Relatório 7 Flambagem

Prévia do material em texto

Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DO ENSAIO 7 
 
 
 
 
 
FLAMBAGEM DE COLUNAS* 
 
 
 
Data do ensaio: 
 
Dupla: 
 
Nome DRE 
 
 
 
 
 
 
*Atenção: Este relatório deve ser feito em dupla e entregue no início da aula seguinte à da realização 
do ensaio. 
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 2 
ENSAIO 7: FLAMBAGEM DE COLUNAS 
 
1. Objetivos 
• Estudo das deformações elásticas decorrentes do processo de flambagem em colunas 
com várias condições de apoio e excentricidades de carga. 
• Determinação da carga crítica de colunas por meio do gráfico de Southwell. 
 
2. Introdução 
Ao ser comprimida axialmente, uma coluna esbelta apresenta uma tendência ao deslocamento 
lateral. Este tipo de instabilidade, denominado flambagem por flexão, se caracteriza pela 
interação entre o esforço axial e a deformação lateral. 
 
Abordando o caso ideal de uma coluna bi-rotulada (de comprimento L), carga centrada e de 
material elástico (módulo E) Euler (1708-1873) demonstrou [2] que para uma carga igual ou 
maior que 
2
2
L
EINcr
π
= (1) 
não é mais possível o equilíbrio na configuração retilínea. Aparecem então deslocamentos 
laterais e a coluna fica sujeita a flexo-compressão. A carga Ncr é denominada carga crítica ou 
de Euler. No gráfico da Fig.1c as linhas identificadas por “coluna idealmente perfeita” 
representam a resposta em deslocamento δt no meio do vão da coluna para carga N crescente. 
 
Entretanto as colunas reais não correspondem às hipóteses associadas ao cálculo de Euler e, 
portanto, não se comportam de acordo com sua previsão. Diversos fatores influenciam o 
comportamento das colunas reais. A começar pelos processos construtivos e de fabricação das 
peças em função dos quais não se pode garantir a retilinidade das peças e nem a centralização 
do carregamento. As Figs. 1a,b ilustram respectivamente os casos de coluna com imperfeições 
geométricas iniciais (δ0) e de coluna com excentricidade de carga (e). Nesses casos o processo 
de flambagem se dá com a flexão da coluna desde o início do carregamento, conforme 
ilustrado pela linha identificada por “ coluna imperfeita” na Fig.1c. 
 
Figura 1 – Flambagem de colunas. 
 
δ
L
configuração 
deformada
configuração 
inicial
δt
δ0
δt
e
(a) imperfeição geométrica (b) excentricidade de carga (c) respostas em termos de 
deslocamento do meio do vão da 
coluna sob carga crescente
coluna 
imperfeita de 
material elástico 
coluna idealmente perfeita
δ0
δt
N
Ncr
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 3 
A força normal N em uma coluna com imperfeição geométrica, representada por δ0, produz 
uma excentricidade adicional δ, chegando a uma flecha total δt ,que para tensões em regime 
elástico é expressa por [2]: 
cr
t NN−
=+=
1
1
00 δδδδ (2) 
Em um ensaio experimental mede-se o deslocamento δ: 
cr
cr
t NN
NN
−
=−=
100
δδδδ (3) 
A eq. (3) pode ser re-escrita na forma de uma equação linear de δ em função de δ/N : 
0δ
δ
δ −=
N
Ncr (4) 
O gráfico de δ x δ /N é conhecido como gráfico de Southwell e consiste de uma reta cuja 
inclinação vale Ncr. Se δ é o deslocamento medido em um ensaio para cada carga aplicada N, 
traçando o gráfico de Southwell é possível determinar a carga crítica Ncr pela inclinação da 
reta resultante e ainda inferir a magnitude da imperfeição δ0. 
 
Para uma coluna com excentricidade de carga e, a resposta em termos de deslocamento δt 
para cada valor de carga N é dado por [2]: 
( )[ ]12sec −= EINLetδ (5) 
 
3. Esquema de ensaio e materiais 
No quadro de ensaio a coluna é montada junto ao canto direito do quadro sendo a carga 
aplicada por um sistema de alavanca conforme ilustrado pela Fig.2. A deflexão lateral em um 
ponto da coluna é medida pelo movimento de um grampo a ela acoplado sobre uma escala. O 
grampo e a escala podem ser fixados em qualquer altura ao longo da altura da coluna. 
 
As condições de apoio superior e inferior da coluna podem ser variadas. Existem quatro 
possibilidades: 
1. Coluna bi-rotulada 
2. Coluna com rótula superior e engaste inferior 
3. Coluna com rótula superior e apoio elástico à rotação inferior 
4. Coluna biengastada. 
As condições de apoio inferiores referentes aos casos 2,3 e 4 são impostas variando-se a 
distância entre apoios de uma barra horizontal fixada na base da coluna (ver Fig.2). Para o 
apoio no topo são fornecidas duas peças de ligação, uma rotulada e outra para engaste. 
 
