GAB AD02 2014 2

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Respostas AD02 - 2/2014 - CÁLCULO I
QUESTÃO 01. [2, 0 pontos]
Sejam f e g funções diferenciáveis e tais que f ′(x) = 1 + x2 e f(g(x)) = (x− 1) cos(2x).
Determine g′(x).
Solução:
Sabemos que f(g(x)) = (f ◦ g)(x). Então, utilizando a Regra da Cadeia, derivamos e
obtemos:
(f(g(x)))′ = (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x). (1)
Por outro lado, temos, por hipótese, que f(g(x)) = (x − 1) cos(2x). Daí, utilizando a
Regra do Produto e a Regra da Cadeia, derivamos e obtemos:
(f(g(x)))′ = (x− 1)′ · cos(2x) + (x− 1) · (cos(2x))′ = cos(2x)− 2(x− 1) sen(2x). (2)
Da igualdade das equações (1) e (2), segue que:
f ′(g(x)) · g′(x) = cos(2x)− 2(x− 1) sen(2x). (3)
Como, por hipótese, f ′(x) = 1+x2, temos que f ′(g(x)) = 1+(g(x))2. Assim, substituindo
na equação (3), obtemos:
(1 + (g(x))2) · g′(x) = cos(2x)− 2(x− 1) sen(2x).
Portanto,
g′(x) =
cos(2x)− 2(x− 1) sen(2x)
1 + (g(x))2
.
QUESTÃO 02. [2, 0 pontos]
A função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∈ D(f), a equação abaixo é
verificada:
f(x)2 sen(x) + x2 cos(f(x))− 2xf(x) = 1.
Determine f ′(x).
Solução:
Como y = f(x), podemos reescrever a equação acima da seguinte maneira:
y2 sen(x) + x2 cos(y)− 2xy = 1.
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Agora, vamos determinar y′ = f ′(x) =
dy
dx
, derivando implicitamente essa equação:
2y
dy
dx
sen(x) + y2 cos(x) + 2x cos(y) + x2
(
− sen(y) dy
dx
)
− 2y − 2x dy
dx
= 0
Daí,
dy
dx
=
−y2 cos(x)− 2x cos(y) + 2y
2y sen(x)− x2 sen(y)− 2x .
Portanto,
f ′(x) =
−(f(x))2 cos(x)− 2x cos(f(x)) + 2f(x)
2f(x) sen(x)− x2 sen(f(x))− 2x .
QUESTÃO 03. [2, 0 pontos]
Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com velocidade inicial de 10m/s,
sua altura H, em metros, após t segundos é dada por H = 10t− 1, 86t2.
(a) [0, 5 pontos] Qual a velocidade da pedra após 1 segundo?
(b) [0, 5 pontos] Em que instante a pedra atinge a altura máxima?
(c) [0, 5 pontos] Em que instante a pedra atinge a superfície?
(d) [0, 5 pontos] Com que velocidade a pedra atinge a superfície?
Solução:
(a) Sabemos que:
V = H ′ = (10t− 1, 86t2)′ = 10− 2(1, 86t) = 10− 3, 72t.
Assim, quando t = 1, obtemos V = 6, 28m/s.
(b) A pedra atinge a altura máxima quando V = 0. Logo,
V = 10− 3, 72t = 0 ⇒ t ∼= 2, 69 segundos.
(c) A pedra atinge a superfície quando H = 0. Logo,
H = 10t− 1, 86t2 = 0 ⇒ t ∼= 5, 38 segundos.
(d) Como a pedra tinge a superfície em aproximadamente t ∼= 5, 38 segundos, a velocidade
nesse instante é
V = 10− 3, 72(5, 38) ⇒ V ∼= −10, 01m/s.
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QUESTÃO 04. [2, 0 pontos]
Considere a função f(x) = x3 + x2 − 4x+ 1 definida no intervalo [−2, 0].
(a) [1, 0 ponto] Verifique que as hipóteses do Teorema do Valor Médio são satisfeitas;
(b) [1, 0 ponto] ANULADA!!!
Solução:
(a) Temos que:
• f é uma função polinomial e, portanto, f é contínua em [−2, 0];
• f é derivável em (−2, 0), com f ′(x) = 3x2 + 2x− 4, para todo x ∈ (−2, 0).
Portanto, as hipóteses do Teorema do Valor Médio são satisfeitas.
(b) ANULADA!!!
QUESTÃO 05. [2, 0 pontos]
A quantidade da produção vegetal y de uma cova depende da quantidade de sementes x
colocada na cova. Sabendo que tal relação é dada pela função y = −x3 + 12x2, determine a
quantidade de sementes que deverá ser colocada em uma cova para aumentar a quantidade
da produção vegetal da cova.
Solução:
Escrevendo y = f(x), temos que f ′(x) = −3x2 + 24x, para todo x ∈ R. Sabemos que:
(i) f ′(x) > 0 ⇒ y = f(x) crescente;
(ii) f ′(x) < 0 ⇒ y = f(x) decrescente.
Assim, para determinarmos a quantidade de sementes x que deverá ser colocada em uma
cova para aumentar a quantidade da produção vegetal y da cova, basta determinarmos os
valores de x para os quais f ′(x) > 0.
Temos que:
f ′(x) > 0 ⇔ −3x2 + 24x > 0 ⇔ x(−3x+ 24) > 0 ⇔ x ∈ (0, 8).
Portanto, para aumentar a quantidade da produção vegetal de uma cova deverá ser
colocado, no máximo, 8 sementes na cova.
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