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INSTITUTO PEDAGÓGICO DE 
MINAS GERAIS 
 
 
 
Módulo Específico 
Apostila 8 – Matemática financeira e cidadania 
Coordenação Pedagógica – IPEMIG 
Em parceria com a FACEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Belo Horizonte - 2011 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 03 
 
1 MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................ 04 
1.1Conceitos e elementos básicos ............................................................................ 07 
1.1.1 Capital .............................................................................................................. 08 
1.1.2 Juros ................................................................................................................. 08 
1.1.3 Taxa de juros .................................................................................................... 09 
1.1.4 Juros simples ................................................................................................... 09 
1.1.5 Montante .......................................................................................................... 10 
1.1.6 Juros compostos .............................................................................................. 10 
1.1.7 Relação entre juros e progressões ................................................................... 12 
1.1.8 Taxas equivalentes .......................................................................................... 12 
1.1.9 Taxas nominais ................................................................................................ 13 
1.1.10 Taxas efetivas ................................................................................................ 13 
1.1.11 Tempo ............................................................................................................ 13 
1.1.12 Forma de resgate ou amortização .................................................................. 14 
1.1.13 Forma de pagamento de juro ......................................................................... 14 
1.1.14 Spread ............................................................................................................ 14 
1.1.15 Fluxo de caixa ................................................................................................ 14 
1.2 Operações elementares de matemática financeira ............................................. 14 
1.2.1 Razão e proporção ........................................................................................... 14 
1.2.2 Divisão proporcional ......................................................................................... 16 
1.2.3 Regra de sociedade ......................................................................................... 19 
 
2 MATEMÁTICA FINANCEIRA NA ACADEMIA ...................................................... 20 
2.1 A produção científica brasileira ........................................................................... 20 
2.2 Dificuldades enfrentadas pelos alunos ................................................................ 24 
 
3 O ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ........................................................ 28 
3.1 A matemática financeira e os parâmetros curriculares nacionais ........................ 28 
3.2 A Matemática financeira em alguns livros didáticos ............................................ 29 
3.3 Sugestões para o ensino da matemática financeira ............................................ 36 
 
4 A LEITURA NA MATEMÁTICA ............................................................................. 39 
 
REFERÊNCIAS UTILIZADAS E CONSULTADAS ................................................... 48 
 
AVALIAÇÃO ............................................................................................................. 53 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
 
Esta apostila foi preparada objetivando analisar a Matemática Financeira e 
sua utilização como ferramenta, essencial, para o exercício da cidadania. 
Para tanto, abordar-se-á a Matemática Financeira e seus conceitos, 
juntamente com os elementos básicos que a constituem, além de analisar as 
operações elementares da mesma, objetivando contextualizá-la e analisá-la do 
ponto de vista da didática e da pedagogia. 
Por acreditarmos que a pesquisa é fundamental para o desenvolvimento de 
uma educação de qualidade, enumeramos e analisamos diversas publicações 
acadêmicas, sobre a temática do ensino e aprendizagem da Matemática Financeira, 
no âmbito do Brasil, bem como, relatamos trabalhos que tratam das dificuldades, 
demonstradas pelos alunos, nessa disciplina. 
Dando continuidade a nossa proposta, esboçada no título dessa disciplina: a 
Matemática Financeira e a Cidadania, buscamos analisá-la numa perspectiva dos 
Parâmetros Curriculares Nacionais, bem como, as abordagens que são feitas em 
alguns dos muitos livros didáticos utilizados nas escolas do país, culminando com 
algumas sugestões de ensino da Matemática Financeira. 
Por fim, achamos importante a análise acerca da leitura e da escrita, na 
Matemática, através da oferta de um trabalho, fruto de uma pesquisa empírica e 
conceitual, acerca da importância e aplicabilidade da leitura e da escrita no 
aprendizado da Matemática. 
Por tudo isso, esperamos que você desenvolva seus conhecimentos, acerca 
do tema proposto e que faça, também, uma excelente leitura, obtendo o sucesso 
que almejas. 
Outras informações e aprofundamentos devem ser buscados através da 
leitura da bibliografia utilizada e relacionada ao final desta. 
Coordenação pedagógica do Instituto IPEMIG 
 
