AP2 CL1 2013.2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP2 – CA´LCULO 1 – 24/11/2013
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [3 pontos]
Calcule a derivada de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = arccos(x4) (b) f(x) = (x2 − e4x+1) sen(2x) (c) f(x) =
(2x+ 1
1− x2
)3
Soluc¸a˜o.
(a) f ′(x) =
−4x3√
1− x8
(b) f ′(x) = (2x− 4e4x+1) sen(2x) + (2x2 − 2e4x+1) cos(2x)
(c) f ′(x) = 3
(2x+ 1
1− x2
)2 [2(1− x2)− (2x+ 1)(−2x)
(1− x2)2
]
= 3
(2x+ 1
1− x2
)2 [2x2 + 2x+ 2
(1− x2)2
]
=
=
3(2x+ 1)2(2x2 + 2x+ 2)
(1− x2)4 =
6(2x+ 1)2(x2 + x+ 1)
(1− x2)4
Questa˜o 2 [2 pontos]
Um terreno retangular, beirando um rio, sera´ cercado para a construc¸a˜o de um parque de diverso˜es.
O proprieta´rio do parque de diverso˜es exigiu que o lado do terreno que beira o rio tambe´m seja
cercado. Se o material da cerca custa R$ 4, 00 reais por metro para os lados do terreno paralelos ao
rio e R$ 2, 00 reais por metro para os extremos do terreno, qual as dimenso˜es do terreno de maior
a´rea poss´ıvel que pode ser cercado com um custo de R$ 6400, 00 reais?
Soluc¸a˜o.
Sejam x o nu´mero de metros de comprimento de um lado do terreno paralelo ao rio, y o nu´mero de
metros de comprimento de um extremo do terreno e A o nu´mero de metros quadrados da a´rea do
terreno. Enta˜o, A = xy. Como o custo do material para cercar cada lado do terreno paralelo ao rio
e´ de R$ 4, 00 reais por metro e o comprimento de um lado do terreno paralelo ao rio e´ de x metros,
o custo total para cercar um dos lados do terreno paralelo ao rio e´ de R$ 4x. Analogamente, como o
custo do material para cercar cada extremo do terreno e´ de R$ 2, 00 reais por metro e o comprimento
de um extremo do terreno e´ de y metros, o custo total para cercar um dos extremos do terreno e´ de
R$ 2y. Assim, o custo total do material para cercar todo o terreno e´:
CA´LCULO 1 AP2 2
4x+ 4x+ 2y + 2y = 6400.
Da´ı, tirando y como func¸a˜o de x na equac¸a˜o acima e substituindo na equac¸a˜o da a´rea A, obtemos:
A(x) = x(1600− 2x).
Como x e y na˜o podem ser negativos, temos que x ≥ 0 e y = 1600− 2x ≥ 0, ou seja, 0 ≤ x ≤ 800.
Desde que A e´ cont´ınua no intervalo [0, 800], segue do Teorema de Weierstrass que A possui um
ma´ximo absoluto neste intervalo. Como A′(x) = 1600− 4x, fazemos A′(x) = 0 e obtemos o ponto
cr´ıtico x = 400 de A. Portanto, o ma´ximo absoluto de A e´ assumido em 0, 400 ou 800. Como
A(0) = 0, A(400) = 320.000 e A(800) = 0, conclu´ımos que A e´ ma´xima em x = 400 metros.
Assim, a maior a´rea que pode ser cercada e´ de 320.000 metros quadrados e esta sera´ obtida quando
os lados paralelos ao rio possuirem 400 metros de comprimento cada e os extremos possuirem 800
metros de comprimento cada.
Questa˜o 3 [2 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) = 2x3 + 5x− 1.
(a) Verifique que f satisfaz as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Inversa em R;
(b) Aplique o Teorema da Func¸a˜o Inversa para determinar (f−1)′(f(x)), para todo x ∈ R.
Soluc¸a˜o.
(a) Temos que:
• f e´ deriva´vel em R com f ′(x) = 6x2 + 5, para todo x ∈ R;
• f e´ crescente em R, visto que f ′(x) = 6x2 + 5 > 0, para todo x ∈ R;
• f ′(x) = 6x2 + 5 6= 0, para todo x ∈ R.
(b) Como visto em (a), todas as hipo´teses do Teorema da Func¸a˜o Inversa sa˜o satisfeitas. Logo,
(f−1)′(f(x)) =
1
f ′(x)
=
1
6x2 + 5
, para todo x ∈ R.
Questa˜o 4 [3 pontos]
Considere a func¸a˜o f(x) =
3x
x2 + 1
. Determine:
(a) os intervalos onde f e´ crescente e onde f e´ decrescente;
(b) os intervalos onde o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima e onde o gra´fico de f tem
concavidade voltada para baixo;
(c) os pontos de inflexa˜o, se existirem, do gra´fico de f e fac¸a um esboc¸o do mesmo.
Soluc¸a˜o.
(a) Temos que f ′(x) =
−3x2 + 3
(x2 + 1)2
, para todo x ∈ R. Logo,
• f ′(x) > 0 ⇔ −3x2 + 3 > 0 ⇔ −1 < x < 1;
• f ′(x) < 0 ⇔ −3x2 + 3 < 0 ⇔ x < −1 ou x > 1.
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CA´LCULO 1 AP2 3
Assim, f e´ decrescente nos intervalos (−∞,−1) e (1,+∞) e e´ crescente no intervalo (−1, 1).
(b) Temos que f ′′(x) =
6x(x2 − 3)
(x2 + 1)3
, para todo x ∈ R. Da´ı,
• f ′′(x) > 0 ⇔ 6x(x2 − 3) > 0 ⇔ −√3 < x < 0 ou x > √3;
• f ′′(x) < 0 ⇔ 6x(x2 − 3) < 0 ⇔ x < −√3 ou 0 < x < √3.
Portanto, o gra´fico de f tem concavidade voltada para cima nos intervalos (−√3, 0) ∪ (√3,∞) e
tem concavidade voltada para baixo nos intervalos (−∞,−√3) ∪ (0,√3).
(c) A func¸a˜o e´ diferencia´vel em todos os pontos da reta. Os pontos x =
√
3, x = 0 e x = −√3
sa˜o pontos de inflexa˜o.
Um esboc¸o do gra´fico de f e´:
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