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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Equações Diferenciais - Exercícios Programados 03
(semanas de 14 a 27/02/2011)
Exercício 1 Uma equação da forma
Comentário:
Este exercicio é muito interessante.
Ele estabelece uma relação entre
equações diferenciais lineares de se-
gunda ordem e um par de equa-
ções diferencias de primeira ordem,
uma delas sendo uma equação de
Riccati. Vamos explorar bem mais
este tipo de ligação na Aula 16.
O papel deste exercício é apenas
o de chamar a nossa atenção para
um aspecto muito importante das
equações de Riccati.
d2y
dx2
+Q(x)
dy
dx
+ P (x)y = 0 (1)
é dita uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. As funções
P e Q são contínuas em um intervalo I.
a) Mostre que a substituição
u =
1
y
dy
dx
(2)
transforma a Equação (1) na equação de Riccati,
du
dx
= −P (x)−Q(x)u− u2. (3)
b) Reciprocamente, mostre que toda equação de Riccati pode ser transformada
em uma equação linear homogênea de segunda ordem.
Exercício 2 A equação diferencial abaixo aparece em trabalhos que estudam
a acumulação de nebulosas no sistema solar
x˙ =
ax5/6
(b −Bt)3/2
a, b, B ∈ R constantes, e x = x(t).
Trata-se de uma equação separável. Calcule sua solução geral.
Exercício 3 Resolva 

dy
dx
=
y2 − y
x2 − 1
y(2) = 2
Exercício 4 Calcule lim
t→+∞
y(t), sendo y(t) a solução do problema de Cauchy
y′ = −a
t
y
, y(0) = 1; e “a” uma constante real negativa.
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ 2011/1