182 PE bloco 2 exercícios

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UFRJ - Departamento de Engenharia Industrial - 2018/2. 
EEI201 Probabilidade e Estatística. Turmas 13175. 
Professor José Miguel Bendrao Saldanha. 
Exercícios do bloco 2. 
 
Atenção: Em cada um dos problemas apresentados a seguir, 
 defina o(s) experimento(s) aleatório(s) que representa(m) o problema; 
 defina os eventos aleatórios relevantes para a resolução do problema; 
 estabeleça as relações entre os eventos definidos, e 
 utilize as propriedades da probabilidade (axiomas, teoremas, definições) para encontrar as 
respostas às questões formuladas. 
Evite, em especial, os erros e incorreções que seguem. 
1) Confundir o experimento aleatório com o enunciado do problema. Às vezes, o próprio enunciado 
já é a descrição do experimento, mas é preciso cuidado, pois o experimento é o conjunto de condições 
que pode ser repetido indefinidamente, sempre da mesma forma, em relação ao qual a possibilidade 
da ocorrência de cada evento aleatório é quantificada pela sua probabilidade. Ele é sempre uma 
idealização formal, um modelo abstrato da realidade, sendo esta descrita muitas vezes de maneira 
informal e imprecisa no enunciado do problema. 
2) Representar eventos aleatórios distintos pelo mesmo símbolo. Ao jogar duas moedas, os eventos 
"primeira moeda dá coroa" e "segunda moeda dá coroa", por exemplo, são distintos (pois quando o 
experimento - jogar duas moedas - se realiza, pode um deles ocorrer e o outro não) e, portanto, não 
podem ser ambos representados pela letra C. Poderiam ser chamados, por exemplo, C1 e C2 (o uso de índices associados às letras pode ajudar bastante em certos problemas). 
3) Escolher letras confusas, enganadoras ou desnecessárias para representar os eventos. 
Escolher letras que facilmente evoquem os eventos representados (e as relações - lógicas e/ou 
numéricas - entre eles) ajuda o pensamento a fluir, ou pelo menos não o atrapalha. Por exemplo, ao 
escolher uma carta ao acaso num baralho, ela pode ser preta ou vermelha. Se o evento "carta 
vermelha" for representado pela letra V, é melhor representar "carta preta" por V , que evidencia a 
relação    VP1VP  , do que pela letra P. Pior ainda seria representar estes dois eventos por CV e CP, 
por exemplo... 
4) Definir "eventos compostos". Por exemplo, em vez de fazer X = "1ª carta vermelha e 2ª preta", em 
geral é melhor definir A = "1ª carta vermelha" e B = "2ª carta preta" e depois referir-se ao evento "1ª 
carta vermelha e 2ª preta" como AB (ou AB). 
5) Resolver as questões sem levar em conta os eventos definidos. Isto é, os eventos não devem ser 
definidos "só para constar". A definição clara dos eventos não pode ser um problema a mais e sim 
aproveitada como parte do caminho para a solução! 
6) Efetuar operações não justificadas entre probabilidades (por exemplo, somar probabilidades em 
desacordo com o axioma da adição). Qualquer operação envolvendo probabilidades de um ou mais 
eventos, com o objetivo de encontrar probabilidades de outros eventos, só estará correta se 
corresponder à aplicação de propriedades (definições, axiomas ou teoremas) da probabilidade à 
situação em questão. 
7) Calcular probabilidades envolvendo vários eventos sem definir anteriormente que relações há 
entre eles. Uma das etapas mais importantes, talvez a mais importante, da resolução de problemas de 
probabilidade é o estabelecimento das relações lógicas entre os eventos envolvidos. Relações 
numéricas entre probabilidades dependem completamente das relações lógicas (somas, produtos, 
implicações, equivalências etc) entre os eventos respectivos, elas não têm "existência autônoma". Por 
exemplo, P(X) só será igual a P(A)+P(B)+P(C) (exceto por alguma coincidência numérica) se X for 
equivalente a pelo menos A, B ou C, e se os três eventos A, B e C forem mutuamente excludentes dois a 
dois. 
 