 
 
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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
A Matemática Financeira é tida por muitos, como a mais importante, entre 
todas as possibilidades que a Matemática oferece, visto que, dependemos dela para 
a nossa sobrevivência econômica e financeira. 
Muitas são as definições encontradas para essa modalidade matemática, 
porém, a que mais nos parece dizer, de fato, o que vem a ser essa ciência, é a 
definição de Gitman (2004), ao dizer que a Matemática Financeira “é a ciência que 
estuda o dinheiro no tempo” (p. 12). 
Porém, além dessa finalidade, entendemos que a Matemática Financeira, 
também, avalia a maneira como esse dinheiro está sendo ou será empregado a fim 
de maximizar seu resultado, que se espera ser sempre positivo, além de também 
possibilitar a comparação entre diversas alternativas, escolhendo, entre elas, aquela 
que propiciará mais benefícios e menos prejuízos. 
Atualmente, em uma economia globalizada, como essa em que vivemos, os 
aspectos financeiros estão sempre na vanguarda das nossas decisões diárias. Isso 
por que, ao adquirirmos quaisquer bens ou serviços, temos que nos ater às 
questões de ordem financeiras, posto que, não se concebe qualquer projeto, seja de 
que área, em que o aspecto financeiro não seja um dos mais relevantes para sua 
execução. 
Como exemplo, podemos citar o dilema que enfrentamos ao termos que 
decidir entre: comprar uma geladeira ou um automóvel, ou mesmo um aparelho de 
telefone celular, em 10 vezes “sem juros” ou poupar o dinheiro para que o mesmo 
produto seja comprado à vista? 
O dilema é como avaliar monetariamente tal decisão, visando os menores 
prejuízos e as melhores formas de economizar o nosso dinheiro, fazendo comque 
ele renda um pouco mais. 
Em sendo, a Matemática Financeira ocupa-se em estudar e fornecer as 
ferramentas adequadas para que possamos decidir de tal forma que, a tomada de 
decisão seja feita com a maior segurança possível. 
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Se na nossa vida pessoal essas decisões financeiras que tomamos, são 
passíveis de nos afetar durante um longo período de tempo, imagine a mesma 
situação na vida de uma empresa, onde, qualquer decisão tomada de maneira 
incorreta ou, sem a correta análise do mercado e das possibilidades, pode ser fatal, 
posto que, seu faturamento é bastante superior à renda de uma família. E nesse 
caso, aplica-se a máxima de que: quanto maior o volume maior o “tombo” ou 
prejuízo. 
De qualquer forma, podemos afirmar que essas decisões são, basicamente, 
as mesmas. Contudo, os fatores distintivos são os efeitos e o grau de precisão com 
os quais os cálculos são efetivados. 
Assim, instituições financeiras, tais como bancos, seguradoras, fundos de 
investimentos, dentre outras, vêm demonstrando cada vez mais interesse em 
aprofundar os estudos sobre como se obter o maior lucro possível usando como 
ferramenta a Matemática Financeira. 
Daí, pensamos: por que não fazermos o mesmo com nossas parcas 
economias, fazendo “render” o nosso salário? Por que não ensinarmos à população 
a fazê-lo? E como ensinar a essa população? 
Sem dúvidas, acreditamos que a escola pode atuar nessa área, 
implementando uma empreitada de estudos, acerca da Matemática Financeira e seu 
uso como ferramenta essencial para o exercício da cidadania plena. 
Para tanto, devemos nos atentar para o ensino-aprendizagem da Matemática 
Financeira na escola, posto que, entendemos que esta não é bem explorada, 
principalmente no ensino médio. Além disso, acreditamos que é importante que o 
aluno desenvolva uma atitude crítica frente aos discursos que lhe são apresentados 
como verdades inquestionáveis. Para que isto ocorra, é necessário certo esforço. É 
necessário ir contra este mundo estabelecido: conformista e imediatista. É preciso 
formar um aluno crítico, que consiga repensar este mundo inventando outros modos 
de viver, agir, pensar, sentir. Como a matemática pode auxiliar nesta empreitada? 
Nesse sentido, acreditamos que a Matemática Financeira pode ser uma via 
