P1 2012 1

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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Monique e Paulo
Data: 18 de abril de 2012
Primeira Prova
• Decida quais das afirmativas abaixo são verdadeiras.
I.
[
2 2
2 3
]
é combinação linear das matrizes
[
0 1
0 0
]
,
[
1 0
1 1
]
e
[
1 1
0 −1
]
.
II. O conjunto de matrizes
{[
1 1
1 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[−1 0
0 1
]
,
[
0 −2
−2 −1
]}
é linearmente independente.
Resposta: As afirmativas (I) e (II) são falsas.
• Seja W um subespaço de um espaço vetorial V e seja S = {~v1, ~v2, · · · , ~vk} um subconjunto de V que gera o
subespaço W . Considere as afirmativas
I. Cada vetor em W tem exatamente uma representação como combinação linear de vetores de S.
II. Para cada vetor ~u ∈ W o conjunto de vetores {~u, ~v1, ~v2, · · · , ~vk} é linearmente dependente.
Resposta: A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
• Considere as afirmativas abaixo, onde S = {(x, y, z, w)|x+ 2y + 3w = 0 e 2x− y = 0}.
I. S não é um subespaço de R4.
II. S contém um conjunto com três vetores linearmente independentes.
III. S contém um conjunto com dois vetores linearmente independentes.
IV. S é a interseção de dois subespaços de dimensão três de R4.
V. S tem, no máximo, 2 elementos.
Resposta: As afirmativas (III) e (IV) estão corretas.
• Seja V um espaço vetorial de dimensão 5, e seja S um subconjunto de V que gera V . Então S
Resposta: Deve ser composto de pelo menos cinco elementos.
• Seja V um espaço vetorial de dimensão 5, e seja S um subconjunto de V que é linearmente independente. Então
S
Resposta: Pode ter, no máximo, cinco elementos.
• Decida quais das afirmativas abaixo são verdadeiras.
I. O conjunto de vetores
{(1, 2,−1) , (2,−1, 1) , (0, 1, 1)} é linearmente independente.
II. O conjunto de vetores
{(1, 2,−1, 2) , (2,−1, 1, 5) , (0, 1, 1, 3) , (1, 1, 0, 3)} é linearmente independente. .
Resposta: A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
• Assinale a alternativa correta:
Resposta: As matrizes A e B = A+A sempre têm número de colunas LI iguais.
• O sistema linear representado pela matriz aumentada

0 2 2 2
−1 2 1 3
1 0 1 −1
−1 0 1 3
 possui solução única, cuja soma das
entradas é
Resposta: -1
Gabarito Pág. 1
• Sejam V um espaço vetorial, H ⊂ V um subespaço vetorial de V . Quais das seguintes afirmativas são verdadeiras?
I. Se β é base de V então podemos garantir que β ∩H é base de H.
II. Se γ é base de H e ~v ∈ V é tal que ~v /∈ H, então γ ∪ {~v} é linearmente independente.
Resposta: A afirmativa (II) é verdadeira.
• Qual a dimensão do subespaço vetorial H ⊂ R5 dos vetores da forma
~v = (x− y + z, 2x+ y + 8z,−x− 3z, 2y + 4z, x+ y + 5z)
Resposta: 2
• Considere o sistema linear Ax = b. Se b pertence ao espaço gerado pelas colunas da matriz A, então podemos
afirmar que:
Resposta: O sistema linear tem solução.
• Seja V um espaço vetorial, U e W subespaços vetorias de V . Considere as afirmações:
I. U ∩W = {~v |~v ∈ U e ~v ∈ W} é subspaço vetorial de V.
II. U ∪W = {~v |~v ∈ U ou ~v ∈ W} é subspaço vetorial de V.
III. U +W = {~u+ ~w | ~u ∈ U, ~w ∈ W} é subspaço vetorial de V.
Resposta: As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras.
• Considere o seguinte sistema de equações
{
x+ 2y − z = 2
2x+ 3y + z = 3.