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8) Supor (às vezes implicitamente) mutuamente excludentes eventos que não o são. É o que se faz 
quando se somam as probabilidades de A e de B para encontrar a probabilidade de pelo menos A ou B 
(isto é, do evento A+B), "esquecendo-se" de subtrair P(AB). 
9) Não explicitar as suposições adicionais necessárias à resolução das questões. Nem sempre o 
enunciado do problema contém explicitamente todas as condições necessárias para o cálculo das 
probabilidades pedidas, para o que é preciso fazer suposições simplificadoras, em geral relativas a 
independência, regularidade, possibilidade de repetição etc. 
10) Supor (às vezes implicitamente) independentes eventos que não o são. É o que se faz quando se 
multiplica P(A) por P(B) para encontrar P(AB), em vez de multiplicar P(A) por P(B|A) [ou P(B) por 
P(A|B)], de acordo com o teorema da multiplicação. 
11) Definir "eventos condicionados". Não existem "eventos condicionados"! O que há são 
probabilidades condicionadas. Em vez de, por exemplo, dizer P(FB) = "probabilidade de o rádio funcionar quando ambas as suas duas baterias estão carregadas", deve definir-se algo como R = "rádio 
funciona", B1 = "bateria 1 carregada", B2 = "bateria 2 carregada" e, portanto, P ("rádio funcionar quando ambas as baterias estão carregadas") = P(R|B1B2). 
 
Problema 1 
Um baralho comum de 52 cartas é dividido ao acaso em duas partes com a mesma quantidade de 
cartas. Qual é a probabilidade de ambas as partes terem exatamente o mesmo número de cartas pretas 
e vermelhas? 
 
Problema 2 
Uma barra é quebrada ao acaso em dois pontos. Qual é a probabilidade de ser possível construir um 
triângulo com os três pedaços resultantes da quebra? (Suponha que os pontos onde a barra é 
quebrada são escolhidos ao acaso ao longo de toda a extensão da barra, independentemente um do 
outro) 
 
Problema 3 
Quantas vezes, em média, é preciso lançar um dado equilibrado até que o resultado do primeiro 
lançamento se repita exatamente duas vezes? 
 
Problema 4 
Numa turma de 25 alunos, qual é a probabilidade de haver pelo menos dois aniversários no mesmo 
dia? (Para simplificar, suponha que não existem anos bissextos) 
 
Problema 5 
Um comprador só aceita um lote de 20 peças se, numa amostra de 5 peças do lote escolhidas ao acaso 
houver no máximo uma peça defeituosa. Qual é a probabilidade do lote ser aceito, se a quantidade 
total de peças defeituosas no lote for igual a (a) 4, e (b) 8? 
 
Problema 6 
Uma moeda viciada, cuja coroa ocorre, em média, 80% das vezes em que é lançada, é colocada num 
saco onde já havia três moedas perfeitamente equilibradas. Em seguida, uma moeda é escolhida do 
saco ao acaso e lançada três vezes. 
a) Qual é a probabilidade do segundo lançamento ser coroa? 
b) Se o resultado do primeiro lançamento for coroa, qual é a probabilidade do resultado do segundo 
lançamento também ser coroa? 
c) Calcule a probabilidade de serem obtidas três coroas. 
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d) Os eventos "primeiro lançamento igual a coroa" e "segundo lançamento igual a coroa" são 
independentes? Por que? 
 
Problema 7 
A figura mostra as estradas existentes entre cidades de certa região e a 
tabela mostra as probabilidades das ligações estarem transitáveis após 
uma chuva forte na região. Suponha que as estradas ficam ou não 
transitáveis após a chuva de forma independente umas das outras, com a 
única exceção dos trechos BC e CD. Após uma chuva forte, a probabilidade 
de estes dois trechos permanecerem conjuntamente transitáveis é igual a 
45%. Qual é a probabilidade de, após uma chuva forte, ser possível viajar 
de A até D? 
 
 
 
 
Trecho AB AD BC AC CD 
Probabilidade 50% 70% 50% 40% 60% 
 
Problema 8 
Um equipamento eletro-mecânico de uso externo apresenta defeitos elétricos em 10% das vezes em 
que é utilizado. Os defeitos mecânicos ocorrem em 8% das vezes e há defeitos de ambos os tipos em 
4% dos casos. No local onde o equipamento é usado, chove a quarta parte do tempo, mas apenas em 
1% das vezes chove e ocorrem defeitos de ambos os tipos. Há registros ainda de 60% dos defeitos 
elétricos e 75% dosdefeitos mecânicos surgirem na ausência de chuva. 
a) Qual é a probabilidade de ocorrer algum tipo de defeito quando chove? 
b) Os defeitos elétricos são independentes da chuva? E os mecânicos? 
 
Problema 9 
A Meteorologia avaliou que a probabilidade de chover hoje na Ilha do Fundão é igual a 60%. No 
entanto, um velho pescador da região, que acerta 90% das suas previsões quando chove e 80% 
quando não chove, afirma que hoje vai chover. Com base nas informações da Meteorologia e do 
pescador, qual é a probabilidade de chover hoje? 
 