interessante para esta tarefa, visto que, a mesma possibilita ao aluno, um melhor 
entendimento do mundo em que vivemos, tornando-o mais crítico ao assistir a um 
noticiário, ao ingressar no mundo do trabalho, ao consumir, ao cobrar seus direitos, 
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bem como, ao analisar seus deveres. Sob esta perspectiva consideramos que o 
estudo em questão contém uma dimensão sócio-político-pedagógico, pois pode 
contribuir na formação crítica do aluno. Por exemplo, ao instigar discussões e 
questionamentos acerca de algumas situações-problema é possível levá-lo a pensar 
não somente em como calcular o lucro com um investimento, mas principalmente, o 
que é um investimento e quais os objetivos que levaram à criação desta operação 
financeira. 
Por intermédio da Matemática Financeira, existe ainda a possibilidade de 
provocar o surgimento de perguntas sobre o abuso do poder econômico na 
aplicação de juros de dívidas e de alíquotas de impostos, por exemplo, podendo, 
desta forma, contribuir para que o aluno tenha uma postura mais crítica na vida. É 
possível fazer da aula mais espaço para a experiência do que para verdades 
prontas. 
Esse assunto interfere, portanto, no exercício da cidadania, na medida em 
que, permite o desenvolvimento de um olhar mais amplo e indagador, por parte do 
aluno, conduzindo-o ao raciocínio crítico em diversas situações cotidianas. 
Na medida em que aumenta sua capacidade de analisar situações 
financeiras, o aluno terá condições mais efetivas de exercer sua cidadania, tendo 
mais clareza dos seus direitos, visto que, o mesmo, domina a matemática envolvida 
nessas situações. 
Além de todos esses aspectos, já mencionados, estamos vivendo um 
momento ímpar, na História do nosso país, em que a estabilidade econômica tornou-
se regra e a moeda nacional foi valorizada e respeitada. Não obstante, a inflação 
atingiu índices aceitáveis e, com isso, existe uma enorme oferta de crédito na praça, 
como por exemplo, o crédito consignado e a diminuição nas taxas de juros. Nesse 
sentido, devemos ficar atentos para a seguinte questão: para quem é bom esse tipo 
de crédito? Sem dúvidas, para os bancos que tiveram uma diminuição do seu fator 
risco. 
A explosão tecnológica também facilitou o acesso a uma grande variedade de 
transações financeiras. Como consequência em tempos atuais, os financiamentos, 
incontestavelmente, fazem parte da vida de grande parte da população no país. 
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Contudo, a maioria das pessoas tem conhecimento limitado no que se refere 
às operações financeiras. Estas pessoas tomam suas decisões com base em dados 
não muito claros, que podem estar “escondidos” e serem de difícil identificação. O 
sistema educacional também não acompanhou esta mudança. O resultado é que a 
maioria das pessoas continua mal informada, tomando decisões de investimento e 
de crédito baseadas em informações questionáveis. 
Por exemplo, a loja que vende a prazo e não dá desconto para o pagamento 
a vista está mais interessada em ganhar com os juros do que com a venda em si. 
Ou seja, viraram bancos, emprestando dinheiro ao cliente, sem que esta saiba. Para 
tanto, a máxima é: embutir os juros no preço à vista e depois financiá-lo, dizendo 
que é sem juros. Quem não percebe ou não sabe Matemática Financeira, estará 
sendo ludibriado. 
Contudo, se participar de operações financeiras é inevitável, como pessoas 
comuns podem adaptar-se à realidade atual, na qual, a utilização das operações de 
crédito e de investimentos, torna-se cada vez mais corriqueira? A falta de 
informação matemática tem sido um dos principais fatores desse problema. 
Faz-se necessário, portanto, a democratização do conhecimento e a 
formação da cidadania plena de nosso aluno, posto que, quando o estudante passa 
a ter um domínio sobre o saber, a revolução tem seu início, no que tange às práticas 
comerciais abusivas e a passividade do cidadão. 
Para tanto, devemos trabalhar os conceitos e elementos básicos da 
Matemática Financeira, partindo da premissa de seu valor, intrínseco, como 
ferramenta de apoio à formação da nossa cidadania. 
 
