Regra da Cadeia - Fórmulas Grandes e Pequenas

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A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
MO´DULO 1 – AULA 11
Aula 11 – A Regra da cadeia (segunda parte)
– fo´rmulas grandes e pequenas
Na˜o ha´ como evitar o sentimento de que essas
fo´rmulas matema´ticas teˆm uma existeˆncia
independente e uma inteligeˆncia pro´pria,
que elas sa˜o mais sa´bias do que no´s,
mais sa´bias ate´ mesmo do que seus descobridores,
que no´s obtemos mais delas do que o que foi
originalmente colocado nelas.
Heinrich Hertz
Objetivo
• Usar as fo´rmulas derivadas da Regra da Cadeia no caso das func¸o˜es de
va´rias varia´veis.
Introduc¸a˜o
Ha´ uma parte importante da cultura matema´tica que diz respeito a`s
fo´rmulas. E´ imposs´ıvel folhear os livros e os trabalhos de Matema´tica sem
encontrar, perfilados, seguindo por pa´ginas e pa´ginas, fo´rmulas e s´ımbolos,
em arranjos que va˜o dos mais simples aos mais elaborados. Na˜o se pode
mencionar, por exemplo, o Teorema de Pita´goras sem pensar na fo´rmula
a2 = b2 + c2.
Quem na˜o se lembra da famosa Fo´rmula de Bhaskara, para resolver
equac¸o˜es do segundo grau:
x =
−b±√b2 − 4ac
2a
?
Cada um de no´s tem algumas que sa˜o as suas favoritas:∫
u dv = uv −
∫
v du, sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b,
d(ω ∧ η) = (dω) ∧ η + (−1)p ω ∧ dη etc. Ha´ tantas!
Na aula anterior, voceˆ acrescentou ao seu rol de fo´rmulas matema´ticas
a da Regra da Cadeia:
119 CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
(f ◦ α) ′(t) = ∇f(α(t)) · α ′(t),
que tem a simplicidade como uma de suas caracter´ısticas.
Vamos a um exemplo.
Exemplo 11.1
Seja f : lR 2 −→ lR uma func¸a˜o diferencia´vel, tal que ∇f(−1, 0) =
(1, 2) e seja α(t) = (cos(3πt), 1− t2). Vamos usar a Regra da Cadeia para
calcular (f ◦ α) ′(1). Note que α(1) = (−1, 0). Aqui esta´ o ca´lculo de α ′(1):
α ′(t) = (−3π sen (3πt), −2t),
α ′(1) = (0, −2).
Assim,
(f ◦α) ′(1) = ∇f(α(1)) ·α ′(1) = ∇f(−1, 0) ·α ′(1) = (−1, 2) · (0, −2) = −4.
A fo´rmula por extenso
Quando expressamos as func¸o˜es usando a notac¸a˜o de varia´veis indepen-
dentes e dependentes, costumamos usar a versa˜o por extenso da fo´rmula da
Regra da Cadeia. Veja como isso funciona na situac¸a˜o a seguir.
Seja z(x, y) = f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel e α(t) = (x(t), y(t))
uma curva diferencia´vel, tal que Im(α) ⊂ Dom(f). Enta˜o, a composic¸a˜o de
f e α fica
z(t) = f(x(t), y(t)),
e a derivada desta func¸a˜o e´ dada por
dz
dt
(t) = ∇f(x(t), y(t)) ·
(dx
dt
(t),
dy
dt
(t)
)
=
=
∂f
∂x
(x(t), y(t))
dx
dt
(t) +
∂f
∂y
(x(t), y(t))
dy
dt
(t).
Em Matema´tica, assim como na vida, muitas vezes o menos e´ mais.
Assim, e´ comum usarmos a seguinte versa˜o abreviada dessa fo´rmula:
dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
,
CEDERJ 120
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
MO´DULO 1 – AULA 11
ou
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
.
Note a similaridade com a fo´rmula
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
,
apresentada no in´ıcio da aula anterior. Veja, no lugar de
dy
dx
, temos as deri-
vadas parciais
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
E´ preciso atenc¸a˜o no uso da fo´rmula, pois omitimos os pontos nos quais
cada uma das derivadas envolvidas deve ser calculada.
