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Aula 04 
Robson Dias 
Robson Dias 2 
 Considera-se que o 
solo é um condutor 
ideal 
 A corrente que flui 
pelo condutor induz 
uma corrente no solo 
de sentido oposto 
Robson Dias 
 Considera-se que o 
solo é um condutor 
ideal 
 A corrente que flui 
pelo condutor induz 
uma corrente no solo 
de sentido oposto 
 Condutor IMAGEM 
3 
Robson Dias 
 A indutância externa é 
dada pela superposição 
dos campos externos 
4 
2h 
r0 
Robson Dias 
 
5 
r0 
2h 
0h rCondutor 
Imagem 
Robson Dias 
 O fluxo externo que enlaça o 
condutor é 
6 
r0 
2h 
0h rCondutor 
Imagem 
P 
D1 
D1’ a 1 1    
1 1
a
I D D
ln ln
2 r 2h
 

   
     
    
Robson Dias 7 
r0 
2h 
0h rCondutor 
Imagem 
P 
D1 
D1’ 
1
a
1
I 2h D
ln ln
2 r D
  
   
    
    
 Fazendo D1 e D1’ 
tenderem para o infinito, 
tem-se que 
a
a
2h
L ln
I 2 r
 

  
      
Robson Dias 
1
D
2
r1 r2
Ia Ib
 Ia + Ib = 0 
Hipótese 
Robson Dias 
1
D
2
r1 r2
Ia Ib
Robson Dias 
m mn
m mn1 1
2 2mn
n
n
mn
2h D
ln ln
r D I
I2 D 2h
ln ln
rD
 
 


 
 
           
 
 
m mn
m mn
mn n
mn n
2h D
ln ln
r D
[L]
2 D 2h
ln
D r
ln




 
 
 
 
 
 
Robson Dias 
 I1 + I2+ . . . +In = 0 
Hipótese 
P
1
n
3
2
D3P
D2P
D1P
DnP
Robson Dias 
Solo
hn
Dmn
Dmn
hm
m
n
Imagem
n
Imagem
m Imagem
o
Imagem
p
o
p
Dmp
Dmo
ho hp
Dmo
Dmp
Robson Dias 
Solo
hn
Dmn
Dmn
hm
m
n
Imagem
n
Imagem
m Imagem
o
Imagem
p
o
p
Dmp
Dmo
ho hp
Dmo
Dmp
mpmom mn
mn mo mpm
npnomn nm
mn no npnn
o opno omn
p mn no opo
op pnomn
mn no op p
DD2h D
ln ln ln ln
D D Dr
DDD 2h
ln ln ln ln
D D Dr
DD 2hD
2 ln ln ln ln
D D Dr
D 2hDD
ln ln ln ln
D D D r










 
 
 
 
   
   
   
   
   
   
   



 
m
n
o
p
I
I
I
I
 
 
 
 
 
 
  



Robson Dias 
mpmom mn
mn mo mpm
npnomn n
mn no npn
opno omn
mn no opo
op pnomn
mn no op p
DD2h D
ln ln ln ln
D D Dr
DDD 2h
ln ln ln ln
D D Dr
[L] DD 2hD
2 ln ln ln ln
D D Dr
D 2hDD
ln ln ln ln
D D D r






 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
Solo
hn
Dmn
Dmn
hm
m
n
Imagem
n
Imagem
m Imagem
o
Imagem
p
o
p
Dmp
Dmo
ho hp
Dmo
Dmp
Robson Dias 
Solo
b
c
Dab
a Dca
Dbc
A
C
B
C
B
A
B
A
C
1/3 X 1/3 X 1/3 X
X
aa ab ac bb bc ba cc ca cb
ba bb bc cb cc ca ac aa ab
ca cb cc ab ac aa bc ba bb
L L L L L L L L L
1
L L L L L L L L L
3
L L L L L L L L L
      
              
            
L
Robson Dias 
Solo
b
c
Dab
a Dca
Dbc
A
C
B
C
B
A
B
A
C
1/3 X 1/3 X 1/3 X
X
aa ab ac bb bc ba cc ca cb
ba bb bc cb cc ca ac aa ab
ca cb cc ab ac aa bc ba bb
L L L L L L L L L
1
L L L L L L L L L
3
L L L L L L L L L
      
              
            
L
Robson Dias 
Solo
b
c
Dab
a Dca
Dbc
A
C
B
C
B
A
B
A
C
1/3 X 1/3 X 1/3 X
X
aa ab ac bb bc ba cc ca cb
ba bb bc cb cc ca ac aa ab
ca cb cc ab ac aa bc ba bb
L L L L L L L L L
1
L L L L L L L L L
3
L L L L L L L L L
      
