EP2 CIV 2 2005 aluno

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Cálculo IV - EP 2
Prezado aluno,
Esta semana vamos trabalhar com algumas aplicações da integral dupla como cálculo de volume
(seção 3.1), massa e centro de massa de certas regiões do plano (seção 4.3).
Quero chamar a sua atenção para o seguinte fato. Você aprendeu no Cálculo II que a integral de
uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é igual a zero.
PSfrag replacements
x
y
−a
a
Pois bem, temos um resultado análogo para as integrais duplas:
“Se B tem simetria em relação ao eixo y e z = f(x, y) é uma função ímpar na variável x, isto é,
f(−x, y) = −f(x, y) então
∫∫
B
f(x, y) dxdy = 0 .”
PSfrag replacements
x
y
−a a
B
Analogamente,
“Se B tem simetria em relação ao eixo x e f(x, y) é uma função ímpar na variável y, quer dizer
f(x,−y) = −f(x, y), então
∫∫
B
f(x, y) dxdy = 0” .
PSfrag replacements
x
y
−b
b
B
Atenciosamente,
Rioco K. Barreto
Coordenadora de Cálculo IV
Cálculo IV EP 2 2
Exercício 1: Utilize a simetria para calcular
I =
∫∫
B
(
x2 tg x + y3 + 4
)
dxdy ,
onde B =
{
(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1
}
.
Exercício 2: Calcule o volume do sólido S limitado pelas superfícies z = 1 − x2, z = 0, x + y = 4
e y = 0.
Exercício 3 [Ex. 8i da seção 4.3]: Calcule o volume do conjunto dado por x + y + z ≤ 1, x ≥ 0,
y ≥ 0 e z ≥ 0.
Exercício 4 [Ex. 1b da seção 4.3]: Calcule o centro de massa de B = {(x, y) ∈ R2 | x2 + 4y2 ≤ 1,
y ≥ 0
}
, onde a densidade é proporcional à distância do ponto ao eixo x.
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