capitulo6a

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6 Fluidos Reais 
 
6.1 Escoamento Viscoso, Incompressível e Interno 
 
 Classificação de escoamentos internos: 
 
o Laminar (Re<2300 em dutos cilíndricos): baixas vazões, sem mistura macroscópica do fluido; 
o Turbulento (Re>2300 em dutos cilíndricos): vazões altas, há mistura macroscópica do fluido e formação 
de vórtices; equações de balanço diferencial deveriam ser escritas em termo de quantidades médias no 
tempo �̅�, �̅�, �̅�, �̅�... 
 
 
 
 Características de escoamentos de fluidos viscosos em dutos (laminares e turbulentos) 
 
o transformação de energia mecânica em térmica ao longo do escoamento; 
 
o existência de uma camada limite próxima a superfícies sólidas, na qual os efeitos viscosos são 
importantes. 
 
CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA (escoamento externo) 
 
 
 
CAMADA LIMITE EM DUTO CIRCULAR (escoamento interno) 
 
 
 
Cálculo de comprimento de entrada em dutos circulares: 
 
𝐿𝑒
𝐷
= 0,06
𝜌�̅�𝐷
𝜇
 (escoamento laminar) 
25 ≤
𝐿𝑒
𝐷
≤ 40 (escoamento turbulento) 
 
 
 Escoamento laminar completamente desenvolvido em dutos cilíndricos: 
 
 
Através de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas, para: 
 
 escoamento permanente; 
 escoamento somente na direção 𝑧. 
 escoamento completamente desenvolvido (𝑢 = 𝑢(𝑟)); 
 efeitos gravitacionais desprezíveis. 
 
𝑢 = −
𝑅2
4𝜇
(
Δ𝑃
𝐿
) [1 − (
𝑟
𝑅
)
2
] 𝑃𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 
Utilizando 𝑄 = ∬ 𝑢 𝑑𝐴 e 𝐷 = 2𝑅, 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) (Fox, 4a ed., 8.1) Ar a 15oC e 1 atm entra em um duto de 0,3 m de diâmetro. A vazão em volume é 2 m3/min. 
Determine se o escoamento é laminar ou turbulento. Estime o comprimento de entrada necessário para estabelecer 
escoamento inteiramente desenvolvido. 
 
2) (Fox, 4a ed., 8.5) Para escoamento laminar num tubo com 12,7 mm de diâmetro, determine: 
 
(a) a máxima vazão em volume permitida se o fluido for água. 
(b) a máxima velocidade permitida se o fluido for ar. 
 
3) (Fox, 6a ed., 8.60) Um medicamento líquido, que possui viscosidade e densidade iguais às da água, será 
administrada através de uma seringa hipodérmica. O diâmetro interno da agulha da seringa é 0,25 mm e seu 
comprimento é 50 mm. Determine: 
 
(a) a máxima vazão volumétrica para a qual o escoamento será laminar; 
(b) a queda de pressão necessária para resultar na vazão da letra (a); 
(c) a tensão de cisalhamento na parede da agulha. 
 
 
6.2 Considerações de energia no escoamento em tubos 
 
 
Aplicação da 1ª Lei da Termodinâmica ao fluido no 
VC entre 1 e 2 para: 
 
 escoamento incompressível; 
 escoamento permanente; 
 trabalhos nulos; 
 energia interna e pressão uniformes 
ao longo das seções transversais ao 
escoamento em 1 e 2. 
 
 
 
 
L
D
p1 p2
 
 
 
Utilizando o coeficiente de energia cinética: 
𝛼 =
∫ ∬ 𝜌 𝑉3𝑑𝐴𝐴
�̇��̅�2
 
a equação anterior fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℎ𝑙𝑇 : perda de carga total (head loss) do escoamento (dimensão [ ] ou [ ]) 
 
ℎ𝑙𝑇 = ℎ𝑙 + ℎ𝑙𝑚 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da perda de carga distribuída: expansão obtida através da análise dimensional, no caso: 
 
 
 
 escoamento incompressível; 
 escoamento permanente; 
 escoamento somente na direção 𝑧. 
 escoamento completamente desenvolvido; 
 diâmetro do tubo constante (A1=A2); 
 tubo horizontal; 
 
 
 