              
            
L
Robson Dias 
 sendo 
aa ab ab
ab aa ab
ab ab aa
L L L
L L L
L L L
 
 
  
  
L
 aa aa bb cc
a b c
aa
m
aa
1
L L L L
3
2h 2h 2h1
L ln ln ln
3 r r r
2h
L ln
2 r


  
 
   
 

Robson Dias 
 sendo 
aa ab ab
ab aa ab
ab ab aa
L L L
L L L
L L L
 
 
  
  
L
 aa aa bb cc
a b c
aa
m
aa
1
L L L L
3
2h 2h 2h1
L ln ln ln
3 r r r
2h
L ln
2 r


  
 
   
 

 Onde 
 
 
 Altura média geométrica 
3
m a b ch h h h
Robson Dias 
 sendo 
aa ab ab
ab aa ab
ab ab aa
L L L
L L L
L L L
 
 
  
  
L
 aa aa bb cc
a b c
aa
m
aa
1
L L L L
3
2h 2h 2h1
L ln ln ln
3 r r r
2h
L ln
2 r


  
 
   
 

 Onde 
 
 
 Altura média geométrica 
3
m a b ch h h h
Robson Dias 
 Para os elementos fora da diagonal principal: 
 ab ab bc ca
ab bc ca
ab
ab bc ca
mi
ab
m
1
L L L L
3
D D D
L ln ln ln
3 2 D D D
D
L ln
2 D
1 



  

  
 
   
 

3
mi ab bc caD D D D
    3
mi ab bc caD D D DDistância média geométrica entre condutor e imagem 
Distância média geométrica entre condutores 
Robson Dias 
 A matriz de indutâncias é compostas pelos 
valores médios para cada posição 
 Isto é equivalente a: 
 
 
 fn é a fração do comprimento total que o 
trecho de transposição corresponde 
 Lijk é matriz de indutâncias do trecho 
 
22 
abc 1 123 2 231 3 312L f L f L f L  
Robson Dias 
 Indutância Própria média (Lp) 
23 
 Indutância Mútua média (Lm) 
 Matriz de indutâncias Médias da LT 
 p aa bb cc
1
L L L L
3
   m ab bc ca
1
L L L L
3
  
p m m
m p m
m m p
L L L
L L L
L L L
 
 
  
  
L
Robson Dias 
 Considerando 
24 
 Aplicando a transformação de similaridade: 
 Lembrando que 
abc abcU LI
1



012 012
012 012 012
U A LAI
U L I
2
2
1 1 1
1 a a
1 a a
 
 
 
  
A
2
onde a exp( )
3


Robson Dias 25 
 Se a LT for idealmente transposta, de forma que 
 Então 
00 01 02
1
10 11 12
20 21 22
L L L
L L L
L L L

 
  
 
  
012L A LA
p m m
m p m
m m p
L L L
L L L
L L L
 
 
  
  
L L
p m
p m
p m
L 2L 0 0
0 L L 0
0 0 L L
 
 
  
  
012L
Robson Dias 26 
 Só lembrando que a impedância total da linha, 
considerando o solo ideal, é dada por T int geo
Z Z Z 
Robson Dias 27 
 Só lembrando que a impedância total da linha, 
considerando o solo ideal, é dada por T int geo
Z Z Z 
• Funções de Bessel (Efeito Skin) 
• Coroa Circular (ACSR) 
• Condutor Maciço 
• Raio Equivalente (r’) 
• Condutor Maciço com 
distribuição uniforme de 
corrente 
Lembrete 
Impedância referente a 
geometria da linha 
ageo bcZ L
Robson Dias 
 S  comprimento do vão 
 s  comprimento de cabo entre os 
ponto 1 e 2 
 H  tensão horizontal (constante ao 
longo de toda curva) 
 T1  tensão tangencial no ponto 1 
 T2  tensão tangencial no ponto 2 
 W  peso do cabo por unidade de 
comprimento 
 α ângulo que a tensão tangencial T1 
faz com a horizontal 
 β ângulo que a tensão tangencial T2 
faz com a horizontal 
 
 
Robson Dias 
 Equação da Catenária 
H W x
y cosh 1
W H
  
     
Robson Dias 
 Considerandoum vão nivelado 
S
2

S
2

Flecha máxima 
Robson Dias 
 Considerando um vão nivelado 
S
2

S
2

2W x
2H
2W S
8H
2W S
24HAltura média 
Altura média é igual a um 
terço da flecha máxima 
Robson Dias 
m min
1
y y flecha
3
 
m max
2
y y flecha
3
 
S 
ymin 
ymax 
ym 
Robson Dias 
Robson Dias