P1_Calculo 2_2019-1_Gabarito

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Centro Federal de Educação Tecnológica C. S. da Fonseca
UnED Itaguaí
Engenharia de Produção
Cálculo a Várias Variáveis Turma 2019-1 Data: 07/05/2019 Prova: P1
Professor: Washington da Silva Aluno:Washington Santos da Silva Santos Silva Nota:
Questão 1 – (1.5 pt)
Determine a aproximação linear da função f(x, y, z) = x3
√
y2 + z2 no ponto (2, 3, 4).
Solução 1. A aproximação linear de f em (2, 3, 4) é
f(x, y, z) ≈ f(2, 3, 4) + fx(2, 3, 4)(x− 2) + fy(2, 3, 4)(y − 3) + fz(2, 3, 4)(z − 4)
Temos que
f(2, 3, 4) = (2)3
√
32 + 42 = 8 · 5 = 40
fx(x, y, z) = 3x
2
√
y2 + z2 =⇒ fx(2, 3, 4) = 3(2)2
√
32 + 42 = 3 · 4 · 5 = 60
fy(x, y, z) =
x3y√
y2 + z2
=⇒ fy(2, 3, 4) =
(2)33√
32 + 42
=
8 · 3
5
=
24
5
fz(x, y, z) =
x3z√
y2 + z2
=⇒ fz(2, 3, 4) =
(2)34√
32 + 42
=
8 · 4
5
=
32
5
Então,
f(x, y, z) ≈ 40 + 60(x− 2) + 24
5
(y − 3) + 32
5
(z − 4) = 60x+ 24
5
y +
32
5
z − 120
Questão 2 – (1.0 pt)
Os dois catetos de um triângulo retângulo medem 5m e 12m com um erro possível nas medidas
de, no máximo, 0, 2 cm em cada. Utilize diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da
área do triângulo.
Solução 2. Utilizando diferenciais temos que
dA =
∂A
∂x
dx+
∂A
∂y
dy
onde x e y são os catetos do triângulo retângulo. Considerando x = 5 e y = 12, respectivamente,
a altura e a base desse triângulo retângulo e sabendo que
A(x, y) =
1
2
xy
temos que
∂A
∂x
(x, y) =
1
2
y =⇒ ∂A
∂x
(5, 12) = 6 e
∂A
∂y
(x, y) =
1
2
x =⇒ ∂A
∂y
(5, 12) =
5
2
1
dx = dy = 0, 002 =
2
1000
Note que o erro foi dado em centímetros enquanto as medidas dos catetos foram dadas em
metros. Então
dA = 6 · 2
1000
+
5
2
· 2
1000
=
17
1000
= 0, 017m2
Questão 3 – (1.5 pt)
O comprimento x de um lado de um triângulo está aumentando a uma taxa de 6 cm/s, o
comprimento y de um outro lado está diminuindo a uma taxa de 4 cm/s e o ângulo θ entre
eles está aumentando a uma taxa de 0, 05 radiano/s. Quão rapidamente está variando a área
do triângulo quando x = 80 cm, y = 100 cm e θ = π/6? (Nesse caso, use que a área A é
A =
1
2
xysenθ)
Solução 3. São dados
dx
dt
= 6,
dy
dt
= −4 e dθ
dt
=
5
100
Usando a regra da cadeia, temos que
dA
dt
=
∂A
∂x
dx
dt
+
∂A
∂y
dy
dt
+
∂A
∂θ
dθ
dt
=
1
2
ysenθ
dx
dt
+
1
2
xsenθ
dy
dt
+
1
2
xycosθ
dθ
dt
=⇒ dA
dt
=
1
2
· 100 · sen
(π
6
)
· 6 + 1
2
· 80 · sen
(π
6
)
· (−4) + 1
2
· 80 · 100 · cos
(π
6
)
· 5
100
=⇒ dA
dt
=
1
2
· 100 · 1
2
· 6 + 1
2
· 80 · 1
2
· (−4) + 1
2
· 80 · 100 ·
√
3
2
· 5
100
=⇒ dA
dt
= 150− 80 + 100
√
3 = (70 + 100
√
3)cm2/s
Questão 4 – (1.0 pt)
Determine a direção na qual f(x, y, z) = zexy aumenta mais rápido no ponto (0, 1, 2). Qual é a
taxa máxima de aumento?
Solução 4. Temos que a taxa máxima de aumento no ponto (0, 1, 2) ocorre na direção do vetor
gradiente ∇f(0, 1, 2) e a mesma é dada por |∇f(0, 1, 2)|. Segue que
∇f(x, y, z) = (yzexy, xzexy, exy) =⇒ ∇f(0, 1, 2) = (2, 0, 1) e |∇f(0, 1, 2)| =
√
5
Questão 5 – (1.5 pt)
Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função f(x, y) = x2 −
xy + y2 + 9x− 6y + 10.
