4873 AD2 CIV 2007 2 prova

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV - AD2
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Calcule
∫
C
xz dx + x dy − yz dz, sendo C = C1 ∪C2 ∪C3 a curva da figura,
onde C3 e´ um quarto de circunfereˆncia no plano yz, C1 e C2 sa˜o segmentos de reta.
x
y
z
C1
C2
C3(1, 0, 1)
(1, 0, 0)
(0, 1, 0)
1
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Calcule
∫
C
(
yex
2
+ cos
(
x2
))
dx+
(
x2− tg
(
y2
))
dy, sendo C a fronteira do
triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 1), orientada no sentido anti-hora´rio.
Questa˜o 3 [2,0 pts]: Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as
−→
F (x, y, z) =
(
2xy + z3,
x2, 3xz2
)
para deslocar uma part´ıcula sobre a curva C parametrizada por γ(t) =
(
ln(t + 2), sen pit
2
,
t2 + 4
)
, com −1 ≤ t ≤ 0.
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Seja a superf´ıcie S parte do hemisfe´rio superior x2 +y2 +z2 = 16, com z ≥ 0,
interior ao cilindro x2 + y2 = 4.
a) Parametrize S como gra´fico de func¸a˜o de x e y.
b) Parametrize S utilizando as coordenadas polares como paraˆmetros.
c) Parametrize S utilizando as coordenadas esfe´ricas como paraˆmetros.
d) Parametrize S como uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o.
Questa˜o 5 [2,0 pts]: Considere a superf´ıcie da questa˜o 4. Calcule a a´rea de S.