Matemática ESAF Progressão Aritmética

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Curso	
  Avançado	
  de	
  Matemática	
  ESAF	
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  Carvalho	
  
Aula	
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  Progressão	
  Aritmética	
  –	
  P.	
  A.	
  
	
  
# Conceito: 
Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A., é uma sequência em que cada termo, a partir 
do segundo, é a soma do anterior com uma constante. 
 
# Representação: 
Designaremos o primeiro elemento de uma P.A. por a1 , o segundo elemento por a2 e assim 
sucessivamente, até o último elemento que é normalmente representado por an. 
Assim, uma P.A. será representada desta forma: ( a1, a2, a3, a4, ..., an ). 
A representação acima se refere a uma P.A. finita com n elementos. Se a sequência for 
infinita, a representação será acrescida de reticências: ( a1, a2, a3, a4, ... ). 
 
# Terminologia: 
Vejamos a seguinte P.A.: ( 1, 5, 9, 13, 17, 21) 
Um termo qualquer é identificado por aK, onde k indica a posição deste termo. 
Assim, temos, por exemplo, que o primeiro termo, a1, é igual a 1, enquanto a5 se refere ao 
quinto termo desta P.A., igual a 17. Já o terceiro termo, a3, é igual a 9. 
Como dito, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.A. é uma constante, a qual 
será chamada de razão da P.A., designada pela letra r. 
Para descobrir o valor da razão, basta subtrair dois elementos consecutivos. Há, portanto, 
várias formas de calcular o r. Vejamos: 
r = a2 – a1 = 5 – 1 = 4 
r = a3 – a2 = 9 – 5 = 4 
r = a4 – a3 = 13 – 9 = 4 
 
# Progressão Aritmética Constante: 
Uma progressão aritmética é dita constante quando a sua razão é igual a zero. Neste caso 
todos os termos da P.A. têm o mesmo valor. 
Exemplos: 
P.A. ( 4, 4, 4, ... ) à Razão = 0 
P.A. ( 21, 21, ..., 21 ) à Razão = 0 
P.A. ( 77, 77, 77 ) à Razão = 0 
 
 
	
  
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# Progressão Aritmética Crescente 
Uma P.A. é dita crescente quando a sua razão é maior que zero. Neste caso, consequente 
(elemento posterior) de um termo qualquer é sempre maior que ele próprio. 
Exemplos: 
P.A. ( 1, 2, 3, ... ) à razão = 1 
P.A. ( 15, 21, 27, ... ) à razão= 6 
P.A. ( -16, -12, -8 ) à razão = 4 
 
# Progressão Aritmética Decrescente 
Uma P.A. é dita decrescente quando a sua razão é menor que zero. Neste caso, o 
consequente de um termo qualquer é menor que ele próprio. 
Exemplos: 
P.A. ( 31, 29, 27, ... ) à razão = -2 
P.A. ( 75, 68, 61, ... ) à razão = -7 
P.A. ( 9, 0, -9 ) à razão = -9 
 
# Notações Especiais: 
- Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r) 
- Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y), em que y=r/2 
- Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r). 
 
# Exercícios de Fixação: 
 
01) Determine x de modo que (x, 2x+1, 5x+7) seja uma P.A. 
 
02) Obtenha uma P.A. de 3 termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440. 
 
03) Obtenha 3 números em P.A. de modo que sua soma seja 3 e a soma de seus quadrados 
seja 11. 
 
04) Obtenha uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e o 
dos meios seja 77. 
 
05) Determine o valor de x, tal que os números 2x, 3x e x2 sejam termos consecutivos e 
distintos de uma P.A. 
	
  
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# Termo Geral de uma P.A.: 
Como sabemos, o próximo termo de uma P.A. é igual a ele próprio somado à razão r. 
Assim, para um P.A. qualquer, podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro 
termo, a1, mais a razão r: 
a2 = a1 + r 
 
Já o terceiro termo é resultado da soma do segundo termo com a razão: 
a3 = a2 + r 
 
Assim, substituindo aquela penúltima informação na equação anterior, teremos: 
 
a3 = a2 + r à a3 = (a1 + r) + r à a3 = a1 + 2r 
 
Vimos que o quarto termo da P.A. é resultado da soma do terceiro com a razão. Ou seja: 
a4 = a3 + r 
E já que: a3 = a1 + 2r 
 
Então, teremos que: 
a4 = a3 + r à a4 = (a1 + 2r) + r à a4 = a1 + 3r 
 
Já temos, até aqui, o seguinte: 
a2 = a1 + r 
a3 = a1 + 2r 
a4 = a1 + 3r 
 
Daí, seguindo este mesmo raciocínio, teremos também que: 
a5 = a1 + 4r 
a6 = a1 + 5r 
a7 = a1 + 6r 
 