Equação da conservação da energia para o sistema acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 como o tubo é horizontal, não há variação na cota (𝑧1 = 𝑧2); 
 como não há trabalho de eixo, �̇�𝑠 = 0; 
 como o diâmetro é constante, 𝐴1 = 𝐴2 , logo �̅�1 = �̅�2, pela conservação da massa; 
 como o escoamento é completamente desenvolvido, 𝛼1 = 𝛼2 
 
OBS: pode-se mostrar que 
 escoamento laminar  𝛼 = 2 
 escoamento turbulento  𝛼 ≈ 1 
 
Logo, 
L
D
p1 p2
 
 
𝑝1
𝜌
−
𝑝2
𝜌
= ℎ𝑙𝑇 = ℎ𝑙 + ℎ𝑙𝑚 
 
 como o tubo é reto, ℎ𝑙𝑚 = 0; 
 
ℎ𝑙 =
Δ𝑝
𝜌
, Δ𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 (𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢í𝑑𝑎) 
 
 
Pela análise dimensional (capítulo anterior), 
 
 
 
 
 
Δ𝑝
𝜌�̅�2
= 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 (
𝐿
𝐷
,
𝜇
𝜌𝑉𝐷̅̅ ̅̅
,
𝑒
𝐷
) = 𝜙1 (
𝐿
𝐷
, 𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) 
 
 
Em particular (tubo reto): Δ𝑝 = 𝜌ℎ𝑙 
Observação empírica: 
Δ𝑝
𝜌�̅�2
 ∝ 
𝐿
𝐷
 
 
ℎ𝑙
�̅�2
=
𝐿
𝐷
𝜙2 (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) =
1
2
𝐿
𝐷
𝜙3 (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 (perda de carga em trecho reto de tubulação) 
 
OBS: Para um sistema qualquer, com variação de cotas, de diâmetros, com acessórios: 
 
 
 
 equação da conservação da energia (permanente, incompressível, adiabático, sem trabalhos): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, 
 
ℎ𝑙𝑇 = ℎ𝑙 + ℎ𝑙𝑚 = (ℎ13 + ℎ32) + ℎ𝑙𝑚 = 𝑓13
𝐿13
𝐷13
�̅�13
2
2
+ 𝑓32
𝐿32
𝐷32
�̅�32
2
2
+ ℎ𝑙𝑚 
 
EXERCÍCIOS 
 
4) Calcule o valor do coeficiente de energia cinética α no caso de escoamento laminar em um tubo (utilize a 
expressão desenvolvida para o perfil de velocidades quadrático no item 6.1). 
 
 
6.3 Perda de Carga Distribuída – Cálculo do Fator de Atrito 
 
 em escoamentos laminares: pela equação de Poiseuille 
 
Δ𝑝 =
128𝜇𝑄𝐿
𝜋𝐷4
=
32�̅�𝜇𝐿
𝐷2
 
 
o em tubos horizontais: 
 
ℎ𝑙 =
Δ𝑝
𝜌
= ℎ𝑙 = 𝑓
𝐿
𝐷
�̅�2
2
 
 
Assim, tem-se que 
𝑓 =
64𝜇
𝐷�̅�𝜌
=
64
𝑅𝑒
 
 
 Em escoamentos turbulentos: 
 
𝑓 = 𝑓 (𝑅𝑒,
𝑒
𝐷
) é obtido através de correlações experimentais 
 
 representação gráfica de medições do fator de atrito: Diagrama de Moody 
 
 
 
 
 ajuste de dados experimentais para o fator de atrito: correlação de Colebrook 
 
1
𝑓0,5
= −2,0 log (
𝑒
𝐷⁄
3,7
+
2,51
𝑅𝑒 𝑓0,5
) (𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑐𝑖𝑙í𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑜 , 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜) 
 
 Rugosidade de materiais comuns: 
 
Material Rugosidade (mm) Material Rugosidade (mm) 
Vidro, plástico  0 (lisos) Ferro galvanizado 0,15 
Concreto 0,9 - 9 Ferro forjado 0,046 
Tábua de madeira 0,5 Aço inoxidável 0,002 
Borracha uniformizada 0,01 Aço comercial 0,045 
Cobre ou latão 0,0015 Aço rebitado 0,9-9 
Ferro fundido 0,26 Tubos estirados 0,0015 
Ferro fundido asfaltado 0,12 
 
Exemplo. Uma tubulação de 280 km de comprimento liga duas estações de bombeamento. Se a vazão de 
óleo deve ser 0,56 m3/s e o tubo possui um diâmetro de 0,62 m, determine a potência necessária para o 
transporte do óleo. A segunda estação está 250 m mais baixa que a estação inicial. A pressão na estação final 
é de 3x105 Pa. O óleo possui viscosidade cinemática 𝜈 = 4,5× 10−6 m2/s e densidade 𝜌 = 810 𝑘𝑔/𝑚3 . O 
tubo é feito de aço comercial. A pressão de entrada na estação inicial é a atmosférica. 
 
