1c2aa prova alglin fis

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Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS
A´lgebra Linear - 1a Prova (P1)
F´ısica - 15/12/2015 - Prof. E.T.Galante
1. (2,0 pontos)
(a) Sejam A e B matrizes quadradas. A afirmac¸a˜o
“ AB = 0⇒ A = 0 ou B = 0 ”
e´ verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
(b) Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes quadradas. Prove que se
A e B forem ambas do tipo triangular superior enta˜o a matriz
C = [cij] dada por C = A+B tambe´m sera´ triangular superior.
2. (2,0 pontos) Chamamos de sistema homogeˆneo de m equac¸o˜es e n
inco´gnitas ao sistema cujos termos independentes bi sa˜o todos nulos.
(a) Qual a soluc¸a˜o que um sistema homogeˆneo sempre admite?
(b) Seja o sistema homogeˆneo

2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0.
Encontre o(s) valore(s) de k ∈ R para os quais o sistema tenha
mais de uma soluc¸a˜o.
3. (2,0 pontos) Seja a matriz M abaixo:
M =

1 0 0
−1 0 1
0 1 1

(a) Calcule o determinante de M ; calcule a matriz inversa M−1;
(b) Calcule p(λ) = |M − λI|.
1
4. (2,0 pontos)
(a) Prove que V = R3 = {(x1, x2, x3) : xi ∈ R; i = 1, 2, 3} e´ um espac¸o
vetorial. Lembre-se que:
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)
α(x1, x2, x3) = (αx1, αx2, αx3),∀α ∈ R.
(b) Se alterarmos a definic¸a˜o de adic¸a˜o do item anterior para
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, 0)
podemos dizer que V e´ espac¸o vetorial real?
5. (2,0 pontos)
(a) Prove queW1 = {(x, y, z) : x+y+z = 0} eW2 = {(x, y, z) : z = 0}
sa˜o subespac¸os vetoriais do R3.
(b) E´ correto dizer que W1 ∩W2 e´ um subespac¸o vetorial do R3? E
quanto a` W1 ∪W2? Justifique suas respostas.
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