Lista1.5 - Coordenadas polares cilíndricas esféricas

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Coordenadas polares
Exerc´ıcio. Considere as seguintes curvas dadas em coor-
denadas polares e desenhe elas no plano (r, θ) e no plane
(x, y):
1. r = e−θ, θ > 0
2. r = cos θ
3. r cos θ = 1, −pi2 < θ < pi2
4. r = 2
5. θ = pi4
6. r = tan θ, −pi2 < θ < pi2
7. r = cos 3θ
8. r2 = 1/(1 + sen2 θ)
9. r = 2− cos θ
10. r = cos2 θ
11. r = 3 + 2 sen θ
Exerc´ıcio. Passe a curva plana dada em coordenadas
cartesianas para coordenadas polares e esboc¸e o seu
gra´fico:
1. (x2 + y2)2 = x2 − y2
2. (4x2 + 9y2)2 = 4x2 − 9y2
3. x4 − y4 = 2xy
4. x2 + y2 + x =
√
x2 + y2
5. x = 2
6. y = 2
7. x4 + y4 = y2
8. (x− a)2(x2 + y2)− b2x2 = 0
9. x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 , onde a > 0 (hipociclo´ide)
Exerc´ıcio. Calcular∫∫
D
ln(x2 + y2) d(x, y),
onde
D = {x ≥ 0, y ≥ 0, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}
Resposta: pi/4(8 ln 2− 3)
Exerc´ıcio. Calcular∫∫
D
√
x2 + y2 d(x, y), D = {1 ≤ x2 + y2 ≤ 2x}.
Resposta: 2/3
Exerc´ıcio. Determinar a a´rea da regia˜o limitada pelas
curvas r = 3 + 2 sen θ e r = 2 em coordenadas polares.
Coordenadas polares modificadas
Exerc´ıcio. Passe a curva plana dada em coordenadas
cartesianas para coordenadas apropriadas e calcule a a´rea
da regia˜o limitada pela curva:
(x+ y)4 = x2y, x ≥ 0, y ≥ 0.
Resposta: 1/210
Exerc´ıcio. Calcular∫∫
D
1
(4x2 + y2)3/2
d(x, y), D = {1 ≤ x ≤ 2, |y| ≤ x/2}
Resposta:
√
17/68
Exerc´ıcio. Calcular a a´rea do domı´nio plano situado no
primeiro quadrante e limitado por
y = x, 3x2 + y2 = 3, x2 + 3y2 = 9.
Resposta: pi/(4
√
3)
Coordenadas cil´ındricas
Exerc´ıcio. Descreva a superf´ıcie cuja equac¸a˜o em coor-
denadas cil´ındricas e´ dada a seguir:
1. r = 3
2. θ = 0
3. θ = pi/3
4. z = r2
5. r cos θ = 2
6. r = 2 cos θ
7. r2 = z2 = 25
Exerc´ıcio. Rescreve as seguintes curvas em coordenadas
cil´ındricas:
1. x2 + y2 + z2 = 1
2. x2 + y2 = 14
Exerc´ıcio. Escreve uma expressa˜o em coordenadas
cil´ındricas para a superf´ıcie dada em coordenadas carte-
sianas
1. z = x2 + y2
2. x = 3
3. x2 − y2 − 2z2 = 4
4. x2 + y2 = 2y
5. xz = 1
6. x2 + y2 + z2 = 1
Exerc´ıcio. Calcular o volume da seguinte so´lido:
Ω = {(x, y, z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ 1
4
}
Resposta: 43pi(1− (3/4)3/2)
Coordenadas esfe´ricas
Exerc´ıcio. Escreve uma expressa˜o em coordenadas
esfe´ricas para a superf´ıcie dada em coordenadas carte-
sianas:
1. z = x2 + y2
2. x = 3
3. x2 − y2 − 2z2 = 4
4. x2 + y2 = 2y
5. xz = 1
6. x2 + y2 + z2 = 1
Exerc´ıcio. Descreva a superf´ıcie cuja equac¸a˜o em coor-
denadas esfe´ricas e´ dada por
1. ρ = φ
Exerc´ıcio. Escreve uma expressa˜o em coordenadas
esfe´ricas para a regia˜o dada em coordenadas cartesianas
que e´ a intersec¸a˜o das seguintes treˆs regio˜es
x2 + y2 + z2 ≥ 1, x2 + y2 + (z − 2)2 ≤ 4, z ≥
√
x2 + y2.