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Unidade II HISTÓRIA DA MATEMÁTICA Profa. Ângela Maria Panorama cultural Dominação da Grécia pelos romanos. Fechamento da escola de Atenas. Declínio da Matemática e das Ciências. Migração de pensadores. O centro da cultura desloca-se para o Oriente. A ciência oriental floresce de maneira muito rápida. Civilizações orientais: China, Índia e mundo árabe. Matemática na China, Índia, mundo árabe Difícil datar documentos chineses. Registros eram feitos em “bambu”. Queima de livros em 213 a.C. (material recomposto a partir da memória). Talvez o livro mais influente tenha sido “Nove capítulos sobre a arte matemática”. Problemas: mensuração de terras e agricultura; impostos; cálculos; soluções de equações; propriedades de triângulos retângulos. Matemática na China, Índia, mundo árabe Principais realizações Sistema de numeração posicional decimal. Reconhecer os números negativos. Obter valores precisos de π. Chegar ao método de Hornes para soluções numéricas de equações algébricas. Apresentar o triângulo aritmético de Pascal. Inteirar-se do método binomial. Matemática na China, Índia, mundo árabe Empregar métodos matriciais para resolução de sistemas lineares. Resolver sistemas de congruências. Desenvolver frações decimais. Desenvolver a regra de três. Aplicar a regra de falsa posição dupla. Desenvolver séries aritméticas de ordem superior e suas aplicações à interpolação. Desenvolver a geometria descritiva. Matemática na China, Índia, mundo árabe A matemática chinesa produziu resultados que a Europa só iria redescobrir muito mais tarde, durante ou após o Renascimento. A influência da matemática ocidental só ocorreu na China com a chegada dos jesuítas ao país, no período Ming. Matemática na China, Índia, mundo árabe Falta de registros históricos autênticos. As fontes históricas mais antigas preservadas são as ruínas de uma cidade, localizada no Paquistão. Os vestígios encontrados indicam uma civilização tão avançada quanto qualquer outra da mesma época no Oriente Médio. Eles tinham sistema de escrita, contagem, pesos e medidas e faziam escavação de canais para irrigação. Matemática na China, Índia, mundo árabe A Índia, no início do século V, torna-se centro do saber, da arte e da medicina. Chegou até nossos dias o texto épico Sistemas do Sol. Autor, deus do Sol (documento feito pelos hindus). Precursor da função trigonométrica moderna denominada seno de um ângulo. Os hindus aperfeiçoaram métodos de tabulação, particularmente os de interpolação quadrática e linear. Matemática na China, Índia, mundo árabe Regras de cálculo e de mensuração na astronomia e na matemática, sem nenhum espírito lógico ou de metodologia dedutiva. Tentativa de medir a circunferência da Terra. Medida do tempo e trigonometria esférica. Equações quadráticas com raízes negativas. Aparecimento da numeração decimal posicional. Matemática na China, Índia, mundo árabe Sistema de numeração atual, no qual se formam os números por justaposição dos dez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 O valor de um dígito depende de sua posição no sistema, o que torna indispensável a existência de um símbolo para o zero. Divulgado pelos árabes, século VII. Origem da notação hindu. Matemática na China, Índia, mundo árabe O zero ganhou o status de número com os hindus, até então, era usado apenas para indicar “ausência”. No entanto, os progressos iniciais matemáticos verificados na Índia ocorreram quase que por acaso e, em boa parte, devido ao descompromisso com o rigor e a formalidade. Matemática na China, Índia, mundo árabe Bhaskara, astrólogo e matemático. Contribuições: aritmética; álgebra; esfera (planetas); participação na construção do conhecimento sobre os números negativos (sem preocupação teórica); fórmula de Bhaskara, não há indícios históricos, apenas citação em seu livro. Interatividade Assinale a alternativa falsa. a) Após o declínio da matemática grega clássica, a matemática na China tornou-se uma das mais criativas do mundo. b) Pouco se sabe sobre o desenvolvimento da matemática hindu antiga. c) O texto épico Sistemas do Sol. Segundo os hindus, é de autoria do deus Sol. d) O sistema de numeração atual, no qual se formam os números por justaposição dos dez dígitos, é chinês. e) O zero ganhou o status de número com os hindus. Matemática na China, Índia, mundo árabe Os árabes ocuparam a Península Arábica, localizada no oriente próximo e limitada pelo mar Vermelho, Golfo Pérsico e oceano Índico. A história árabe é dividida em duas épocas: Pré-islâmica (anterior à religião muçulmana); Islâmica (após o desenvolvimento da