Prova com gabarito - EE1

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UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA II 2016.2
GEOMETRIA ANALI´TICA 1o EXERCI´CIO ESCOLAR 09/09/2016
GABARITO
1aQuesta˜o(3, 0) Considere treˆs pontos na˜o colineares A,B e C, o ponto me´dio do seg-
mento AB, M , o ponto me´dio do segmento AC, N , e o ponto comum aos segmentos BN
e CM , H.
a)(1,0) Escreva
→
CM como combinac¸a˜o linear de
→
CA e
→
CB.
R.
→
CM=
→
CA +
→
AM=
→
CA +1
2
→
AB
→
CM=
→
CA +1
2
(
→
AC +
→
CB)
→
CM=
→
CA −1
2
→
CA +1
2
→
CB
→
CM= 1
2
→
CA +1
2
→
CB
b)(1,0) Escreva
→
BN como combinac¸a˜o linear de
→
CA e
→
CB.
R.
→
BN=
→
BC +
→
CN=
→
BC +1
2
→
CA
→
BN= 1
2
→
CA −
→
CB
b b
b
b
b
b
A BM
N
C
H
c)(1,0) Mostre que
→
CH= 2
3
→
CM e
→
BH= 2
3
→
BN .
R.
→
CH= λ
→
CM e
→
BH= t
→
BN .→
CB=
→
CH +
→
HB= λ
→
CM −t
→
BN→
CB= λ(1
2
→
CA +1
2
→
CB) − t(1
2
→
CA −
→
CB) ⇒ (λ
2
− t
2
)
→
CA +(λ
2
+ t − 1)
→
CB=
→
O
⇒ λ
2
− t
2
= 0 e λ
2
+ t− 1 = 0 pois (
→
CA,
→
CB) e´ LI. Enta˜o λ = t e 3
2
λ = 1. Portanto,
λ = 2
3
e
→
CH= 2
3
→
CM ,
→
BH= 2
3
→
BN .
2aQuesta˜o(4, 0) Considere uma base ortonormal E = (
→
e1,
→
e2,
→
e3) e os vetores
→
u,
→
v e
→
w= (1, 0, 1)E.
a)(2,0) Se Ang(
→
u,
→
v ) = 60o,
→
u e´ unita´rio e ‖→u ∧(→u −2 →v ) ‖= 3, mostre que ‖→v‖= √3
R.
→
u ∧(→u −2 →v ) =→u ∧ →u −2 →u ∧ →v=→O −2 →u ∧ →v
3 =‖ −2 →u ∧ →v‖= 2 ‖→u‖ . ‖→v‖ sen 60o = 2 ‖→v‖
√
3
2
⇒‖→v‖= 3√
3
=
√
3
b)(2,0) Se, ale´m disso,
→
v ⊥→w e →v . →e2= 1, determine as coordenadas de →v na base E.
R. Se
→
v= (a, b, c) enta˜o
→
v .
→
w= 0 e (a, b, c).(0, 1, 0) = 1.
Portanto, a+ c = 0 e b = 1, ou seja,
→
v= (a, 1,−a) .
Como ‖→v‖= √3, segue que a2 + 1 + a2 = 3⇒ a2 = 1⇒ a = ±1.
Enta˜o
→
v= (1, 1,−1) ou →v= (−1, 1, 1)
3aQuesta˜o(4, 0) Considere um tetraedro ABCD tal que, em alguma base ortonormal
→
DA= (−1, 1, 1),
→
DB= 1
3
(1, 5,−1), M e´ um ponto da aresta AB,
→
CM= (1, 2, 2) e
→
MD= 1
3
(1,−4,−1)
a)(1,5) Calcule o volume do tetraedro ABCD.
R. VT =
1
6
|[
→
DA,
→
DB,
→
DC]|
→
DC=
→
DM +
→
MC= (−4
3
,−2
3
,−5
3
) = −1
3
(4, 2, 5)
[
→
DA,
→
DB,
→
DC] = −1
3
.
1
3
∣∣∣∣∣∣
−1 1 1
1 5 −1
4 2 5
∣∣∣∣∣∣ = −19(−25−4+2−20−2−5) = 6
VT = 1.
D
A
C
B
M
b b
b
b
b
b)(1,0) Determine o vetor
→
p= Proj
→
MD
→
MC
R.
→
p= Proj
→
MD
→
MC
=
→
MD.
→
MC
→
MC.
→
MC
.
→
MC
→
p=
1
3
(1,−4,−1).(−1,−2,−2)
(−1,−2,−2).(−1,−2,−2) .(−1,−2,−2) =
1
3
(−1 + 8 + 2)
1 + 4 + 4
(−1,−2,−2) = 3
9
(−1,−2,−2)
→
p=
1
3
(−1,−2,−2)
c)(1,5) Mostre que (
→
p,
→
MD − →p,
→
MA) e´ uma base ortonormal.
R. ‖→p‖= 1
3
√
1 + 4 + 4 = 1.
→
MD − →p= 1
3
(1,−4,−1)− 1
3
(−1,−2,−2) = 1
3
(2,−2, 1)
‖
→
MD − →p‖= 1
3
√
1 + 4 + 4 = 1.
→
MA=
→
MD +
→
DA= 1
3
(1,−4,−1) + (−1, 1, 1) = (−2
3
,−1
3
, 2
3
) = 1
3
(−2,−1, 2)
‖
→
MA‖= 1
3
√
4 + 1 + 4 = 1.
→
p .(
→
MD − →p) = 1
3
(−1,−2,−2).1
3
(2,−2, 1) = 1
9
(−2 + 4− 2) = 0
→
p .
→
MA=
1
3
(−1,−2,−2).1
3
(−2,−1, 2) = 1
9
(2 + 2− 4) = 0
(
→
MD − →p).
→
MA=
1
3
(2,−2, 1).1
3
(−2,−1, 2) = 1
9
(−4 + 2 + 2) = 0
Os vetores da sequeˆncia (
→
p,
→
MD − →p,
→
MA) sa˜o unita´rios e dois a dois ortogonais,
portanto essa sequeˆncia e´ uma base ortonormal.