	
  
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Assim, generalizando, diremos que, partindo-se do primeiro termo (a1), a fórmula do termo 
geral de uma P.A. será dado por: 
 
an = a1 + (n – 1).r 
 
De outra forma, é também possível calcular o valor de um termo qualquer da P.A., tendo 
como ponto de partida um outro termo diferente do primeiro. 
Quando usamos o a1 como referência, o parêntese da fórmula fica com a subtração (n – 1). 
Vejamos: 
an = a1 + (n – 1).r 
 
Daí, se o elemento de referência for, por exemplo, o a2, a fórmula mudará e o parêntese terá 
a subtração (n – 2). Assim: 
an = a2 + (n – 2).r 
 
Assim, teremos: 
a5 = a2 + 3r 
a6 = a2 + 4r 
a7 = a2 + 5r 
 
Na mesma linha de raciocínio, se o elemento de referência agora for o a3, a fórmula mudará 
e o parêntese terá a subtração (n – 3). Assim: 
 
an = a3 + (n – 3).r 
 
Assim, teremos: 
a5 = a3 + 2r 
a6 = a3 + 3r 
a7 = a3 + 4r 
 
 
 
	
  
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Generalizando, podemos então dizer que o termo geral da P.A., tendo por base um 
elemento qualquer am (diferente de a1), será dado por: 
 
an = am + (n – m).r 
 
# Resumo da ópera: 
– Avançando n termos para a direita, a partir de um referencial qualquer, somamos n vezes 
a razão r àquele termo inicial. 
Vejamos: 
Do a1 para o a3 à avanço de 2 termos à somamos a1 + 2.r (= a3) 
Do a3 para o a8 à avanço de 5 termos à somamos a3 + 5.r (= a8) 
Do a5 para o a12 à avanço de 7 termos à somamos a5 + 7.r (= a12) 
 
– Recuando n termos par a esquerda, a partir de um referencial qualquer, subtraímos n 
vezes a razão r daquele termo inicial. 
Vejamos: 
Do a3 para o a1 à recuo de 2 termos à subtraímos a3 – 2.r (= a1) 
Do a8 para o a3 à recuo de 5 termos à subtraímos a8 – 5.r (= a3) 
Do a12 para o a5 à recuo de 7 termos à subtraímos a12 – 7.r (= a5) 
 
# Exercícios de Fixação: 
Considere a seguinte P.A.: (1, 9, a3, 25, 33, a6, 49, 57, 65, a10, 81, a12, 97) 
1) Calcular a3 em função de a1 
2) Calcular a6 em função de a1 
3) Calcular a6 em função de a2 
4) Calcular a6 em função de a4 
5) Calcular a10 em função de a1 
6) Calcular a10 em função de a4 
7) Calcular a10 em função de a7 
 
Considere a seguinte P.A.: (a1, 9, 17, 25, 33, a6, 49, 57, 65, a10, 81, 89, 97) 
8) Calcular a1 em função de a3 
9) Calcular a6 em função de a9 
10) Calcular a10 em função de a13 
	
  
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# Mais Exercícios de Fixação: 
01) Calcule o 17o termos da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5. 
02) Obtenha o 12o , o 27o e o 100o termos da P.A. (2, 5, 8, 11, ...). 
03) Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é -8 e o vigésimo é 30. 
04) Qual o termo igual a 60 na P.A. em que o 2o termo é 24 e a razão é 2? 
05) Determine a P.A. em que o 6o termo é 7 e o 10o é 15. 
06) Quantos números ímpares há entre 14 e 192? 
 
# Propriedades de uma P.A.: 
PRIMEIRA: um termo qualquer de uma P.A. pode ser calculado como a média aritmética 
entre o seu antecedente e o seu consequente: 
 𝒂𝒙 = 𝒂𝒙!𝟏 + 𝒂𝒙!𝟏𝟐 
 
Assim, teremos: 𝑎! = 𝑎! + 𝑎!2 
 𝑎! = 𝑎! + 𝑎!2 
 𝑎!" = 𝑎!" + 𝑎!"2 
 
SEGUNDA: a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita é igual à 
soma dos seus extremos. 
Vejamos a seguinte P.A.: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) 
Se somarmos seus extremos, teremos: 
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) 
a1 + a10 = 1 + 19 = 20 
 
	
  
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Avançando do a1 para o a2, e recuando do a10 para o a9, e somando estes termos, teremos: 
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) 
a2 + a9 = 3 + 17 = 20 
 
Avançando do a2 para o a3, e recuando do a9 para o a8, e somando estes termos, teremos: 
(1, 3, 5, 7, 9, 11,13, 15, 17, 19) 
a3 + a8 = 5 + 15 = 20 
 
