2006.2 ED AD2 Gabarito

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD2 – Equações Diferenciais – 2006-2
- Soluções
Questão 1: [2,5 pontos] Resolva o problema de Cauchy
y′′ − 4y′ + 5y = 0; y(0) = 1/2, y′(0) = 1
Solução:
A equação característica associada à equação diferencial é r2 − 4r + 5 = 0, com raízes r1 = 2+ i
e 2− i. Logo y1(x) = e2x cos(x) e y2(x) = e2xsen(x) são duas soluções linearmente independentes.
A solução geral é
y(x) = c1 e
2x cos(x) + c2 e
2x sen(x) (1)
Derivando a equação (1) com respseito a x obtemos
y′(x) = [2c1 + c2] e2x cos(x) + [2c2 − c1] e2x sen(x) (2)
Substituindo as condições iniciais nas equações (1) e (2) formamos o sistema{
c1 = 1/2
2c1 + c2 = 1
,
de onde concluímos que a solução do PVI é
y(x) =
e2x cos(x)
2
.
Questão 2: [3,5 pontos]
A equação
(1− t2)y′′ + 2ty′ − 2y = 0, −1 < t < 1 ,
tem soluções da forma y(t) = at + b. Calcule uma delas. A seguir, utilizando o método de redução
de ordem, calcule uma segunda solução linearmente independente e escreva uma solução geral da
equação.
Solução:
y(t) = at+ b =⇒ y′(t) = a
=⇒ y′′(t) = 0
Substituindo na equação dada:
−2ta+ 2(at+ b) = 0,
Portanto devemos ter b = 0, e a pode assumir qualquer valor. Como estamos procurando soluções não
nulas, escolhemos, por exemplo, a = 1 de modo que
y1(t) = t.
Equações Diferenciais AD2 de Equações Diferenciais – 2006-2 2
Escrevendo a equação na forma normal, obtemos
y′′ +
2t
1− t2y
′ − 2
1− t2 = 0;
e então identificamos p(t) =
2t
1− t2 .
Usando o método da redução de ordem, tem-se que
y2(t) = t
∫
e
− ∫ 2t
1−t2 dt
t2
dt
é uma segunda solução, L.I. com y1(t) = t.
Efetuando as contas, obtém-se y2(t) = t
∫
1− t2
t2
dt = −(1 + t2).
Uma solução geral é
y(t) = c1 t+ c2(1 + t
2).
Questão 3 [4,0 pontos]
Sejam −→φ (t) =
(
t
1
)
e −→ψ (t) =
(
t2
2t
)
.
(a) [1,0 ponto] Calcule det {col{−→φ (t),−→ψ (t)}
(b) [1,0 ponto] Determine os intervalos onde
−→
φ (t) e
−→
ψ (t) são linearmente independentes
(c) [2,0 pontos] Determine um sistema linear homogêneo
−→
X ′ = A
−→
X que tem
−→
φ (t) e
−−→
ψ(t) como
soluções.
Sugestão: SejaA =
(
a11(t) a12(t)
a21(t) a22(t)
)
. Resolva o sistema de 4 equações nas quatro incógnitas a11(t), a12(t), a21(t), a22(t),
obtido pela substituição de
−→
X por
−→
φ (t) e
−→
ψ (t).
Solução:
(a) Temos que
det {col{−→φ (t),−→ψ (t)} = det
(
t t2
1 2t
)
= t2.
(b) Para determinar a dependência ou independência linear das funções
−→
φ (t),
−→
ψ (t) o indicado é
usar a definição;
A implicação
col{−→φ (t),−→ψ (t)} = 0 =⇒ −→φ e −→ψ são l.d.
só é verdadeira quando ambas são soluções de uma mesma equação normal. E isso não tinha
sido afirmado nem no enunciado, nem no item (a).
Suponhamos então que a e b são constantes tais que a
−→
φ (t) + b
−→
ψ (t) = 0 para todo t real (as
duas funções estão definidas em R).
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Equações Diferenciais AD2 de Equações Diferenciais – 2006-2 3
Formamos o sistema{
at+ bt2 = 0
a+ 2bt = 0
Fazendo t = 0 , obtemos a = 0. E então b = 0.
Assim, se a
−→
φ (t) + b
−→
ψ (t) = 0 para todo t real então a = b = 0.
Logo
−→
φ e
−→
ψ são l.i. em toda a reta.
(c) Como
−→
φ (t) e
−→
ψ (t) são soluções de
−→
X ′ = A
−→
X , podemos escrever
−→
φ (t)′ = A
−→
φ (t) e
−→
ψ (t)′ =
A
−→
ψ (t), i.é,(
1
0
)
=
(
a11(t) a12(t)
a21(t) a22(t)
)(
t
1
)
e
(
2t
2
)
=
(
a11(t) a12(t)
a21(t) a22(t)
)(
t2
2t
)
,
o que nos dá o sistema linear 
a11(t)t+ a12(t) = 1
a21(t)t+ a22(t) = 0
a11(t)t
2 + 2a12(t)t = 2t
a21(t)t
2 + a22(t)t = 2
Usando a primeira e a terceira equações, calculamos a11(t) = 0 e a12(t) = 1
Usando a segunda e a quarta equações, calculamos a21(t) = −2/t2 e a22(t) = 2/t, de modo que
o sistema linear procurado é
−→
X ′ =
(
0 1
− 2
t2
2
t
)−→
X.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