Gabarito F4 EE3 2017p1

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DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
 Física Geral 4 Terceiro Exercício Escolar 26/06/2017 
 
 
 
 
Q1. Uma partícula de massa m encontra-se confinada em um poço de potencial infinito unidimensional de 
comprimento L, tal que U(x)  0, se 0 < x < L, e U(x)  ∞ de outro modo. (a) (1,0) Escreva a equação de Schrödinger 
independente do tempo na região 0 < x < L. Escreva, então, a solução geral para a função de onda  (x) em termos das 
funções ortogonais sen(kx) e cos(kx). (b) (2,0) Utilizando condições de contorno adequadas em x  0 e x  L, 
determine os possíveis valores de energia da partícula e suas autofunções normalizadas. (c) (1,0) Suponha que a 
partícula encontra-se em um estado que é uma superposição do estado fundamental e do primeiro estado excitado, ou 
seja, sua função de onda é dada por 
).()()( 21 xxx  
 
Se 
5/1
, determine o valor da constante . 
Dados: 



1)(
2
dxx
;  22 sencos2cos  ; 
Para n1 e n2 inteiros, 
        

00
coscossensen dxxnnxdxxnnx
 /2, se 
nn 
. As integrais são nulas se 
nn 
. 
Solução: (a) 
)()(
2
)(
2
2
22
2
2
22
xkx
mE
dx
d
xE
dx
d
m
 

 , cuja solução geral pode ser 
escrita como 
)(sen)cos()( kxBkxAx  , 
onde A e B são constantes. 
 (b) 
.00)0(  Ax 
 
,...3,2,1 com,ou0)(sen0)(  nnkLkLLx  
 Portanto, 
2
2
2
2
2
2222
822
n
mL
h
n
mLm
k
En 
 . 
 
Agora, 
12cos
2
sen1)(sen1)(
0 0
2
0
2
2
0
222 





  


kL kLkLL
dd
k
B
d
k
B
dxkxBdxx  . 
A segunda integral é nula no limite superior 
  nkL
 e no limite inferior 
 0
. A primeira é igual a kL. 
Assim, 
.
2
1
2
2
L
BkL
k
B

 Portanto, as autofunções normalizadas são 






 x
L
n
L
xn
 sen2)(
. 
 
(c)
 


LLLL
dxxxdxxxdxxdxxdxx
0
*
21
0
2
*
1
*
0
2
2
2
0
2
1
22
1)()()()()()(1)(
*  . 
Como 1 e 2 são ortonormais, as duas últimas integrais são nulas e, portanto, 
1
22
 
. Ou seja, a menos de um 
fator de fase irrelevante, 
5
2

. 
NÃO são permitidos dispositivos eletrônicos (CELULAR, CALCULADORA, etc.) nem respostas sem justificativas. 
 
Q2. (2,0) Uma partícula de massa m encontra-se confinada em um poço de potencial infinito bidimensional quadrado 
de lado L, tal que U(x,y)  0, se 0 < x < L e 0 < y < L, e U(x,y)  ∞ de outro modo. Se a partícula estiver no estado 
fundamental, qual a probabilidade da mesma ser encontrada na região quadrada definida pelos intervalos L/2 < x < L e 
L/2 < y < L ? 
 
Solução: No estado fundamental, a densidade de probabilidade 
2
),( yx
 tem um máximo central que decai 
simetricamente em direção à fronteira do poço. Assim, por simetria, as chances de se encontrar a partícula na região 
descrita são de 25%. Equivalentemente, a probabilidade é de 0,25. 
 
Evidentemente, este resultado pode ser obtido com a integração da densidade de probabilidade na área definida no 
enunciado: 
 
4
1
2
1
2
1
sen
2
sen
2
2
2/
2
2/




























  dyL
y
L
dx
L
x
L
p
L
L
L
L
. 
 
 
Q3. A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é 
are
a
r /
3
0,0,1
1
),,( 


, 
onde a é o raio de Bohr. (a) (1,5) Mostre que esta função de onda está devidamente normalizada. (b) (1,5) Calcule o 
valor médio da coordenada radial do elétron no estado fundamental do átomo de H. (c) (1,0) Nesse mesmo estado, 
qual é a probabilidade de se encontrar o elétron no exterior de uma região esférica de raio a com centro no núcleo? 
(Obs.: No item (c), para efeito de cálculo, use para a base neperiana o valor e  2,5.) 
 
Dados: 



 
0
1
!
n
rn ndrer


; 









2
22 22


 rr
e
drer
r
r
. 
 
Solução: (a) 
 
1
8
8
/2
244
sen
1
3
3
3
0
3
/22
3
2/2
3
2
0,0,1  


a
a
aa
drer
a
ddrdre
a
dV arar 
. 
 
(b) 
 
a
a
a
aa
drer
a
ddrdre
a
dVrr arar
2
3
16
24
/2
644
sen
1
3
4
4
0
3
/23
3
3/2
3
2
0,0,1    

 
. 
(c) 
      2
2
222
32
2
/2
3
/22
3
5
22
4
/2
2
/2
2
/2
44
)(
e
a
aae
a
a
aa
r
r
a
e
a
drer
a
arp
a
ar
a
ar 






















 



. 
O resultado exato é próximo de 0,68. Com o valor fornecido para e no enunciado, segue que 
 
.8,0
5
4
5,2
2
5,25,2
55
)( 




ee
arp