P1 de Demografia

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Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ
1a Prova de Demografia
Turma: MAD365 Prof. Rafael Santos 01/11/2016
Regras e informac¸o˜es:
• Qualquer ato que configure fraude (cola) ou intenc¸a˜o de fraude acarretara´ na reprovac¸a˜o automa´tica com
grau zero.
• So´ sera´ permitido que o aluno tenha consigo durante a prova os seguintes itens: La´pis, lapiseira, caneta,
borracha, re´gua, calculadora. O aluno que for pego portando algum outro objeto (principalmente celular)
estara´ sujeito a penalizac¸o˜es severas.
• Na˜o sera´ permitido que o aluno saia de sala durante a realizac¸a˜o de sua prova.
• Todas as respostas devem ser devidamente justificadas atrave´s de ca´lculos e/ou textos.
• E´ proibido rasurar a ta´bua de mortalidade que foi fornecida para realizac¸a˜o da prova. O aluno que rasura´-la
de forma a torna´-la inutilizavel em futuras avaliac¸o˜es estara´ sujeito a penalizac¸a˜o de 1,0 ponto na nota.
• Quando for realizar arredondamentos nume´ricos, utilize no mı´nimo 4 casas decimais (e tambe´m o bom senso).
Questa˜o 1: (2,4 pontos) Resolva os itens abaixo, que envolvem a realizac¸a˜o de projec¸o˜es populacionais:
(a) (0,8 ponto) Considere que uma populac¸a˜o apresentou tamanhos iguais a 600.000 e 680.000 nos anos 2005 e 2015
respectivamente, de acordo com os censos realizados nesses anos. Utilizando o me´todo da progressa˜o geome´trica,
obtenha uma projec¸a˜o para o tamanho dessa populac¸a˜o no ano 2023.
(b) (0,8 ponto) Considere que uma populac¸a˜o tenha tamanho P hoje e que estima-se que ela esteja evoluindo
de acordo com uma taxa instantaˆnea de incremento demogra´fico varia´vel, que pode ser descrita pela expressa˜o
β(t) = 0, 02( 2 − 0, 05√t√t ). Estime apo´s quanto tempo essa populac¸a˜o ira´ dobrar de tamanho, assumindo que
esse comportamento se mantenha por um tempo suficientemente grande.
(c) (0,4 ponto) Explique de forma sucinta, qual e´ a ideia central por tra´s do me´todo das componentes demogra´ficas,
que o difere dos demais me´todos de projec¸a˜o populacional vistos no curso.
(d) (0,4 ponto) Indique um ponto positivo e um ponto negativo do me´todo da curva log´ıstica, utilizado para
projec¸a˜o populacional.
Questa˜o 2: (2,4 pontos) Considerando a func¸a˜o de sobreviveˆncia descrita a seguir (de forma incompleta), resolva
os itens abaixo:
s(x) =
b+ 3 [ ? ] 0, 001x− 0, 0001x
2, para 0 ≤ x < 40
c(100− x), para 40 ≤ x < a
(a) (0,9 ponto) Obtenha o valor das constantes a, b, c; e tambe´m identifique qual operador matema´tico foi
substitu´ıdo por [ ? ] (ou seja, responda se e´ soma ou subtrac¸a˜o), para que a func¸a˜o s(x) apresentada seja de fato
uma func¸a˜o de sobreviveˆncia bem definida.
(b) (0,7 ponto) Calcule qual a probabilidade de um indiv´ıduo com 30 anos sobreviver por mais 25 anos e 8 meses,
pelo menos. Ale´m disso, responda: Foi preciso a utilizac¸a˜o de alguma suposic¸a˜o que na˜o seria necessa´ria caso a
pergunta fosse feita com 25 anos inteiros? Em caso afirmativo, explique qual.
(c) (0,8 ponto) Considere que devido a um contrato firmado no passado, uma pessoa que acabou de completar
50 anos de vida vai passar a receber uma quantia de R$ 1.000, 00 a cada dia de aniversa´rio subsequente, ate´ que
venha a falecer (ou seja, no dia que completar 51 anos, 52 anos, etc...). Calcule em me´dia quanto de dinheiro esse
indiv´ıduo vai receber dessa forma, ate´ falecer.
Questa˜o 3: (2,6 pontos) Com base na ta´bua de mortalidade fornecida, resolva os itens abaixo:
(a) (0,8 ponto) Interprete o significado da notac¸a˜o 10,25|14q50 e calcule seu valor.
(b) (0,4 ponto) Explique o que significa o valor L60 (maiu´sculo), encontrado na tabela.
(c) (0,7 ponto) Estime o valor de µ77 e explique como ele pode ser interpretado.
(b) (0,7 ponto) Interprete o significado da notac¸a˜o 15|22e˙46 e calcule seu valor.
Questa˜o 4: (0,8 ponto) Considere que a forc¸a de mortalidade associada a uma determinada populac¸a˜o na˜o e´
totalmente conhecida, mas sabe-se que µx = 0, 0001x para 30 ≤ x ≤ 40. Com base nessa informac¸a˜o, calcule 7|q31 .
Questa˜o 5: (2,6 pontos) Marque verdadeiro ou falso para cada uma das afirmac¸o˜es abaixo. Se for verdadeiro,
justifique ou demonstre. Se for falso, justifique; apresente sua correc¸a˜o e justifique-a; ou apresente um contra-
exemplo. Respostas sem justificativa sera˜o automaticamente desconsideradas.
(a) (0,5 ponto) Se uma populac¸a˜o fechada apresentar uma taxa bruta de crescimento natural igual a zero, enta˜o
ela sera´ tambe´m uma populac¸a˜o esta´vel.
(b) (0,4 ponto) Se um pa´ıs esta´ apresentando um alto valor para a raza˜o de dependeˆncia, enta˜o ele esta´ enfrentando
problemas relacionados a prevideˆncia social.
(c) (0,4 ponto) A taxa de fecundidade global fornece a proporc¸a˜o de mulheres consideradas em idade fe´rtil (entre
15 e 49 anos) e que engravidaram nesse determinado ano, em relac¸a˜o ao total de mulheres em idade fe´rtil.
(d) (0,4 ponto) O esquema de transic¸a˜o demogra´fica proposto pelo demo´grafo Warren Thompson e que foi
recentemente aprimorado, descreve a evoluc¸a˜o de uma populac¸a˜o dividindo-a em 5 esta´gios de acordo com o
seguinte crite´rio: Conforme a populac¸a˜o avanc¸a de um esta´gio para o seguinte, as taxas de natalidade e mortalidade
referentes a essa populac¸a˜o va˜o se aproximando uma da outra, ate´ que no esta´gio 5, temos a taxa de natalidade
ficando inferior a taxa de mortalidade.
(e) (0,4 ponto) A func¸a˜o de sobreviveˆncia e´ um caso particular de uma func¸a˜o densidade de probabilidade, quando
a varia´vel de interesse e´ o tempo que um indiv´ıduo rece´m-nascido vai sobreviver.
(f) (0,5 ponto) Na Lei de Sobreviveˆncia proposta por De Moivre, sempre temos que a probabilidade k|nqx e´
independente de k, desde que k + n ≤ w − x.
BOA PROVA!