Gab 2ºEE 2012.1

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO 2 - A´REA II- 2012/1
GABARITO DO 2o. EXERCI´CIO- TURMA S5
1. (a) (1,5) Se f(x, y) =


x2y
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
. Determine a derivada direcio-
nal Duf(0, 0), se u = (
√
2/2,
√
2/2).
(b) (1,0) Se f(x, y) = x2y + y2. No ponto P = (1,−1), encontre a direc¸a˜o onde f
tem a ma´xima taxa de variac¸a˜o e determine o valor desta taxa.
Soluc¸a˜o. a) Como a func¸a˜o f na˜o e´ diferencia´vel em (0, 0) na˜o podemos usar a
identidade Duf(0, 0) =
∂
∂x
f(0, 0)u1 +
∂
∂y
f(0, 0)u2 onde u = (u1, u2). Usamos a
definic¸a˜o de derivada direcional. Como f(0, 0) = 0 temos
Duf(0, 0) = lim
h→0
f(h · u)
h
= lim
h→0
f(
√
2
2
h,
√
2
2
h)
h
=
√
2
4
.
b)
∂f
∂x
= 2xy,
∂f
∂y
= x2 + 2y. Da´ı,
∂f
∂x
(1,−1) = −2 e ∂f
∂y
(1,−1) = −1.
A ma´xima taxa de variac¸a˜o e´ ‖∇f(1,−1)‖ = ‖(−2,−1)‖ =
√
5.
A direc¸a˜o da ma´xima taxa de variac¸a˜o e´ u = ∇f/‖∇f‖ = (−2,−1)√
5
.
2. (2,5) Encontre os pontos sobre a superf´ıcie x2 + y2 − z2 = −2 de tal maneira que o
plano tangente seja paralelo ao plano x+ y + 2z = 1.
Soluc¸a˜o. Seja S : x2 + y2 − z2 = −2. A superf´ıcie S e´ a superf´ıcie de n´ıvel −2
da func¸a˜o F (x, y, z) = x2 + y2 − z2. Enta˜o, ∇F (x, y, z) = (2x, 2y,−2z) e´ normal a
superf´ıcie S.
Do dado do problema devemos ter que∇F (x, y, z) e´ paralelo ao vetor (1, 1, 2)(vetor
normal ao plano x+ y + 2z = 1). Portanto, existe uma valor λ ∈ R tal que
(2x, 2y,−2z) = λ(1, 1, 2).
Logo, x = λ/2, y = λ/2 e z = −λ. Como (x, y, z) ∈ S devemos ter
−2 = x2 + y2 − z2 = −λ
2
2
.
Assim, λ = ±2. Por conseguinte, os pontos sa˜o: (1, 1,−2) e (−1,−1, 2).
3. Seja f : R2 → R dada por f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2.
(a) (1,0) Determine os pontos cr´ıticos de f .
(b) (1,5) Classifique os pontos obtidos no item anterior.
Soluc¸a˜o. a)
∂f
∂x
= 4x3 − 4y, ∂f
∂y
= 4y3 − 4x. Da´ı, ∂f
∂x
=
∂f
∂y
= 0 se, e somente se,
y = x3, x = y3. Da´ı, y = x3 = (y3)3 = y9.
Como y9 − y = y(y + 1)(y − 1)(y2 + 1)(y4 + 1) = 0 quando y = 0,−1,+1, os
pontos sa˜o: (0, 0), (1, 1) e (−1,−1).
b)
∂2f
∂x2
= 12x2,
∂2f
∂y2
= 12y2 e
∂2f
∂x∂y
= −4. Portanto,
D(x, y) = det
[
12x2 −4
−4 12y2
]
= 144x2y2 − 16
• D(0, 0) < 0 e portanto, (0, 0) e´ um ponto de sela.
• D(±1,±1) > 0 e ∂
2f
∂x2
(±1,±1) = 12 > 0, portanto os pontos (1, 1) e (−1,−1)
sa˜o pontos de mı´nimos locais.
4. (2,5) Use o me´todo dos multiplicadores de Lagrange para determinar os valores
extremos de f(x, y) = 2x2 + 3y2 − 4x+ 1 sobre a circunfereˆncia x2 + y2 = 1.
Soluc¸a˜o. O problema e´ o seguinte


f(x, y) = 2x2 + 3y2 − 4x+ 1
x2 + y2︸ ︷︷ ︸
g(x,y)
= 1
∇f = λ∇g se, e somente se, (4x− 4, 6y) = λ(2x, 2y). Logo,

4x− 4 = 2λx
6y = 2λy
x2 + y2 = 1
Da segunda equac¸a˜o temos que y = 0 ou λ = 3.
Suponha que λ = 3. Da primeira equac¸a˜o temos que x = −2. Na terceira
equac¸a˜o temos que 1 = (−2)2+y2 = 4+y2. Esta u´ltima equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o
real.
Quando y = 0, temos da terceira equac¸a˜o que x = ±1.
Os pontos sa˜o: (1, 0) e (−1, 0). Como f(1, 0) = −1 e f(−1, 0) = 7 temos que
−1 e´ o valor mı´nimo e 7 o valor ma´ximo.