Esta´ na hora de observar como isso funciona na pra´tica.
Exemplo 11.2
Sejam z(x, y) = 2xy2 − x2y, x(t) = 3t2 e y(t) = sen 2t. Vamos
calcular
dz
dt
, a derivada da composta, usando a fo´rmula da Regra da Cadeia
e diretamente, apo´s obter a expressa˜o de z(t).
(a) Usando a fo´rmula da Regra da Cadeia:
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
=
= (2y2 − 2xy) 6t + (4xy − x2) (2 cos 2t) =
= (2 sen2 t − 6t2 sen 2t) 6t + (12t2 sen 2t − 9t4) (2 cos 2t) =
= 12t sen2 2t− 36t3 sen 2t + 24t2 sen 2t cos 2t− 18t4 cos 2t =
= 12t sen 2t (sen 2t − 3t2) + 3t2 cos 2t (8 sen 2t − 6t2).
Note que, da equac¸a˜o z = 2xy2 − x2y, calculamos ∂z
∂x
= 2y2 − 2xy e
∂z
∂y
= 4xy − x2, e das equac¸o˜es x = 3t2 e y = sen 2t calculamos
dx
dt
= 6t e
dy
dt
= 2 cos 2t. Ale´m disso, substitu´ımos x por 3t2 e y
por sen 2t, pois a resposta de
dz
dt
deve ser dada apenas em termos da
varia´vel t, a menos que tenhamos de deixar subentendido.
121 CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
(b) Efetuando a composic¸a˜o e, enta˜o, o ca´lculo direto:
z(t) = 6t2 sen2 2t − 9t4 sen 2t.
dz
dt
= 12t sen2 2t + (12t2 sen 2t) (2 cos 2t) − 36t3 sen 2t− 18t4 cos 2t =
= 12t sen 2t (sen 2t− 3t2) + 3t2 cos 2t (8 sen 2t− 6t2).
A rigor, dever´ıamos ter escrito
dz
dt
(t) no lugar de
dz
dt
, na u´ltima equac¸a˜o.
Quando f e´ uma func¸a˜o com mais varia´veis do que nossas usuais duas, a
fo´rmula ganha mais parcelas. Veja, no pro´ximo exemplo, como isso acontece.
Exemplo 11.3
Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel e seja
α(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (t2, cos 2t, sen 2t).
Suponha que, para t ∈ Dom(α), (x(t), y(t), z(t)) ∈ Dom(f).
Vamos expressar a derivada da composta w(t) em termos das derivadas
parciais de f .
Nesse caso, a fo´rmula da Regra da Cadeia fica
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
+
∂w
∂z
dz
dt
.
Uma vez que na˜o dispomos das informac¸o˜es sobre f (sabemos apenas
que e´ uma func¸a˜o diferencia´vel e que a composic¸a˜o e´ poss´ıvel), suas derivadas
parciais sera˜o apenas indicadas.
dw
dt
=
∂f
∂x
2t +
∂f
∂y
(−2 sen 2t) + ∂f
∂z
(2 cos 2t) =
= 2t
∂f
∂x
− 2 ∂f
∂y
sen 2t + 2
∂f
∂z
cos 2t.
Observe que os s´ımbolos
∂f
∂x
,
∂f
∂y
e
∂f
∂z
representam func¸o˜es na varia´vel
t, pois devemos substituir x, y e z pelos seus respectivos valores em t.
Aqui esta´ uma oportunidade para voceˆ experimentar.
Atividade 11.1
Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel, definida em todo o lR 3.
Escreva a fo´rmula indicada para calcular a derivada de
w(t) = f(e2t, t e3t, t2)
e expresse essa derivada,
dw
dt
, em termos das derivadas parciais de f .
CEDERJ 122
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
MO´DULO 1 – AULA 11
Parciais e parciais
Ate´ esta altura, temos considerado a situac¸a˜o ba´sica, em que f e´ uma
func¸a˜o de duas ou treˆs varia´veis e α e´ uma func¸a˜o vetorial, tomando valores
em lR 2 ou lR 3, dependendo do caso, e de uma varia´vel real. O resultado da
composic¸a˜o f ◦ α e´ uma func¸a˜o real de uma varia´vel real.