Problema 10 
A urna A contém 8 bolas vermelhas e 2 azuis e a urna B contém 6 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma 
bola é retirada ao acaso da urna A e colocada na urna B. Em seguida, uma bola é retirada ao acaso da 
urna B. 
a) Calcule a probabilidade da bola retirada da urna B ser vermelha. 
b) Se esta bola for vermelha, qual é a probabilidade dela ser originária da urna A? 
Agora a bola retirada da urna B é colocada na urna A. Em seguida, uma bola é retirada ao acaso da 
urna A e colocada na urna B. O processo repete-se até a milésima bola ser retirada da urna B. 
c) Qual é a probabilidade da urna B conter n bolas vermelhas ao retirar-se dela a milésima bola? 
d) Se esta bola for vermelha, qual é a probabilidade dela ser originária da urna A? 
 
Problema 11 
Suponha que entre 17h e 18h de um determinado dia 40% dos passageiros que embarcam na estação 
Botafogo do Metrô nos trens da linha 1 (Ipanema - Saens Peña) que vão em direção à Zona Norte, 
desembarcarão na estação Central. No mesmo horário, esta proporção (de passageiros que se dirigem 
à estação Central) é igual a 30% na estação Flamengo e 20% nas demais estações. Suponha ainda que 
num trem de seis vagões, que chega à plataforma da estação Central às 17h 50min, há 25% de 
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passageiros provenientes da estação Flamengo e 40% oriundos da estação Botafogo. 
a) Qual é a probabilidade de um passageiro, escolhido ao acaso dentro deste trem, desembarcar na 
estação Central? 
b) Se um passageiro desembarca deste trem na estação Central, qual é a probabilidade dele ter 
embarcado na estação Botafogo? 
 
Problema 12 
Um jogador recebe duas cartas escolhidas ao acaso de um baralho de 15 cartas no qual há 4 cartas 
vermelhas. O objetivo do jogador é obter duas cartas vermelhas e ele troca, duas vezes, as cartas 
recebidas que não forem vermelhas (uma ou duas cartas de cada vez), por cartas escolhidas ao acaso 
dentre as restantes. As cartas trocadas não retornam ao baralho. 
Qual é a probabilidade do jogador obter, até o final do processo, as duas cartas vermelhas 
pretendidas? 
 
Problema 13 
Suponha que a probabilidade de algum veículo enguiçar dentro do Túnel Rebouças, no sentido Lagoa 
→ Rio Comprido, é igual a 70%. Quando isto ocorre, há 80% de probabilidade do trânsito �icar 
engarrafado nas imediações da entrada do túnel. Quando não há qualquer veículo enguiçado, a 
probabilidade de engarrafamento é igual a 20%. 
a) Calcule a probabilidade de um engarrafamento. 
b) Quando o trânsito está engarrafado nas imediações da entrada do túnel, qual é a probabilidade de 
haver algum veículo enguiçado dentro do túnel? 
 
Problema 14 
Suponha que as fábricas A e B produzem, respectivamente, 40% e 60% das lâmpadas consumidas em 
certa cidade, que a vida útil das lâmpadas ultrapassa 1.500 horas em 90% dos casos quando é 
produzida na fábrica A e em apenas 40% dos casos quando provém da fábrica B. Se uma lâmpada 
adquirida num supermercado da cidade ainda funciona após 2.500 horas, qual é a probabilidade dela 
ter sido produzida na fábrica A? 
 
Problema 15 
De um conjunto de 100 moedas, das quais 99 são normais (uma FACE e uma COROA) e uma é falsa 
(duas COROAS), é escolhida uma moeda ao acaso. Lança-se a moeda 10 vezes, obtendo-se COROA 
todas as vezes. Qual é a probabilidade da moeda escolhida ser a falsa? 
 
Problema 16 
Suponha que 30% das pessoas que chegam ao setor de emergência de certo hospital em busca de 
atendimento estão em estado grave e devem ser examinadas imediatamente por um médico. O setor 
de atendimento avalia corretamente a gravidade dos casos 90% das vezes quando são graves e 80% 
quando não são, em média. 
a) Qual é a probabilidade de um paciente ser considerado grave, e 
b) Quando um paciente não é considerado grave, qual é a probabilidade desta avaliação estar correta? 
 
Problema 17 
Philip Kindred Dick, no seu livro Do Androids Dream of Electric Sheep?, argumento original do filme 
Blade Runner ("Caçador de Andróides"), de Ridley Scott, cita o Teste de Empatia Voigt-Kampff, por 
meio do qual podem ser identificados perigosos andróides do tipo Nexus-6, que, hábil e 
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indevidamente, fazem-se passar por seres humanos com extrema perfeição. Quando alguém é 
apontado pelo teste como andróide é imediatamente eliminado. O teste, contudo, não é perfeito. 
Quando aplicado em andróides, sempre os identifica corretamente, mas quando aplicado em seres 
humanos, identifica-os como andróides uma vez em cada milhão, em média. Suponha que há 50 
andróides do tipo Nexus-6 ocultos numa população total de 100 milhões de indivíduos. Escolhe-se um 
indivíduo desta população ao acaso e aplica-se-lhe o Teste de Empatia Voigt-Kampff. 
a) Qual é a probabilidade do indivíduo escolhido ser um andróide? 
b) Qual é a probabilidade do teste ser positivo (isto é, acusar que o indivíduo é um andróide)? 
c) Se o teste for positivo, qual é a probabilidade do indivíduo ser realmente um andróide? 
 