religião). Matemática na China, Índia, mundo árabe Pré-islâmica Divididos em tribos: beduínos; árabes do deserto (nômades, transportavam mercadorias, geralmente hostis entre si); árabes urbanos (comércio e agricultura). Politeístas Rudes e pobres, não foram incorporados a nenhum dos grandes impérios ocidentais (persa, grego helenístico, romano). Na matemática, mesmas características encontradas em Alexandria e na Índia. Matemática na China, Índia, mundo árabe Islâmica Profeta Maomé (Alcorão). União da irmandade. Monoteístas. Matemática utilizada com fins religiosos: elaboração de calendário; cálculo da orientação da cidade sagrada de Meca (realizar orações). Assim sendo, os estudos de matemática e de astronomia eram incentivados pelos califas de Bagdá. Matemática na China, Índia, mundo árabe Expande economicamente, avança nos diversos campos das Artes e das Ciências. Difunde a língua árabe (internacional). Fundação da Escola de Bagdá (Casa da Sabedoria), século IX. Composta de Biblioteca e Observatório, iniciou-se a tradução das obras clássicas gregas e hindus para o árabe, o que foi muito importante para a história da matemática, uma vez que a preservação do conhecimento grego e hindu chegou até os nossos dias graças a essas traduções. Matemática na China, Índia, mundo árabe São matemáticos árabes de destaque: Al-Khowarizmi (780-825 d.C.) – (“Pai da Álgebra”, livro Al-Jabr). Al-Battani (viveu aproximadamente de 850 a 929 d.C.). Omar Khayyam (1050-1122 d.C.). Al-Kashi. Matemática na Idade Média e baixa Idade Média Idade Média, dos séculos V ao XV. Na Europa medieval, a estrutura social era o feudalismo. A maior parte da população era formada de camponeses (pobre) ou servos. Habilidades em engenharia (sem teoria). Baixa Idade Média, metade do século V ao século XI. Pouca atividade intelectual. Realizada por monges dos monastérios e por uns cidadãos mais instruídos. Matemática na Idade Média e baixa Idade Média Matemático de destaque Leonardo Fibonacci ou Leonardo de Pisa (c. 1170-1250), século XIII. Cidade de Pisa na Itália. Principal obra: Liber abaci, (Aritmética e Álgebra Elementar) Defende a utilização de algarismos arábicos, daí a importância de seu trabalho para a transmissão da numeração indo- arábica, além do uso do zero, que, na prática, ainda não era utilizado, embora fosse conhecido. Matemática na Idade Média e baixa Idade Média Mas foi na baixa Idade Média que ocorreram diversas mudanças, levando o feudalismoe o modelo econômico que o sustentava ao fim. Crescimento das cidades. Expansão da atividade comercial. Ascensão da burguesia. Dogmas religiosos começam a ser contestados. Nova visão de mundo. Exigindo rápidas soluções para o desenvolvimento do comércio, da navegação e da indústria. Matemática no Renascimento A civilização europeia medieval deu lugar progressivamente à civilização moderna. Houve um movimento voltado para a Arte e a Ciência Antiga, mas o desenvolvimento científico encontrou muita resistência por parte da igreja católica. Muitos intelectuais, temendo ser considerados hereges, não publicaram suas teorias. A igreja, antiga mentora do desenvolvimento do saber, tornou-se conservadora diante do desenvolvimento de uma cultura que considerava não religiosa. Matemática no Renascimento Contribuíram para o desenvolvimento do movimento renascentista: o interesse pelo estudo do direito romano; a rejeição ao misticismo medieval; a multiplicação das universidades laicas; o acesso à educação para leigos por meio da universidade. A concepção de mundo pregada pela igreja passou a ser contestada. A perspectiva de que era necessário se conhecer os fatos, testar e experimentar os fenômenos naturais começou a ganhar força. Matemática no Renascimento O Renascimento teve seu berço na Itália, com o colapso do Império Bizantino e a queda de Constantinopla ante os turcos em 1453, houve um grande afluxo de refugiados à Itália e, assim, vários escritos da civilização grega retornaram ao Ocidente, permitindo que cientistas da Europa tivessem contato com as obras originais acrescidas das influências orientais. Este estado de coisas se estendeu também para a Inglaterra, França, Portugal, Espanha, Alemanha e Países Baixos. O Renascimento foi o começo do Racionalismo, com auge nos séculos XVII, XVIII e XIX, principalmente com os filósofos franceses. Matemática no Renascimento São matemáticos de destaque: Johann Müller (1436-1476), conhecido como Regiomontanus, foi o mais influente matemático do século. A obra matemática mais importante foi o tratado: Triangulis omnimodis, escrito por volta de 1464 e publicado postumamente em 1533. O