2012 - CÁLCULO I
QUESTÃO 01. [3, 0 pontos]
Calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) =
( 2− x
x2 + 1
)4
(b) f(x) = e2x−1 − cos (x3 + x)
(c) f(x) = x4 − 3√2− x3.
Solução:
(a) f ′(x) = 4
( 2− x
x2 + 1
)3 [−(x2 + 1)− (2− x) (2x)
(x2 + 1)2
]
= 4
( 2− x
x2 + 1
)3 [x2 − 4x− 1
(x2 + 1)2
]
=
=
(2− x)3 (4x2 − 16x− 4)
(x2 + 1)5
(b) f ′(x) = 2 e2x−1 + (3x2 + 1) sen (x3 + x)
(c) f ′(x) = 4x3 − 1
3
1
3
√
(2− x3)2 (−3x
2) = 4x3 +
x2
3
√
4− 4x3 + x6
QUESTÃO 02. [2, 0 pontos]
Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação
x2 − 2xy + y3 − xy2 = 1.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (1,−1).
Solução:
Derivando implicitamente, obtemos
dy
dx
=
−2x+ 2y + y2
−2x+ 3y2 − 2xy .
Logo,
f ′(1) =
dy
dx
∣∣∣
x=1
=
−2(1) + 2(−1) + (−1)2
−2(1) + 3(−1)2 − 2(1)(−1) =
−3
3
= −1.
Segue que a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (1,−1) é:
y = −1 + (−1) (x− 1) = −x.
1
QUESTÃO 03. [2, 0 pontos]
Um ponto move-se ao longo da curva y−x3+4x = 1 de tal modo que sua abscissa x varia
a uma velocidade constante de 3 cm/s. Quando x = 2, qual é a velocidade da ordenada y?
Solução:
Derivando implicitamente, obtemos
dy
dt
− 3x2 dx
dt
+ 4
dx
dt
= 0 ⇒ dy
dt
= (3x2 − 4) dx
dt
.
Como
dx
dt
= 3, segue que, quando x = 2,
dy
dt
∣∣∣
x=2
= (3 (2)2 − 4) 3 = 24.
Portanto, a velocidade da ordenada y, quando x = 2, é de 24 cm/s.
QUESTÃO 04. [2, 0 pontos]
Considere a função f(x) =
x2 + x− 1
x− 1 . Determine os intervalos onde f é crescente e os
intervalos onde f é decrescente.
Solução:
Temos que f ′(x) =
x2 − 2x
(x− 1)2 , para todo x ∈ R, x 6= 1. Logo,
(i) f ′(x) = 0 ⇔ x2 − 2x = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2;
(ii) f ′(x) > 0 ⇔ x2 − 2x > 0 ⇔ x < 0 ou x > 2;
(iii) f ′(x) < 0 ⇔ x2 − 2x < 0 ⇔ 0 < x < 1 ou 1 < x < 2.
Portanto, a função f é crescente nos intervalos (−∞, 0) e (2,+∞) e é decrescente nos
intervalos (0, 1) e (1, 2).
QUESTÃO 05. [1, 0 ponto]
Suponha que a função f seja derivável até a segunda ordem em R e tal que, para todo
x ∈ R,
x f ′′(x) + f ′(x) = 2.
(a) Se f possui um máximo relativo em a, prove que a < 0.
(b) Se f possui um mínimo relativo em b, prove que b > 0.
Solução:
(a) Como f possui um máximo relativo em a, temos que f ′(a) = 0 e f ′′(a) < 0. Daí,
2
a f ′′(a) + f ′(a) = 2 ⇒ a = 2
f ′′(a)
< 0.
(b) Como f possui um mínimo relativo em b, temos que f ′(b) = 0 e f ′′(b) > 0. Daí,
b f ′′(b) + f ′(b) = 2 ⇒ b = 2
f ′′(b)
> 0.
Nancy Cardim e Cristiane de Mello
Coordenadoras de Cálculo I
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