EP2. Dada la función f(x) = -4x3+ 3x -2 determinar: a. Puntos de inflexión b. Intervalos de concavidades

Para determinar los puntos de inflexión de una función, necesitamos encontrar los valores de x donde la concavidad de la función cambia. Para ello, debemos seguir los siguientes pasos: 1. Derivamos la función f(x) para obtener su primera derivada f'(x). f'(x) = -12x^2 + 3 2. Igualamos la primera derivada a cero y resolvemos la ecuación para encontrar los puntos críticos. -12x^2 + 3 = 0 -12x^2 = -3 x^2 = 1/4 x = ±1/2 3. Evaluamos la segunda derivada f''(x) en los puntos críticos para determinar la concavidad. f''(x) = -24x 4. Sustituimos los valores de x en la segunda derivada: f''(-1/2) = -24(-1/2) = 12 f''(1/2) = -24(1/2) = -12 5. Analizamos los signos de la segunda derivada en los puntos críticos: - f''(-1/2) > 0: concavidad hacia arriba - f''(1/2) < 0: concavidad hacia abajo Por lo tanto, el punto de inflexión de la función f(x) = -4x^3 + 3x - 2 es x = -1/2 y la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo en ese punto. Para determinar los intervalos de concavidad, podemos utilizar los puntos críticos y los puntos de inflexión encontrados. En este caso, tenemos un único punto de inflexión en x = -1/2. Podemos dividir el dominio de la función en tres intervalos: (-∞, -1/2), (-1/2, 1/2) y (1/2, +∞). - En el intervalo (-∞, -1/2), la concavidad es hacia arriba. - En el intervalo (-1/2, 1/2), la concavidad es hacia abajo. - En el intervalo (1/2, +∞), la concavidad es hacia arriba. Espero que esta respuesta te sea útil. Si tienes alguna otra pregunta, estaré encantado de ayudarte.