No entanto, podemos considerar, tambe´m, a seguinte situac¸a˜o:
Seja z(x, y) = f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel e suponha que x(u, v) =
g(u, v) e y(u, v) = h(u, v) sejam func¸o˜es diferencia´veis, definidas num aberto
U ⊂ lR 2, tais que, se (u, v) ∈ U , enta˜o (x(u, v), y(u, v)) ∈ Dom(f). Enta˜o,
podemos considerar z uma func¸a˜o de u e v, fazendo a composic¸a˜o
z(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) = f(g(u, v), h(u, v)).
Ale´m disso, podemos usar a Regra da Cadeia para calcular as derivadas
parciais de z em relac¸a˜o a u e a v, uma vez que para isso basta derivar a
func¸a˜o em relac¸a˜o a` varia´vel desejada, considerando a outra varia´vel como
uma constante.
Portanto,
∂z
∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
e
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
.
Veja, no exemplo a seguir, como usar as fo´rmulas.
Exemplo 11.4
Sejam z = f(x, y) = xy − y2, x = g(u, v) = u2 + v2 e y = h(u, v) =
3u−v. Considerando z uma func¸a˜o de u e v, ou seja, tomando a composic¸a˜o
z(u, v) = f(g(u, v), h(u, v)),
vamos calcular as derivadas parciais
∂z
∂u
e
∂z
∂v
de ambas as maneiras: usando
as fo´rmulas da Regra da Cadeia e, diretamente, apo´s obter a expressa˜o
expl´ıcita de z em termos de u e v.
123 CEDERJ
A Regrada cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
(a) Usando a Regra da Cadeia:
∂z
∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
=
= y (2u) + (x− 2y) 3 =
= (3u− v) (2u) + (u2 + v2 − 6u + 2v) 3 =
= 9u2 − 2uv + 3v2 − 18u + 6v.
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
=
= y (2v) + (x− 2y) (−1) =
= (3u− v) (2u) + (u2 + v2 − 6u + 2v) (−1) =
= −u2 + 6uv − 3v2 + 6u− 2v.
(b) Diretamente da expressa˜o de z em termos de u e v:
z(u, v) = (u2 + v2) (3u− v) − (3u− v)2 =
= 3u3 − u2v + 3uv2 − v3 − 9u2 + 6uv − v2;
∂z
∂u
= 9u2 − 2uv + 3v2 − 18u + 6v;
∂z
∂v
= −u2 + 6uv − 3v2 + 6u− 2v.
Esta´ na hora de voceˆ entrar em ac¸a˜o. Eis mais uma atividade
para voceˆ:
Atividade 11.2
Seja w(u, v) = f(u e2v, v e2u, uv), onde f(x, y, z) e´ uma func¸a˜o dife-
rencia´vel, definida em todo o lR 3.
(a) Expresse
∂w
∂u
e
∂w
∂v
em termos das derivadas parciais de f ,
∂f
∂x
,
∂f
∂y
e
∂f
∂z
.
(b) Sabendo que ∇f(e2, e2, 1) = (1,−1, 2), calcule ∇w(1, 1).
Voceˆ observou que, uma vez conhecida a expressa˜o que define a func¸a˜o
composta, e´ menos trabalhoso deriva´-la diretamente. No entanto, nem sem-
pre dispomos de todas as informac¸o˜es para obter as leis de definic¸a˜o explici-
tamente. Nesse caso, a fo´rmula e´ o u´nico recurso de que dispomos.
Ale´m disso, e´ bom estar preparado para usar uma variedade de dife-
rentes nomenclaturas e notac¸o˜es para as derivadas parciais.
CEDERJ 124
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
MO´DULO 1 – AULA 11
Terminaremos a aula com uma se´rie de exemplos em que exploraremos
esses aspectos.
Exemplo 11.5
Seja g(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel, definida em todo o lR 3, e
suponha que x(u, v) = u2 cos v, y(u, v) = u2 sen v e z(u, v) = uv.
Vamos considerar G(u, v) = g(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) e expressar
as derivadas parciais de G, em relac¸a˜o a u e v, em termos das derivadas
parciais de g, em relac¸a˜o a x, y e z.