Avançando do a3 para o a4, e recuando do a8 para o a7, e somando estes termos, teremos: 
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) 
a4 + a7 = 7 + 13 = 20 
 
Finalmente, avançando do a4 para o a5, e recuando do a7 para o a6, e somando estes 
termos, teremos: 
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19) 
a5 + a6 = 9 + 11 = 20 
 
# Interpolação Aritmética: 
Em qualquer P.A., os termos a1 e an são ditos extremos, e os demais, meios. 
Fazer uma interpolação aritmética significa inserir ou intercalar K meios aritméticos entre a1 
e an. Para isso, só é preciso calcular a razão da P.A. 
Considerando que iremos interpolar k elementos entre os extremos, o número de termos 
total da P.A. será de (k+2). 
Ou seja: n = k + 2 
Aplicando o termo geral da P.A., teremos: 
an = a1 + (n – 1).r 
 
an = a1 + (k+2 – 1).r 
 
an = a1 + (k + 1).r 
 
an – a1 = (k + 1).r 
	
  
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Daí: 𝒓 = (𝒂𝒏 − 𝒂𝟏)(𝒌+ 𝟏) 
 
# Exercícios de Fixação: 
01) Interpolar 5 meios aritméticos entre 1 e 2. 
02) Intercalar 5 meios aritméticos entre -2 e 40. 
03) Quantos meios aritméticos devem ser interpolados entre 12 e 34, para que a razão da 
interpolação seja ½ ? 
04) Intercalar 12 meios aritméticos entre 100 e 200. 
 
# Soma dos termos de uma P.A.: 
Será dada pela seguinte fórmula: 𝑺𝒏 =   (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏).𝒏𝟐 
 
De onde saiu esta fórmula, professor? 
Vejamos! 
 
Vamos trabalhar com a seguinte P.A.: (2, 4, 6, 8, 10) 
Agora, vamos reescrevê-la, invertendo a ordem dos seus termos. 
Teremos: (10, 8, 6, 4, 2) 
Comparemos as duas sequências, colocando-as uma abaixo da outra. Teremos: 
2 4 6 8 10 
10 8 6 4 2 
 
Somando os termos correspondentes, teremos: 
2 4 6 8 10 
 10 + 8 + 6 + 4 + 2 + 
12 12 12 12 12 
	
  
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Vemos que os resultados das somas são todos iguais. Isto ocorre justamente porque a soma 
dos termos equidistantes dos extremos de uma P.A. é igual à soma dos seus extremos. 
(Vimos isto na página 2 desta aula!). 
Os elementos da primeira coluna da tabela acima (2 e 10) correspondem aos extremos 
desta P.A. (a1=2 e a5=10). 
E esta soma, que deu igual a 12, se repete 5 vezes, já que existem 5 elementos nesta 
sequência. 
Se multiplicarmos então o resultado da soma dos extremos (12) pelo número de elementos 
da P.A. (5), então chegaremos a 60. 
O que fizemos foi isto: (a1 + an) . n 
É preciso agora enxergar que este somatório (60) surgiu quando somamos os termos da 
P.A. duas vezes! 
Ou seja: 2.Sn = (a1 + an) . n 
Assim, para termos a expressão da soma (uma única vez) dos termos da P.A., dividiremos 
aquele resultado acima por 2. 
Daí: 𝑺𝒏 =   (𝒂𝟏 + 𝒂𝒏).𝒏𝟐 
 
# Exercícios de Fixação: 
01) Calcule a soma dos 25 termos iniciais da P.A. (1, 7, 13, ...). 
02) Obtenha a soma dos 200 primeiros termos da sequência dos números ímpares positivos. 
03) Qual a soma dos 120 primeiros números pares positivos? 
04) Determine a P.A. em que o vigésimo termo é 2 e a soma dos 50 termos iniciais é 650. 
05) A soma dos vinte primeiros termos de uma P.A. é -15. Calcule a soma do sexto termo 
dessa P.A. com o décimo quinto termo. 
06) Se a soma dos 10 primeiros termos de uma P.A. é 50 e a soma dos 20 primeiros termos 
também é 50, determine o valor da soma dos 30 primeiros termos. 
 
 
 
 
 
	
  
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# Questões de Concurso: 
 
01. (ESAF/2014) Em uma progressão aritmética, tem-se a3+a6=29 e a2+a5=23. Calcule a 
soma dos 200 primeiros termos dessa progressão aritmética. 
a) 60.500 
b) 60.700 
c) 60.600 
d) 60.400 
e) 60.800 
 
 
02. (ESAF/2014) A soma dos 200 primeiros termos da progressão (4, 7, 10, 13, ...) é igual a 
a) 60.200 
b) 60.300 
c) 60.100 
d) 60.500 
e) 60.400