1.1 Conceitos e Elementos Básicos 
 
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo, visto que, a 
mesma, possibilita o domínio sobre as diversas operações realizadas, bem como, os 
diferentes procedimentos matemáticos, utilizados para simplificar a operação 
financeira de uma família ou de uma empresa. 
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Para tanto, temos vários conceitos e elementos básicos, da matemática 
financeira, que serão analisados, a seguir, objetivando a sua elucidação. 
 
1.1.1 Capital 
Também conhecido como Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor 
Aplicado: é o valor aplicado através de alguma transação financeira. Em inglês usa-
se Present Value(indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 
Entretanto sua maior importância não é a maneira como é chamado, mas sim 
o fato de que é sobre ele que incidirão os encargos financeiros, também conhecidos 
como juros. 
 
1.1.2 Juros 
Representam a remuneração do capital empregado em alguma atividade 
produtiva, ou seja, é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Receber uma 
quantia hoje ou no futuro não é, evidentemente, a mesma coisa. Postergar uma 
entrada de caixa (recebimento) por certo período de tempo envolve um sacrifício, o 
qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. 
O juro existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato e, 
para tanto, está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz 
de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim, 
estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser 
recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco que a operação 
envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para 
empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de 
juros. 
Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes de juros simples ou 
juros compostos: 
 Juros simples: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o 
capital inicial emprestado ou aplicado. 
 Juros compostos: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do 
saldo no início do correspondente intervalo, ou seja, incorpora-se o juro de 
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cada intervalo de tempo ao capital inicial e, os juros incidirão sobre esta soma 
e assim, sucessivamente. 
Nesse sentido, outra questão se coloca: quando usar juros simples e juros 
compostos? 
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos, tais 
como: compras a médio e longo prazo; compras com cartão de crédito; empréstimos 
bancários; Caderneta de Poupança; aplicações em fundos de renda fixa, etc. Já os 
juros simples são menos utilizados, sendo aplicados, somente, em operações de 
curtíssimo prazo e no desconto simples de duplicatas. 
 
1.1.3 Taxa de juros 
Indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um 
determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, seguida 
da especificação do período de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa 
percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
 
1.1.4 Juros Simples 
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir, somente, 
sobre o valor principal ou valor inicial. Sobre os juros gerados a cada período não 
incidirão novos juros. 
Transformando em fórmula temos: 
 J = P . i . n 
 Onde: 
J = juros 
P = principal (capital) 
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i = taxa de juros 
n = número de períodos 
 
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 2000,00 que deve ser paga com juros de 8% 
a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que 
pagarei serão: J = 2000 x 0.08 x 2 = 320 
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 
1.1.5 Montante 
É a soma do capital com os juros. Pode também ser chamado de Valor Futuro 
(capital empregado mais à soma dos juros no tempo correspondente). 
Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos) 
 M = P . ( 1 + ( i . n ) ) 
 
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 
10,5% a.a. durante 145 dias. 
Solução: 
M = P . ( 1 + (i.n) ) 
M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 
Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de 
tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor 
equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. 
 
1.1.6 Juros Compostos 
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, 
portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a 
cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período 
seguinte. 
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao 
principal. 
Após três meses de capitalização, temos: 
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1º mês: M =P.(1 + i) 
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 
+ i) 
Simplificando, obtemos a fórmula: 
 
M = P . (1 + i)n 
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou 
seja, taxa de juros ao mês para n meses. 
Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal do montante ao 
final do período: 
 
J = M - P 
Exemplo: 
Calcule o montante de um capital de R$3.000,00, aplicado a juros compostos, 
durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. 
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) 
Resolução: 
P = R$3.000,00 
t = 1 ano = 12 meses 
i = 3,5 % a.m. = 0,035 
M = ? 
 
Usando a fórmula M=P.(1+i)n, obtemos: 
M = 3000.(1+0,035)12 = 3000. (1,035)12 
Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: 
log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 
Então M = 3000.1,509 = 4527. 
Portanto o montante é R$4,527,00 
 
 
 
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1.1.7 Relação entre juros e progressões 
No regime de juros simples: 
M( n ) = P + n r P 
No regime de juros compostos: 
M( n ) = P . ( 1 + r ) n 
Portanto: 
 Em um regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em 
progressão aritmética; 
 Em um regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em 
progressão geométrica. 
 
