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EP16 - 2-2006 Ca´lculo I
Exerc´ıcios Programados 16
Ca´lculo I
Caros alunos!
Os temas desta semana sa˜o o Teorema da Func¸a˜o Inversa e Func¸o˜es trigonome´tricas inversas,
que se encontram nas aulas 27, 28 e 29, do mo´dulo 2, volume 2, do livro de Ca´lculo I. Estes
sa˜o os u´ltimos assuntos a serem abordados em Ca´lculo I.
O Teorema da Func¸a˜o Inversa esta´ na aula 27, enunciado na pa´gina 113 do referido mo´dulo.
Este e´ um teorema de existeˆncia. Isto e´, sob certas condic¸o˜es ele garante a existeˆncia da func¸a˜o
inversa. Ale´m disso, ele garante que a func¸a˜o inversa e´ diferencia´vel e explicita uma fo´rmula
que expressa a derivada da func¸a˜o inversa em termos da derivada da func¸a˜o original.
Nas aulas 28 e 29 voceˆ encontrara´ o caso espec´ıfico das func¸o˜es trigonome´tricas inversas. Na
disciplina de Pre´-Ca´lculo voceˆ tambe´m ja´ estudou esse assunto. Se, por acaso, ainda esta´ meio
confuso com func¸o˜es trigonome´tricas e func¸o˜es trigonome´tricas inversas, deˆ uma olhada nos
EPs 13 (sobre func¸o˜es trigonome´tricas) e 14 (func¸o˜es trigonome´tricas inversas, com uma revisa˜o
de func¸o˜es inversas) de Pre´-Ca´lculo, onde voceˆ podera´ encontrar explicac¸o˜es e exerc´ıcios.
1) Seja f(x) =
2x− 1
x− 1 .
(a) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) Calcule, diretamente, f−1(y), f ′(x) e (f−1) ′(y).
(c) Use a fo´rmula do Teorema da Func¸a˜o Inversa para calcular (f−1) ′(y).
2) Determine se a func¸a˜o f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1 e´ invers´ıvel em cada um dos intervalos a
seguir.
(a) (−∞, 1); (b) (0, 3) (c) (1, 3);
(d) (2,+∞); (e) (3,+∞); (f) [3,+∞).
3) Podemos usar o Teorema da Func¸a˜o Inversa para mostrar que a inversa da func¸a˜o f(x) = x3
e´ a func¸a˜o g(x) = 3
√
x ?
4) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es a seguir.
(a) f(x) = x arc csc
1
x
(b) g(x) = arccos
√
x (c) h(t) = arc tg
( 2t
1− t2
)
5) Mostre que a func¸a˜o f(x) = 3x+ sen (2x) e´ invers´ıvel e calcule (f−1) ′(3pi).
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EP16 - 2-2006 Ca´lculo I
6) Diga se cada uma das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas, justificando sua re-
sposta.
(i) Seja f : R −→ R tal que, para algum n ∈ N, f (n)(x) = 0,∀x ∈ R. Enta˜o f e´ uma func¸a˜o
polinomial.
(ii) Seja c um ponto de inflexa˜o de f : R −→ R. Enta˜o f ′′(c) = 0.
Atividade Eletroˆnica 16 - AE16
Chegamos ao fim das Atividades Eletroˆnicas. Espero que voceˆs tenham gostado da experieˆncia.
Todos no´s que participamos do processo aprendemos muito. E tenho certeza que muitos dos que
na˜o participaram o fariam agora, caso tivessem novamente a oportunidade. Recebi muitos e-
mails, e atrave´s deles conheci va´rias pessoas dedicadas, interessadas, cr´ıticas, alertas e afetivas.
Foi muito bom! Muito trabalhoso, mas com o´timo resultado!
Para encerrar, pediria que nessa u´ltima atividade voceˆs enviassem um e-mail, no ja´ con-
hecido enderec¸o
calculoum gmail.comah
colocando AE 16 no campo ”assunto”, fazendo um breve relato de suas experieˆncias com a
disciplina, com as Atividades Eletroˆnicas, e com o CEDERJ, em geral, pensando nos colegas
que fara˜o essa disciplina no pro´ximo semestre.
Pretendo fazer um resumo dessas experieˆncias e transmitir o resultado dessas experieˆncias
que voceˆs esta˜o vivendo para a pro´xima turma de Ca´lculo I.
Na˜o se esquec¸a de colocar o nome, o curso e o po´lo!!
Boa semana!
Abrac¸os,
Nancy Cardim
coordenadora da disciplina de Ca´lculo I
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