tratado é uma exposição sistemática dos métodos para resolver triângulos, que marcou o Renascimento na Trigonometria. Matemática no Renascimento Luca Pacioli (1445-1514), conhecido como Luca di Borgo. Obra: Summa de arithmetica, geométrica, proportioni et proportionalita. É um trabalho de notável compilação de quatro campos: Aritmética, álgebra, geometria euclidiana muito elementar e contabilidade. Gerônimo Cardano (1501-1576). Obra: Ars magna. A obra apresentou um progresso tão notável que o ano de 1545 foi tomado como marco do início do Período Moderno na Matemática. Matemática no Renascimento Nicolau Copérnico (1473-1543) era um trigonometra. Leonardo da Vinci, considerado o típico homem da Renascença, versava sobre vários assuntos. Principal atividade matemática: Teoria da Perspectiva. Interatividade Assinale a alternativa falsa. a) Uma importante obra da civilização hindu foi o Siddhanta. b) No século XVII, a Índia foi invadida pelos ingleses propiciando o surgimento dos primeiros indícios matemáticos da civilização. c) O trabalho no Lilavati, escrito por Bhaskara, é feito em versos. d) Al-Khowarizmi foi um matemático árabe. e) No Renascimento, a concepção de mundo pregada pela igreja passou a ser contestada. Matemática nos séculos XVI a XVIII Esse período testemunhou ganhos ponderáveis nas batalhas pelos Direitos Humanos, criou máquinas avançadas e observou um desenvolvimento no espírito do internacionalismo intelectual e no ceticismo científico. Matemática nos séculos XVI a XVIII Em grande parte, o maior ímpeto dado à Matemática aconteceu em decorrência dos avanços: políticos, econômicos e sociais. Por isso, a partir do século XVII, houve o deslocamento da atividade matemática da Itália para a França e a Inglaterra. Matemática nos séculos XVI a XVIII São matemáticos de destaque: François Viète (1540-1603) foi advogado, membro do parlamento provincial da Bretanha, considerado o maior matemático francês do século XVI (dedicava a maior parte de seu tempo de lazer à matemática). Principal obra: In artem. Na qual o simbolismo algébrico é notadamente trabalhado. Matemática nos séculos XVI a XVIII John Napier (1550-1617), escocês. Fazia previsões do “Final do Mundo” e sobre “Máquinas de Guerra”, deixou como legado à matemática: a) os logaritmos; b) A regra das partes circulares; c) as fórmulas trigonométricas, úteis na resolução de triângulos esféricos obliquângulos; d) as barras de Napier, usadas para efetuar mecanicamente multiplicações, divisões e extração de raízes quadradas. Obra: Mirifi logarithmorum canonis descriptio (Descrição da regra dos logaritmos). Matemática nos séculos XVI a XVIII Henry Briggs (1561-1631), professor de geometria do Gresham College de Londres e, posteriormente, professor de Oxford. Com Napier, alterou as tábuas de logaritmos, nascendo assim os Logaritmos Briggsianos ou Comuns, atualmente utilizados. René Descartes (1596-1650), foi militar. Obra: Discurso do Método. Tratado filosófico sobre Ciência Universal, traz contribuições à geometria analítica. Matemática nos séculos XVI a XVIII Pierre de Fermat (1601?-1665), advogado, fazia matemática por lazer. Escreveu sobre: a) equação geral da reta; b) equação geral da circunferência; c) hipérboles; d) elipses; e) parábolas; f) tangentes; g) quadraduras. Matemática nos séculos XVI a XVIII Blaise Pascal (1623-1662), francês. Com Fermat, desenvolveu: a) Teoria das Probabilidades; b) Fórmula de Geometria do Acaso; c) Triângulo de Pascal; d) Tratado sobre as Potências Numéricas. Matemática nos séculos XVI a XVIII A realização mais notável do século XVII: descoberta e desenvolvimento do cálculo (Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz). Com eles, a matemática criativa passou a um plano superior e a matemática elementar essencialmente terminou. Matemática nos séculos XVI a XVIII Isaac Newton (1642-1727). Publicou, em 1687, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, um tratado com novos conceitos em física e astronomia, o mais admirado de todos os tempos. Matemática nos séculos XVI a XVIII Gottfried Wilhenm Leibniz (1646-1716). Usou pela primeira vez o símbolo de integral, utilizando a primeira letra da palavra latina summa, que significa soma. Escreveu diferenciais e derivadas, como são atualmente. Matemática nos séculos XVI a XVIII Leonhard Euler (1707-1783) foi o mais importante matemático nascido na Suíça. Responsável pelas seguintes notações utilizadas em Matemática: f(x) para funções; e para base dos logaritmos naturalis; i para a unidade imaginária; o símbolo de somatória; notação para derivadas de grau n etc. Interatividade Assinale a alternativa falsa. a) François Viète (1540-1603) é considerado o maior matemático francês do século XVI. b) John Napier deixou como legado à matemática o estudo sobre os logaritmos. c) Descartes e Fermat conceberam as ideias da geometria analítica moderna. d) A invenção do cálculo é creditada a Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. e) O tratado filosófico sobre a ciência universal é de autoria de Leibniz. Panorama cultural As condições globais quepropiciaram alterações profundas na cultura e na sociedade humana em todo o mundo apareceram em duas grandes revoluções: a Revolução Agrícola do terceiro milênio a.C.; a Revolução Industrial no século XIX d.C. Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX O alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é considerado universalmente como um dos maiores matemáticos de todos os tempos e, por esse motivo, foi apelidado de “príncipe da matemática”. Aos 20 anos, escreveu sua tese de doutorado na Universidade de Helmsädt, apresentando a primeira demonstração plenamente aceitável do teorema fundamental da álgebra. Aos 24 anos, ele publicou sua obra unitária mais importante, Disquisitiones arithmeticae, um trabalho fundamental na moderna Teoria dos Números. Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Carl Friedrich Gauss (1777-1855) é um dos precursores do cálculo diferencial. Em 1827, ele iniciou um novo ramo da geometria denominado de geometria diferencial. Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) Definiu a integral em termos de soma, mas esse estudo foi muito incompleto. No entanto, a partir dessa época, intensificaram-se as investigações sobre os fundamentos do cálculo, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da Teoria das Funções. Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Bernhard Riemann (1826-1866). Realizou um estudo aprofundado da integral, como nunca fora empreendido antes. Em decorrência, as somas usadas na definição de integral são denominadas somas de Riemann e a própria integral é chamada de Integral de Riemann. Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Carl Cristov Jacobi (1804-1851). Além de pesquisador, Jacobi foi o maior professor de sua geração. Jacobi e Cauchy contribuíram para a Teoria dos Determinantes, mais tarde conhecido pela designação “Jacobiano”. Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845-1918). Jules Henri Poincaré (1854-1912). Exerceram influência considerável em uma área muito extensa da matemática dos tempos atuais. Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX A matemática moderna A matemática moderna foi uma adaptação ao ensino das duas características principais da matemática do século XX: “a ênfase na abstração e a preocupação crescente com a análise das estruturas e modelos subjacentes”. Bourbaki Nicolas Bourbaki é um nome fictício dado a um grupo de matemáticos, quase exclusivamente franceses, que tem sido associado desde 1939 a uma série de obras matemáticas da mais alta abrangência. Escola brasileira: os grandes matemáticos brasileiros Período colonial até o início da década de 1990. Mudanças e legislações. Matemáticos brasileiros de renome e suas contribuições. Interatividade Assinale a alternativa falsa. a) Carl Friedrich Gauss foi apelidado de “príncipe da matemática”. b) Nicolas Bourbaki é um nome fictício dado a um grupo de matemáticos. c) Augustin-Louis Cauchy é responsável pelo desenvolvimento da análise matemática e da teoria das funções. d) Cantor usou pela primeira vez o símbolo de integral, a primeira letra da palavra latina summa. e) A realização mais celebrada de Dirichlet foi a generalização do conceito de função. ATÉ A PRÓXIMA! Slide Number 1 Panorama cultural Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Interatividade Resposta Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na China, Índia, mundo árabe Matemática na Idade Média e baixa Idade Média Matemática na Idade Média e baixa Idade Média Matemática na Idade Média e baixa Idade Média Matemática no Renascimento Matemática no Renascimento Matemática no Renascimento Matemática no Renascimento Matemática no Renascimento Matemática no Renascimento Interatividade Resposta Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Matemática nos séculos XVI a XVIII Interatividade Resposta �Panorama cultural� Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX Álgebra, geometria e análise matemática nos séculos XIX e XX A matemática moderna Bourbaki Escola brasileira: os grandes matemáticos brasileiros Interatividade Resposta Slide Number 57
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