 Tubo: 
𝑒𝑎ç𝑜 = 0, 00015 𝑓𝑡 = 4,57×10
−5𝑚 
 
𝑒
𝐷
= (rugosidade relativa) 
 
 Hipóteses: 
o Escoamento permanente 
o Escoamento incompressível 
o Escoamento turbulento (𝛼1, 𝛼2~1) 
 
 
 Conservação da energia: 
 
𝑊 + (
𝑝1
𝜌
+ 𝛼1
𝑉1
2
2
+ 𝑔𝑧1) − (
𝑝2
𝜌
+ 𝛼2
𝑉2
2
2
+ 𝑔𝑧2) = ℎ𝑙𝑇 
 
 Conservação da massa: 
 
𝜌1�̅�1𝐴1 = 𝜌2�̅�2𝐴2 
 
 
 𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉 = 
 
 Pela equação da conservação da energia, 
 
𝑊 = Perda de carga (só distribuída): 
 
ℎ𝑙𝑇 = ℎ𝑙 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑉
2
2
 
 
 Para o cálculo de 𝑓: calcular 𝑅𝑒: 
 
𝑅𝑒 =
𝐷𝑉𝜌
𝜇
= 
 
Pelo diagrama de Moody, utilizando os valores de Reynolds e rugosidade relativa fornecidos pela questão, 
encontramos um 𝑓 = . 
 
 Assim, 
 
𝑊 =
(3 − 1,013)×105
810
−
(9,8×250) + 0,016×2,8×105×1,852
0,62×2
 
 
 
𝑊 = 𝐽/𝑘𝑔 
 
 Cálculo da potência: 
 
 
�̇� = 𝜌𝑄𝑊 = 𝐽/𝑠 
 
EXERCÍCIOS 
 
5) (concurso Petrobras 2011 - Eng. de Proc. Júnior) Um determinado sistema hidráulico é formado por um trecho reto 
de tubulação na qual escoa uma determinada vazão de fluido em regime turbulento na região completamente rugosa. 
Se, nesse sistema, o diâmetro da tubulação for reduzido à metade, mantendo, no entanto, a vazão volumétrica 
 
constante, a queda de pressão por atrito será multiplicada por um fator igual a 
 
(A) 1/2 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 32 
(E) 64 
 
6) (Fox, 6a ed., 8.73) A velocidade média do escoamento em um oleoduto de diâmetro constante no Alasca é 8,27 
ft/s. Na entrada, a pressão é de 1200 psig e a elevação é 150 ft; na saída, a pressão é 50 psig e a elevação é 375 ft. 
Calcule a perda de carga total nesta seção do oleoduto. 
 
7) (Fox, 6a ed., 8.76) Água escoa a 3 galões por minuto (gpm) através de uma mangueira de jardim horizontal com 
diâmetro 5/8 in. A queda de pressão ao longo de 50 ft de mangueira é 12,3 psi. Calcule a perda de carga. 
 
 
8) (concurso Petrobras 2011 - Eng. Proc. Júnior) Uma instalação hidráulica deve ser construída para transportar 0,015 
m3/s de água (massa específica = 1 000 kg/m3) entre dois tanques, distantes 100 m um do outro, através de uma 
tubulação com 100 mm de diâmetro, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
Nas condições do sistema, o fator de atrito de Darcy correspondente ao escoamento pode ser estimado como 0,02. 
Considerando-se a aceleração da gravidade como 10 m/s2, a relação entre o comprimento e o diâmetro da 
circunferência (π) como 3 e desprezando-se as perdas de carga localizadas, a potência mínima de uma bomba, com 
eficiência de 75%, necessária para essa instalação é aproximadamente igual a 
 
(A) 6 W 
(B) 675 W 
(C) 900 W 
(D) 1 200 W 
(E) 60 000 W