Problema 18 
Numa caixa, há 1 dado com 6 faces, 2 dados com 8 faces e 3 dados com 12 faces, Os dados são 
equilibrados e cada um tem as faces numeradas normalmente, de 1 até o número total de faces. Um 
dado é escolhido da caixa ao acaso e é lançado. 
a) Qual é a probabilidade do resultado (número da face de cima) ser múltiplo de 5? 
b) Se o resultado for múltiplo de 4, qual é a probabilidade do dado ter 8 faces? 
 
Problema 19 
A probabilidade de falha do motor na decolagem de um avião monomotor é igual a 1% e de cada um 
dos motores de um avião bimotor é igual a 5%. Supondo que o avião bimotor consegue decolar com 
apenas um motor funcionando, qual é o avião mais seguro na decolagem? (OBS: os aviões reais têm 
probabilidades muito mais altas de sucesso na decolagem ...) 
 
Problema 20 
Um baralho tem 20 cartas, das quais 5 são pretas. O objetivo de um jogador é obter pelo menos duas 
cartas pretas e ele pode optar por (a) receber quatro cartas de uma única vez, ou (b) receber duas 
cartas inicialmente e, em seguida, se não tiver ainda obtido as duas cartas pretas, trocar uma das 
cartas não pretas recebidas inicialmente, por uma das que sobrou no baralho. Qual deve ser a opção 
do jogador? Por que? 
 
Problema 21 
Dois dados equilibrados, um verde e outro vermelho, são lançados duas vezes. 
a) Calcule a probabilidade de cada um dos dados apresentar, no segundo lançamento, o mesmo 
resultado obtido no primeiro (ou seja, o dado verde apresentar o mesmo resultado nos dois 
lançamentos e o mesmo acontecer com o dado vermelho). 
b) Calcule a probabilidade dos resultados obtidos no segundo lançamento serem iguais aos obtidos no 
primeiro, independentemente das cores dos dados. Observe que, para que este evento ocorra, não é 
necessário que cada dado apresente o mesmo resultado nos dois lançamentos, exceto, obviamente, 
quando os resultados de ambos no primeiro lançamento forem iguais (dois cincos, por exemplo). 
 
Problema 22 
Uma cantina serve refeições, compostas de um prato principal, uma bebida e uma sobremesa. Apenas 
5% dos clientes pedem refeições completas, 10% nada consomem e 15% só pedem bebida. Metade 
dos que pedem sobremesa e dois terços dos que comem o prato principal também tomam alguma 
bebida. Metade das bebidas é servida junto com um prato principal e a terça parte junto com uma 
sobremesa. 
a) Qual é a probabilidade de um cliente que pede prato principal e sobremesa também pedir bebida?6
b) A demanda de bebidas independente da demanda de sobremesas? Por que? 
 
Problema 23 
Quantas vezes é preciso lançar uma moeda equilibrada para que a probabilidade de sair pelo menos 
uma coroa seja maior do que 7/8? 
 
Problema 24 
Dois dados são lançados e observa-se que o resultado de um deles é igual a 6. Qual é a probabilidade 
do resultado do outro dado também ser igual a 6? 
 
Respostas dos problemas 
 
1) ~22%. 
2) 1/4. 
3) 13. 
4) 56,9%. 
5) a) 75,1%; b) 30,7%. 
6) a) 57,5%; b) 60,4%; c) 22,2%; d) não. 
7) 81,25%. 
8) a) 20%; b) defeitos elétricos e chuva não são 
independentes, defeitos mecânicos e chuva são. 
9) 87,1%. 
10) a) 68%; b) 2/17; c) 1019n105n14 CCC  ; d) 
4/7. 
11) a) 30,5%; b) 52,5%. 
12) 36,7%. 
13) a) 62%; b) 90,3%. 
14) 60%. 
15) 91,2%. 
16) a) 41%; b) 94,9%. 
17) a) 5 x 10-7; b) aprox. 1,5 x 10-6; c) 1/3. 
18) a) 11/72; b) 6/17. 
19) o bimotor. 
20) (a) é melhor (prob. ganho = 24,9%) do que 
(b) (prob. ganho = 14,1%). 
21) a) 1/36; b) 11/216. 
22) a) 50%; b) Não. 
23) pelo menos 4 vezes. 
24) 1/11.