Pretende-se acrescentar ao sistema linear a equação
ax+ by + cz = d,
sem mudar o conjunto solução contido em R3. Para isto basta:
Resposta: (a, b, c, d) ∈ 〈(1, 2,−1, 2), (2, 3, 1, 3)〉.
• Dizer que o conjunto de vetores {~v1, ~v2, · · · , ~vn} é linearmente independente é o mesmo que dizer que:
Resposta: α1~v1 + α2~v2 + · · ·+ αn~vn = 0, então α1 = α2 = · · · = αn = 0.
• Seja P2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e W = {p ∈ P2|p(2) = 0} um subespaço de P2. A
dimensão de W é:
Resposta: 2
Gabarito Pág. 2
UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II - MAE 125
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 18 de abril de 2012
Primeira Prova
1. Decida quais das afirmativas abaixo são verdadeiras.
I.
[
2 2
2 3
]
é combinação linear das matrizes[
0 1
0 0
]
,
[
1 0
1 1
]
e
[
1 1
0 −1
]
.
II. O conjunto de matrizes{[
1 1
1 0
]
,
[
0 1
1 0
]
,
[−1 0
0 1
]
,
[
0 −2
−2 −1
]}
é
linearmente independente.
(a) As afirmativas (I) e (II) são falsas.
(b) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
(c) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(d) A afirmativa (II) é falsa e (I) é verdadeira.
2. Seja W um subespaço de um espaço vetorial V e seja
S = {~v1, ~v2, · · · , ~vk} um subconjunto de V que gera o
subespaço W . Considere as afirmativas
I. Cada vetor em W tem exatamente uma repre-
sentação como combinação linear de vetores de
S.
II. Para cada vetor ~u ∈ W o conjunto de vetores
{~u, ~v1, ~v2, · · · , ~vk} é linearmente dependente.
(a) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(b) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
(c) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) As afirmativas (I) e (II) são falsas.
3. Considere as afirmativas abaixo, onde S =
{(x, y, z, w)|x+ 2y + 3w = 0 e 2x− y = 0}.
I. S não é um subespaço de R4.
II. S contém um conjunto com três vetores linear-
mente independentes.
III. S contém um conjunto com dois vetores linear-
mente independentes.
IV. S é a interseção de dois subespaços de dimensão
três de R4.
V. S tem, no máximo, 2 elementos.
(a) As afirmativas (III) e (IV) estão corretas.
(b) As afirmativas (I) e (IV) estão corretas.
(c) As afirmativas (II ) e (V) estão corretas.
(d) As afirmativas (I ) e (III) estão corretas.
4. Seja V um espaço vetorial de dimensão 5, e seja S um
subconjunto de V que gera V . Então S
(a) Deve ser composto de pelo menos cinco
elementos.
(b) Pode ter, no máximo, cinco elementos.
(c) Deve ser linearmente independente.
(d) Deve ser linearmente dependente.
5. Seja V um espaço vetorial de dimensão 5, e seja S um
subconjunto de V que é linearmente independente.
Então S
(a) Pode ter, no máximo, cinco elementos.
(b) Deve ter pelo menos cinco elementos.
(c) Deve ter exatamente cinco elementos.
(d) Deve ser uma base para V .
6. Decida quais das afirmativas abaixo são verdadeiras.
I. O conjunto de vetores
{(1, 2,−1) , (2,−1, 1) , (0, 1, 1)} é linearmente
independente.
II. O conjunto de vetores
{(1, 2,−1, 2) , (2,−1, 1, 5) , (0, 1, 1, 3) , (1, 1, 0, 3)}
é linearmente independente. .
(a) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(b) A afirmativa (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
(c) A afirmativa (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(d) A afirmativa (I) é falsa e (II) é falsa.
7. Assinale a alternativa correta:
(a) As matrizes A e B = A + A sempre têm
número de colunas LI iguais.
(b) Pode existir uma matriz não quadrada tal que
tanto suas linhas quanto suas colunas são line-
armente independentes.