Solução 5. Primeiro, devemos encontrar os pontos críticos de f . Para isso, fazemos
fx(x, y) = 2x− y + 9 = 0 e fy(x, y) = −x+ 2y − 6 = 0
2
Ou seja, devemos resolver o sistema{
2x− y = −9
−x+ 2y = 6
=⇒ x = −4 e y = 1
Então (−4, 1) é o (único) ponto crítico de f . Agora, podemos recorrer ao Teste da Derivada
Segunda. Segue que
fxx(x, y) = 2 = fyy(x, y) =⇒ fxx(−4, 1) = fyy(−4, 1) = 2
fxy = −1 =⇒ fxy(−4, 1) = −1
Então
D(−4, 1) = 2 · 2− (−1)2 = 3 > 0
Como fxx(−4, 1) = 2 > 0, temos que f(−4, 1) = −11 é um valor mínimo local.
Questão 6 – (2.0 pt)
Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f(x, y) = 4xy2 − x2y2 − xy3 no conjunto
D, onde D é a região triangular fechada do plano xy com vértices (0, 0), (0, 6) e (6, 0).
Solução 6. Primeiro, vamos analisar os valores extremos de f no interior de D. Para isso,
fazemos
fx(x, y) = 4y
2 − 2xy2 − y3 = 0 e fy(x, y) = 8xy − 2x2y − 3xy2 = 0
Ou seja, devemos resolver o sistema{
y2(4− 2x− y) = 0 (1)
xy(8− 2x− 3y) = 0 (2)
Em (1), temos que y = 0 ou 4−2x−y = 0; em (2), temos que x = 0, y = 0 ou 8−2x−3y = 0.
No entanto, observe que os pontos (x, 0) e (0, y) não pertencem ao interior de D. Então, basta
analisar o sistema {
4− 2x− y = 0
8− 2x− 3y = 0
=⇒ x = 1 e y = 2
Como (1, 2) ∈ D, segue que f(1, 2) = 4.
Agora, vamos analisar os valores extremos de f na fronteira de D.
3
Em L1, temos f(x, 0) = 0 para todo 0 ≤ x ≤ 6.
Em L3, temos f(0, y) = 0 para todo 0 ≤ y ≤ 6.
Em L2, temos
f(x, 6− x) = 4x(6− x)2 − x2(6− x)2 − x(6− x)3 = x(6− x)2[4− x− (6− x)] = −2x(6− x)2
Ou seja, em L2 temos
g(x) = −2x(6− x)2, 0 ≤ x ≤ 6
Observe que x = 0 e x = 6 são as raízes de g(x) = 0. Além disso, note que para todo 0 < x < 6
temos que g(x) < 0 (na verdade, temos que g(x) < 0 para todo x > 0 e g(x) > 0 para
todo x < 0). Assim, basta acharmos o(s) ponto(s) crítico(s) de g(x) e calcularmos g nesse(s)
ponto(s). Segue que
g′(x) = −2(6− x)2 − 4x(6− x)(−1) = −6x2 + 48x− 72 = −6(x− 2)(x− 6) = 0
Então x = 2 e x = 6 são os pontos críticos de g(x) com g(2) = −64 (já sabemos que g(6) = 0
visto que x = 6 é uma raiz de g(x) = 0). Como em L2 temos que y = 6 − x, o ponto em
questão é (2, 4). Portanto, em D, f(2, 4) = −64 é o valor mínimo absoluto e f(1, 2) = 4 é o
valor máximo absoluto.
Questão 7 – (1.5 pt)
Determine os valores máximo e mínimo de f(x, y) = x2y com x2 + y2 = 1.
Solução 7. Usando os multiplicadores de Lagrange, temos que
{
∇f = λ∇g
g(x, y) = k
=⇒

2xy = 2λx (1)
x2 = 2λy (2)
x2 + y2 = 1 (3)
Em (1), temos x = 0 ou λ = y.
4
Se x = 0, substituindo em (3) temos y2 = 1 =⇒ y = ±1. Assim, temos (0,±1) com
f(0,±1) = 0.
Se λ = y, substituindo em (2) temos x2 = 2y2, o que implica em (3) que 3y2 = 1 =⇒ y = ± 1√
3
.
Assim, temos
(
±
√
2
3
,± 1√
3
)
com f
(
±
√
2
3
,− 1√
3
)
= − 2
3
√
3
e f
(
±
√
2
3
,
1√
3
)
=
2
3
√
3
.
Portanto f
(
±
√
2
3
,− 1√
3
)
= − 2
3
√
3
é o mínimo absoluto e f
(
±
√
2
3
,
1√
3
)
=
2
3
√
3
é o má-
ximo absoluto de f(x, y) = x2y com x2 + y2 = 1.
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA
Seja D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2.
(a) Se D > 0 e fxx(a, b) > 0, então f(a, b) é um mínimo local.
(b) Se D > 0 e fxx(a, b) < 0, então f(a, b) é um máximo local.
(c) Se D < 0, então (a, b) é um ponto de sela.
5