Nesse caso, as fo´rmulas que sera˜o usadas sa˜o:

∂G
∂u
=
∂g
∂x
∂x
∂u
+
∂g
∂y
∂y
∂u
+
∂g
∂z
∂z
∂u
;
∂G
∂v
=
∂g
∂x
∂x
∂v
+
∂g
∂y
∂y
∂v
+
∂g
∂z
∂z
∂v
.
Assim,
∂G
∂u
= (2u cos v)
∂g
∂x
+ (2u sen v)
∂g
∂y
+ v
∂g
∂z
;
∂G
∂v
= (u2 sen v)
∂g
∂x
+ (u2 cos v)
∂g
∂y
+ u
∂g
∂z
.
Note que
∂g
∂x
,
∂g
∂y
e
∂g
∂z
devem ser vistas, nas duas equac¸o˜es anteriores,
como func¸o˜es de u e v, uma vez que substitu´ımos nelas x, y e z por seus
respectivos valores em termos de u e v: x = u2, cos v, y = u2 sen v e z = uv.
Exemplo 11.6
Vamos calcular wr e wt sabendo que w = xy + 2yz − xz, x = r et,
y = r e−t e z = t2.
Nesse exemplo, a eˆnfase esta´ na notac¸a˜o wr e wt. Isso e´ uma outra
maneira de denotar as func¸o˜es derivadas parciais de w em relac¸a˜o a r e a t,
respectivamente. Usando essa notac¸a˜o, as fo´rmulas ficam:

wr = wx xr + wy yr + wz zr;
wt = wx xt + wy yt + wz zt.
125 CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
Assim, obtemos
wr = (y − z) et + (x + 2z) e−t + (2y − x) 0
wr = (r e
−t − t2) et + (r et + 2 t2) e−t
wr = r − t2 et + r + 2t2 e−t = 2r − t2(et − 2 e−t);
wt = (y − z) r et + (x + 2z) (−r e−t) + (2y − x) (2t)
wt = (r e
−t − t2) r et − (r et + 2t2) r e−t + (2r e−t − r et) 2t
wt = 2rt e
−t (1− t) − rt et (t + 2).
Vamos a um exemplo onde temos uma composic¸a˜o dupla.
Exemplo 11.7
Seja zf(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel definida em todo o lR 2, x =
2u− v, y = 3u+2v, u = t2 +2t e v = 3− t. Vamos expressar dz
dt
em termos
das derivadas parciais de f .
Sabemos que 

∂z
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
,
∂z
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
e
dz
dt
=
∂z
∂u
du
dt
+
∂z
∂v
dv
dt
.
Portanto,
dz
dt
=
(∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
) du
dt
+
(∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
) dv
dt
dz
dt
=
(∂f
∂x
2 +
∂f
∂y
3
)
(2t + 2) +
(∂f
∂x
(−1) + ∂f
∂y
2
)
(−1) =
= (4t + 5)
∂f
∂x
+ (6t + 4)
∂f
∂y
.
Voceˆ deve notar que
∂f
∂x
e
∂f
∂y
representam, na fo´rmula anterior, func¸o˜es
de t. Para isso, devemos calcula´-las em
(
x
(
u(t), v(t)
)
, y
(
u(t), v(t)
))
.
CEDERJ 126
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
MO´DULO 1 – AULA 11
Respostas das atividades
Atividade 11.1
Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel, definida em todo o lR 3.
Escreva a fo´rmula indicada para calcular a derivada de
w(t) = f(e2t, t e3t, t2)
e expresse essa derivada,
dw
dt
, em termos das derivadas parciais de f .
Soluc¸a˜o:
Usamos a fo´rmula
dw
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
+
∂f
∂z
dz
dt
,
onde x(t) = e2t, y = t e3t e z(y) = t2. Enta˜o,
dw
dt
=
∂f
∂x
2 e2t +
∂f
∂y
(e3t + 3t e3t) +
∂f
∂z
2t =
= 2 e2t
∂f
∂x
+ e3t (1 + 3t)
∂f
∂y
+ 2t
∂f
∂z
.
Atividade 11.2
Seja w(u, v) = f(u e2v, v e2u, uv), onde f(x, y, z) e´ uma func¸a˜o dife-
rencia´vel, definida em todo o lR 3.