(c) Se tanto as linhas quanto as colunas de uma ma-
triz são linearmente dependentes, então essa ma-
triz não é quadrada.
(d) Se a matriz A tem mais linhas do que colunas
então as suas colunas são linearmente indepen-
dentes.
8. O sistema linear representado pela matriz aumentada
0 2 2 2
−1 2 1 3
1 0 1 −1
−1 0 1 3
 possui solução única, cuja soma
das entradas é
(a) -1
(b) 0
(c) 1
(d) -2
Gabarito Pág. 1
9. Sejam V um espaço vetorial, H ⊂ V um subespaço
vetorial de V . Quais das seguintes afirmativas são
verdadeiras?
I. Se β é base de V então podemos garantir que
β ∩H é base de H.
II. Se γ é base de H e ~v ∈ V é tal que ~v /∈ H, então
γ ∪ {~v} é linearmente independente.
(a) A afirmativa (II) é verdadeira.
(b) A afirmativa (I) é verdadeira.
(c) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
(d) Nenhumas das duas afirmativas são verdadeiras.
10. Qual a dimensão do subespaço vetorial H ⊂ R5 dosvetores da forma
~v = (x−y+z, 2x+y+8z,−x−3z, 2y+4z, x+y+5z)
(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 4
11. Considere o sistema linear Ax = b. Se b pertence
ao espaço gerado pelas colunas da matriz A, então
podemos afirmar que:
(a) O sistema linear tem solução.
(b) O sistema linear tem solução única.
(c) O sistema linear é impossível.
(d) Não podemos afirmar nada.
12. Seja V um espaço vetorial, U e W subespaços veto-
rias de V . Considere as afirmações:
I. U ∩W = {~v |~v ∈ U e ~v ∈ W} é subspaço veto-
rial de V.
II. U ∪W = {~v |~v ∈ U ou ~v ∈ W} é subspaço ve-
torial de V.
III. U + W = {~u+ ~w | ~u ∈ U, ~w ∈ W} é subspaço
vetorial de V.
(a) As afirmativas (I) e (III) são verdadeiras.
(b) As afirmativas (I) e (II) são verdadeiras.
(c) As afirmativas (II) e (III) são falsas.
(d) As afirmativas (II) e (III) são verdadeiras.
13. Considere o seguinte sistema de equações{
x+ 2y − z = 2
2x+ 3y + z = 3.
Pretende-se acrescentar ao sistema linear a equação
ax+ by + cz = d,
sem mudar o conjunto solução contido em R3. Para
isto basta:
(a) (a, b, c, d) ∈ 〈(1, 2,−1, 2), (2, 3, 1, 3)〉.
(b) (a, b, c) ∈ 〈(1, 2,−1), (2, 3, 1)〉.
(c) Qualquer equação que seja acrescentada mudará
a solução do sistema linear.
(d) (a, b, c, d) /∈ 〈(1, 2,−1, 2), (2, 3, 1, 3)〉.
14. Dizer que o conjunto de vetores {~v1, ~v2, · · · , ~vn} é li-
nearmente independente é o mesmo que dizer que:
(a) α1~v1+α2~v2+ · · ·+αn~vn = 0, então α1 = α2 =
· · · = αn = 0.
(b) Se α1 = α2 = · · · = αn = 0, então α1~v1+α2~v2+
· · ·+ αn~vn = 0
(c) α1~v1 + α2~v2 + · · · + αn~vn =
0, para todo α1, . . . , αn ∈ R
(d) ~vi não é múltiplo de ~vk se i 6= k
15. Seja P2 o espaço dos polinômios de grau menor ou
igual a 2 e W = {p ∈ P2|p(2) = 0} um subespaço de
P2. A dimensão de W é:
(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 0
Gabarito Pág. 2
Gabarito do Único Teste Gerado
Teste 001: 1B 2A 3D 4C 5C 6C 7B 8A 9A 10D 11A 12A 13A 14A 15C
Gabarito Pág. 1