Lista 11 2016 - Aplicações do Teorema do Valor Médio

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UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Me´todos Estat´ısticos
Ana´lise Real - De´cima Primeira Lista de Exerc´ıcios - Rio, 12/07/2016
Aplicac¸o˜es do Teorema do Valor Me´dio
1. Use o Teorema do Valor Me´dio para provar que |senx− seny| ≤ |x− y|, ∀ x, y ∈ R.
2. Use o Teorema do Valor Me´dio para provar que
x− 1
x
< lnx < x− 1, ∀ x > 1.
3. Seja I um intervalo. Prove que se f e´ diferencia´vel em I e se a derivada de f e´ limitada em I, enta˜o
f satisfaz a condic¸a˜o de Lipschitz em I.
4. Sejam f e g diferencia´veis em R e suponha que f(0) = g(0) e f(x) ≤ g(x), ∀ x ≥ 0. Mostre que
f(x) ≤ g(x), ∀ x ≥ 0.
5. Calcule os seguintes limites
(a) lim
x→0+
ln(x+ 1)
senx
(b) lim
x→0+
tgx
x
(c) lim
x→0+
ln(cosx)
x
(d) lim
x→0+
tgx− x
x3
(e) lim
x→0+
1
x(lnx)2
(f) lim
x→∞
(x−
√
x2 + x)
6. Tente usar a regra de l’Hospital para encontrar o limite de
tgx
secx
quando x→ (pi/2)− e depois calcule
o limite diretamente usando as func¸o˜es seno e cosseno.
7. Mostre que se c > 0, enta˜o lim
x→c
xc − cx
xx − cc =
1− lnc
1 + lnc
.
8. Mostre que o termo de resto no Teorema de Taylor converge para zero quando n→∞ para cada x0
e x fixados, se
(a) f(x) = ex (b) f(x) = senx
9. Determine se x = 0 e´ ou na˜o um extremo relativo da func¸a˜o
(a) f(x) = x3 + 2 (b) f(x) = senx− x (c) f(x) = −senx+ (x−1)3
3
(d) f(x) = cosx− 1 + x2
2
10. Seja I um intervalo aberto e seja f : I → R diferencia´vel em I, e suponha que f ′′(a) existe, a ∈ I.
Mostre que
f ′′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− 2f(a) + f(a− h)
h2
1