(a) Expresse
∂w
∂u
e
∂w
∂v
em termos das derivadas parciais de f ,
∂f
∂x
,
∂f
∂y
e
∂f
∂z
.
(b) Sabendo que ∇f(e2, e2, 1) = (1,−1, 2), calcule ∇w(1, 1).
Soluc¸a˜o:
Neste caso, usamos as fo´rmulas

∂w
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
+
∂f
∂z
∂z
∂u
,
∂w
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
+
∂f
∂z
∂z
∂v
,
127 CEDERJ
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
onde x = u e2v, y = v e2u e z = uv. Assim,

∂w
∂u
= e2v
∂f
∂x
+ 2v e2u
∂f
∂y
+ v
∂f
∂z
,
∂w
∂v
= 2u e2v
∂f
∂x
+ e2u
∂f
∂y
+ u
∂f
∂z
.
Para determinar ∇w(1, 1), precisamos calcular ∂w
∂u
(1, 1) e
∂w
∂v
(1, 1).
Para isso, usaremos
∇f(e2, e2, 1) =
(∂f
∂x
(e2, e2, 1),
∂f
∂y
(e2, e2, 1),
∂f
∂z
(e2, e2, 1),
)
= (1,−1, 2).
∂w
∂u
(1, 1) = e2
∂f
∂x
(e2, e2, 1) + 2 e2
∂f
∂y
(e2, e2, 1) +
∂f
∂z
(e2, e2, 1) =
= e2 − 2 e2 + 2 = 2− e2;
∂w
∂v
(1, 1) = 2 e2
∂f
∂x
(e2, e2, 1) + e2
∂f
∂y
(e2, e2, 1) +
∂f
∂z
(e2, e2, 1) =
= 2 e2 − e2 + 2 = 2 + e2
e, portanto,
∇w(1, 1) = (2− e2, 2 + e2).
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Calcule
dw
dt
, onde w = x2 + x ey + cos(xy), x = t + t2 e y = t3,
das duas maneiras: usando a Regra da Cadeia e diretamente, apo´s obter a
expressa˜o que define w como uma func¸a˜o de t.
Exerc´ıcio 2
Seja u = 2xy + x2, v = y2 − 2xy e w = e2u−v. Calcule ∂w
∂x
e
∂w
∂y
usando a Regra da Cadeia e diretamente, apo´s obter a expressa˜o que define
w como uma func¸a˜o de x e de y.
CEDERJ 128
A Regra da cadeia (segunda parte) – fo´rmulas grandes e pequenas
MO´DULO 1 – AULA 11
Exerc´ıcio 3
Sabendo que w = ln
√
4 + x2 + y2, x = 2s− t, y = −s+ 3t e z = st,
calcule as derivadas parciais de w em relac¸a˜o a s e a t.
Exerc´ıcio 4
Use a Regra da Cadeia para calcular as derivadas parciais wr e ws, onde
wu2 − v2 − uv, u = e3r cos(2s), v = e−3r sen (2s).
Exerc´ıcio 5
Seja f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel, definida em todo o conjunto lR 2.
Considere z = f(ln (u2− v2), arctg (uv)) e expresse as derivadas parciais ∂z
∂u
e
∂z
∂v
em termos das derivadas parciais de f .
Exerc´ıcio 6
Sabendo que f(u, v) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel definida em todo o
conjunto lR 2, considere w = f
(y
x
,
x
y
)
. Mostre que
x
∂w
∂x
+ y
∂w
∂y
= 0.
Exerc´ıcio7
Seja f(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel, tal que
∇f(1,
√
3,
√
3) = (2,−1, 3).
Sabendo que x = u cos 2v, y = u sen 2v e z = tg 2v, considere
w(u, v) = f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) e calcule ∇w(2, π/6).
Exerc´ıcio 8
Seja w = t3 f(x, y), com x = cos t2, y = sen t2. Expresse
dw
dt
em
termos da func¸a˜o f e das suas derivadas parciais.
Exerc´ıcio 9
Calcule os valores de a e b tais que a curva α(t) = (a cos t, b sen t) seja
uma parametrizac¸a˜o da curva de n´ıvel e36 da func¸a˜o z(x, y) = e9x
2+4y2 .
129 CEDERJ