Calculo2 Lista4

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE MATEMA´TICAS
CA´LCULO II
LISTA 4
1. Determinar la convergeˆncia ou divergencia das seguentes se´ries
a.
∞∑
n=1
n
(4n− 3)(4n− 1) . j.
∞∑
n=1
| sinnx|
n2
.
b.
∞∑
n=1
√
2n− 1 log(4n+ 1)
n(n+ 1)
. k.
∞∑
n=1
2 + (−1)n
2n
.
c.
∞∑
n=1
n+ 1
2n
. l.
∞∑
n=1
n!
(n+ 2)!
.
d.
∞∑
n=1
n2
2n
. m.
∞∑
n=2
log n
n
√
n+ 1
.
e.
∞∑
n=1
1√
n(n+ 1)
. n.
∞∑
n=1
n cos2(npi/3)
2n
.
f.
∞∑
n=1
1 +
√
n
(n+ 1)3 − 1 . o.
∞∑
n=3
1
n log n(log log n)n
.
g.
∞∑
n=2
1
(log n)n
. p.
∞∑
n=1
ne−n
2
.
h.
∞∑
n=1
|an|
10n
, |an| < 10. q.
∞∑
n=1
∫ 1/n
0
√
x
1 + x2
dx.
i.
∞∑
n=1
1
1000n+ 1
. r.
∞∑
n=1
∫ n+1
n
e−
√
xdx.
2. Seja f uma func¸a˜o crescente para todo x ≥ 1. Mostre que
n−1∑
k=1
f(k) ≤
∫ n
1
f(x)dx ≤
n∑
k=2
f(k)
para toda n > 1.
3. Tome f(x) = log x e use 2. para mostre que nn ≤ n!en−1 ≤ nn+1 e lim
n→∞
(n!)1/n
n
=
1
e
4. Determinar la convergeˆncia ou divergencia das seguentes se´ries:
1
a.
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
. h.
∞∑
n=1
(n1/n − 1)n.
b.
∞∑
n=1
(n!)2
2n2
. i.
∞∑
n=1
e−n
2
.
c.
∞∑
n=1
2nn!
nn
. j.
∞∑
n=1
(
1
n
− e−n2
)
.
d.
∞∑
n=1
3nn!
nn
. k.
∞∑
n=1
(1000)n
n!
.
e.
∞∑
n=1
n!
3n
. l.
∞∑
n=1
nn+1/n
(n+ 1/n)n
.
f.
∞∑
n=1
n!
22n
. m.
∞∑
n=1
n3[
√
2 + (−1)n]n
3n
.
g.
∞∑
n=2
1
(log n)1/n
. n.
∞∑
n=1
rn| sinnx|, r > 0.
5. Sejam (an) e (bn) sequ¨eˆncias tal que an > 0 e bn > 0 para todo n ≥ N , e seja
cn = bn − bn+1an+1
an
. Mostre que:
a. Se existe uma constante positiva r tal que cn ≥ r > 0 para todo n ≥ N , enta˜o∑
an converge.
b. Se cn ≤ 0 para todo n ≥ N e se
∑
1/bn diverge, enta˜o
∑
an diverge.
6. Seja
∑
an uma se´rie de teˆrmos positivos. Mostre a test de Raabe: Se existe um r > 0
e un N ≥ 1 tal que an+1
an
≤ 1− 1
n
− r
n
para todo n ≥ N, enta˜o ∑ an converge. A se´rie∑
an diverge se
an+1
an
≥ 1− 1
n
, para todo n ≥ N.
7. Seja
∑
an uma se´rie de teˆrmos positivos. Mostre a test de Gauss: Se existem N ≥ 1,
s > 1 e M > 0 tais que
an+1
an
= 1− A
n
+
f(n)
n3
para n ≥ N, onde |f(n)| ≤M para todo
n, enta˜o
∑
an converge se A > 1 e diverge se A ≤ 1.
8. Use o test de Gauss para mostrar que a se´rie
∞∑
n=1
(
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 . . . (2n)
)k
converge se
k > 2 e diverge se k ≤ 2.
9. Determinar a´ convergencia ou divergencia das seguentes se´ries:
2
1.
∞∑
n=1
(−1)n+1√
n
. 2.
∞∑
n=1
(−1)n n
2
1 + n2
.
3.
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
n+ 100
. 4.
∞∑
n=1
(−1n)
log(en + e−n)
.
5.
∞∑
n=1
(−1)n−1
n3
. 6.
∞∑
n=1
(−1)n
n log2(n+ 1)
.
7.
∞∑
n=1
(−1)n
(
1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n)
)3
. 8.
∞∑
n=1
(−1)n
log(1 + 1/n)
.
9.
∞∑
n=1
(−1)n(n−1)/2
2n
. 10.
∞∑
n=1
(−1)nn37
(n+ 1)!
.
11.
∞∑
n=1
(−1)n
(
2n+ 100
3n+ 1
)n
. 12.
∞∑
n=1
(−1)n
∫ n+1
n
e−x
x
dx.
13.
∞∑
n=2
(−1)n√
n+ (−1)n . 14.
∞∑
n=2
sin(log n).
15.
∞∑
n=1
(−1)n
n
√
n
. 16.
∞∑
n=1
log(n sin
1
n
).
17.
∞∑
n=1
(−1)n
(
1− n sin 1
n
)
18.
∞∑
n=2
sin
(
npi +
1
log n
)
.
19.
∞∑
n=1
(−1)n
(
1− cos 1
n
)
. 20.
∞∑
n=1
1
n(1 + 1/2 + · · ·+ 1/n) .
21.
∞∑
n=1
(−1)narctan 1
2n+ 1
. 22.
∞∑
n=1
(−1)n
[
e−
(
1 +
1
n
)n]
.
23.
∞∑
n=1
(−1)n
(pi
2
− arctan(log n)
)
. 24.
∞∑
n=2
(−1)n
(n+ (−1)n)8 .
25.
∞∑
n=1
log
(
1 +
1
| sinn|
)
. 26.
∞∑
n=1
(−1)n(n−1)/2
(
n100
2n
)
.
10. Determine os x ∈ R tais que as seguentes se´ries convergem:
∞∑
n=1
(−1)n2
n sin2n x
n
e
∞∑
n=1
2n sinn x
n2
.
11. Se an > 0 e
∑
an converge, mostre que
∑
1/an diverge.
12. Se
∑ |an| converge, mostre que ∑ a2n converge. Dar um contraexemplo onde ∑ a2n
converge mas
∑ |an| diverge.
13. Dada uma se´rie
∑
an que converge, onde cada an > 0. Mostre que
∑√
ann
−p converge
se p > 1
2
. E de um contraexemplo se p = 1
2
.
3