Os dois extremos da coluna são acoplados a chapas transversais que permitem que a carga 
seja aplicada com diferentes excentricidades em relação ao eixo da coluna. 
 
A haste da coluna é fabricada em aço de alta resistência e os ensaios estão projetados de 
maneira que a coluna apresente deflexões laterais significativas ainda com tensões em regime 
elástico. Para evitar o colapso da coluna por plastificação da seção mais solicitada (o que 
inutilizaria a coluna), uma trava de segurança impede a aplicação de carga após um 
encurtamento pré-determinado. 
 
 
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 4 
 
Figura 2 – Aparato de ensaio. 
 
 
• Medir o comprimento L das barras (coluna e barra horizontal) e as dimensões de suas 
seções transversais de forma que se possa calcular o momento de inércia I. Usar 
E=205GPa. 
 
Serão abordados os casos coluna bi-rotulada (Parte 1) e coluna rotulada no topo e engastada 
na base (Parte 2). 
 
4. Ensaio 1 – Coluna bi-rotulada 
 
1. A montagem do equipamento deve obedecer as dimensões indicadas na Fig. 3 para o 
a. posicionamento da coluna, 
b. posicionamento da escala, 
c. posicionamento da trava de segurança; 
2. Verificar se a peça de apoio superior é rotulada 
3. Ajustar a posição do contrapeso de forma que o braço de carga esteja em equilíbrio na 
direção horizontal na condição em que não há pesos aplicados no suporte de pesos. 
4. Ajuste a chapa transversal de forma que a carga seja aplicada sem excentricidade e 
aplique um peso de 1N no suporte de pesos. Certifique-se que o grampo não encosta 
na escala. 
5. Retire o peso de 1N e ajuste a escala para leitura igual a zero. 
6. Aplique a carga em incrementos de pesos de 5N a princípio, reduzindo este valor para 
2N e finalmente 1N a medida que os incrementos de deslocamentos aumentam. 
Preencha a Tabela 1. 
7. Repita o procedimento anterior para excentricidade de carga e=3mm. 
 
 
 
detalhe dos 
extremos
 da coluna
coluna
trava de segurança
escala
barra horizontal
suporte 
de pesos
contrapeso
sistema de alavanca
grampo
apoios da barra horizontal
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 5 
Figura 3 – Montagem da coluna bi-rotulada. Dimensões em mm. 
 
 
 
 
a. Tabela 1 – Leituras de deslocamentos para várias excentricidades 
e=0 mm e=3 mm 
Carga 
(N) 
Deslocamento 
δ (mm) 
Carga 
(N) 
Deslocamento 
δ (mm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
3
4
1c
1b
1a
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 6 
 
b. Com os dados da Tabela 1 trace um gráfico carga x deslocamento e observe o 
comportamento da coluna para diferentes excentricidades de carga. 
Gráfico 1 
 
c. Com os dados daTabela 1 preencha a Tabela 2, preparatória do traçado do gráfico de 
Southwell (ver Introdução). 
 
Tabela 2 
e=0 mm e=3 mm e=6 mm 
δ (mm) δ /N (mm/N) δ (mm) δ /N (mm/N) δ (mm) δ /N (mm/N) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 10 20 30 40 50 60 70
deslocamento lateral (mm)
ca
rg
a 
(N
)
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 7 
d. Trace o Gráfico de Southwell para as 3 excentricidades. Neste gráfico δ é o 
deslocamento lateral medido, conseqüência da existência de imperfeições geométricas 
e de excentricidade de carga. 
 
Gráfico 2. gráfico de Southwell 
 
e. Calcule a inclinação das retas resultantes para determinar a carga crítica Ncr, para as 3 
excentricidades. Observe que a carga efetivamente aplicada na coluna não é igual ao 
valor do peso aplicado no suporte de pesos. A carga na coluna é amplificada pelo 
sistema de alavanca na proporção 4/3 do valor do peso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d / N (mm/N)
de
sl
oc
am
en
to
 (m
m
)
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 8 
f. Calcule o valor teórico de Ncr e compare com a carga crítica experimental. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g. Calcule a excentricidade total e0 e compare com a excentricidade de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questões adicionais: 
 
h. O comportamento previsto por Euler, o de que uma coluna permanece reta até a carga 
atingir Ncr (eq.1), foi observado? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas - Escola Politécnica – UFRJ 
Laboratório de Modelos Estruturais 
 
 9 
i. Como se comparam as respostas das colunas com carga centrada e com carga 
excêntrica? (ver Gráfico 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j. Uma coluna está sujeita a forças de compressão Ng devida a cargas permanentes e Nq 
devida a cargas variáveis. Ambas as forças são aplicadas com excentricidade. Seria 
correto aplicar o princípio da superposição e somar os deslocamentos laterais devidos 
às cargas Ng e Nq calculados separadamente para se obter o deslocamento total? 
Justifique.