1EE ga2018 1 gabarito (2)

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Universidade Federal de Pernambuco
Primeiro Exerc´ıcio Escolar de Geometria Anal´ıtica
02 de Abril de 2018
GABARITO
Questa˜o 1 (2,0 pontos). Seja (
−−→
FD,
−→
FE,
−→
FC) uma base ortogonal. Ca´lcule o produto
escalar entre
−→
AE e
−−→
BF .
B
E
C
A
D
F
3
12
Soluc¸a˜o: Seja ~i = 1
2
−−→
FD, ~j =
−→
FE e ~k = 1
3
−→
FC. Note que (~i,~j,~k) e´ uma base ortonormal.
Da´ı, temos: −→
AE =
−−→
AD +
−−→
DE
=
−−→
AD +
−−→
DE
=
−−→
AD +
−−→
DF +
−→
FE
= −−→FC −−−→FD +−→FE
= −3~k − 2~i+~j.
e −−→
BF =
−−→
BC +
−→
CF
=
−→
EF +
−→
CF
= −−→FE −−→FC
= −~j − 3~k.
Assim,
−→
AE = (−2, 1,−3) e −−→BF = (0,−1,−3). Portanto, −→AE · −−→BF = 8.
Resposta:
−→
AE · −−→BF = 8.
Questa˜o 2 (1,5 pontos). Prove que se o conjunto de vetores (~u, ~v, ~w) forma uma base para
o espac¸o, enta˜o o conjunto (~u+ ~v, ~u− ~v, ~w − 2~u) tambe´m forma uma base para o espac¸o.
Soluc¸a˜o: Basta verificar
α(~u+ ~v) + β(~u− ~v) + γ(~w − 2~u) = ~0⇒ α = β = γ = 0.
Assim, notemos que:
~0 = α(~u+ ~v) + β(~u− ~v) + γ(~w − 2~u) = (α + β − 2γ)~u+ (α− β)~v + γ ~w.
Como (~u, ~v, ~w) e´ base, segue que α + β − 2γ = α− β = γ = 0. Logo, α = β = γ = 0.
Resposta: (~u+ ~v, ~u− ~v, ~w − 2~u) e´ uma base.
Questa˜o 3 (2,0 pontos). Se em relac¸a˜o a uma base ortonormal ~u = (−1, 2,−3), ~v =
(−2,m, 1) e ~w = (3,m,−m), determine o valor de m tal que ~v seja ortogonal a ~w e forme
aˆngulo agudo com ~u.
Soluc¸a˜o: Se ~v e´ ortogonal a ~w, enta˜o
~v · ~w = 0⇒ (−2,m, 1) · (3,m,−m) = −6 +m2 −m = 0.
Resolvendo a equac¸a˜o do segundo grau acima, obtemos que m = 3 ou m = −2. Seja
θ = ang(~u,~v), enta˜o
cos θ =
~u · ~v
||~u|| ||~v|| .
Se θ e´ agudo, enta˜o cos θ > 0 e, consequentemente, ~u · ~v > 0. Note que
~u · ~v = (−1, 2,−3) · (−2,m, 1) = 2 + 2m− 3 = 2m− 1.
Sendo assim, o u´nico valor de m para o qual ~u · ~v > 0 e´ m = 3.
Resposta: m = 3.
Questa˜o 4 (2,0 pontos). Considere treˆs vetores ~u, ~v e ~w tais que [~u,~v, ~w] = 10. Calcule
[3~w,~v + 2~u, ~u− ~w].
Soluc¸a˜o: Usando a trilinearidade e a alternaˆncia do produto misto, temos:
[3~w,~v + 2~u, ~u− ~w] = [3~w,~v, ~u− ~w] + [3~w, 2~u, ~u− ~w]
= [3~w,~v, ~u] + [3~w,~v,−~w] + [3~w, 2~u, ~u] + [3~w, 2~u,−~w]
= 3[~w,~v, ~u]− 3[~w,~v, ~w] + 6[~w, ~u, ~u]− 6[~w, ~u, ~w]
= −3[~u,~v, ~w]
= −30
Resposta: [3~w,~v + 2~u, ~u− ~w] = −30.
Questa˜o 5 (2,5 pontos). Dados os vetores ~u = (3,−2, 6), ~v = (−3,−5, 8) e ~w = (1, 0, 1).
a) (0,5) Calcule ~u ∧ ~v.
b) (1,0) Obtenha a projec¸a˜o ortogonal de ~w sobre ~u ∧ ~v.
c) (1,0) Calcule o volume do tetraedro constru´ıdo sobre ~u,~v e ~w.
• Soluc¸a˜o a): Notemos que
~u ∧ ~v =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
3 −2 6
−3 −5 8
∣∣∣∣∣∣ = 14~i− 42~j − 21~k.
Resposta: ~u ∧ ~v = (14,−42,−21) = 7.(2,−6,−3).
• Soluc¸a˜o b): Primeiramente, vamos calculemos o produto escalar de ~w por ~u ∧ ~v:
~w · ~u ∧ ~v = (1, 0, 1) · (14,−42,−21) = 1.14 + 0.(−42) + 1.(−21) = −7
e ‖~u ∧ ~v‖ = 49. Portanto,
proj~u∧~v ~w =
~w · ~u ∧ ~v
‖~u ∧ ~v‖2 ~u ∧ ~v =
(
− 2
49
,
6
49
,
3
49
)
.
Resposta: proj~u∧~v ~w = (− 249 , 649 , 349).
• Soluc¸a˜o c): Sendo o volume do tetraedro igual a |[~u,~v, ~w]|
6
. Como
|[~u,~v, ~w]| = |~w · ~u ∧ ~v| = | − 7| = 7,
segue que a´rea do tetraedro e´ igual a 7
6
.
Resposta: A a´rea do tetraedro e´ igual a 7
6
.