1.1.8 Taxas Equivalentes 
Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante 
o mesmo período de tempo, através de diferentes períodos de capitalização, 
produzem o mesmo montante final. 
 Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia. 
 O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = P(1 + i a ) 
 Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa 
mensal im. 
 O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a M‟ = P(1 + im)
12. 
Pela definição de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M’. 
Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)
12 
Daí concluímos que 1 + ia = (1 + im)
12 
Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal 
conhecida. 
Exemplos: 
1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? 
Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)
2 
1 + ia = 1,08
2 
ia = 0,1664 = 16,64% a.a. 
 
2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao mês? 
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1 + ia = (1 + im)
12 
1 + ia = (1,005)
12ia = 0,0617 = 6,17% a.a. 
 
1.1.9 Taxas Nominais 
A taxa nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao 
Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
- 340% ao semestre com capitalização mensal. 
- 1150% ao ano com capitalização mensal. 
- 300% ao ano com capitalização trimestral. 
Exemplo: 
Uma taxa de 15 % a.a., capitalização mensal, terá 16.08 % a.a. como taxa efetiva: 
15/12 = 1,25 
1,2512 = 1,1608 
 
1.1.10 Taxas Efetivas 
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao 
Capital coincide com aquele a que a taxa está referida. Alguns exemplos: 
- 140% ao mês com capitalização mensal. 
- 250% ao semestre com capitalização semestral. 
- 1250% ao ano com capitalização anual. 
Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da 
operação. 
 
1.1.11 Tempo 
Refere-se ao período de tempo, prazo, que o dinheiro deverá ficar 
emprestado. Exemplo: 5 meses, 8 anos, 58 dias, 4 bimestres, etc. 
 
 
 
 
 
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1.1.12 Forma de resgate ou amortização 
É a forma como o capital é resgatado (pelo aplicador) ou amortizado (pelo 
tomador do empréstimo). Pode ser de uma única vez no vencimento final da 
operação ou em parcelas intermediárias. 
 
1.1.13 Forma de pagamento de juro 
Determina as condições de periodicidade de pagamento de juro. 
 
1.1.14 Spread 
É a taxa de determinação cobrada pelo intermediário financeiro. 
 
1.1.15 O Fluxo de Caixa 
É o gráfico da matemática financeira. Serve para demonstrar graficamente as 
transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado por uma 
linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As 
entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para 
cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas 
para baixo. 
Além destes conceitos, temos, também, as operações elementares da 
Matemática Financeira e sua aplicabilidade, que veremos a seguir. 
 
1.2 Operações Elementares da Matemática Financeira 
As operações elementares da Matemática Financeira são: a Razão, a 
Proporção, a Divisão Proporcional e a Regra de Sociedade. Então, vejamos: 
 
1.2.1 Razão e Proporção 
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre 
dois números a e b, denotado por a:b ou a/b e lê-se a para b. Chama-se razão de 
um número racional por outro (diferente de zero), o quociente exato do primeiro pelo 
segundo. Exemplo: a razão entre 10 e 5 é igual a 2 porque 10/5 = 2. 
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Existem razões inversas e razões iguais. Dizemos que duas razões são 
inversas quando elas têm o produto igual a 1. Exemplo: 5/4 e 4/5 são razões 
inversas, pois: 5/4. 4/5 = 1. E duas razões são iguais quando as frações que 
representam estas razões forem equivalentes. Exemplo: 6/3 ~ 4/2. 
A proporção é a base para a compreensão de conceitos diversos como 
fração, porcentagem, densidade, velocidade, etc. A palavra proporção vem do latim 
proportione. Ela significa uma relação entre as partes de uma grandeza e consiste 
em relacionar duas razões dentro de uma igualdade, criando assim um elo entre 
elas. A proporção entre a/b e c/d é a igualdade: a/b = c/d. 
A propriedade fundamental das proporções é: o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos, isto é: a · d = b · c. Neste caso, dizemos que os números a e 
d são denominados extremos da proporção enquanto, os números b e c são os 
meios da proporção. 
Vejamos a seguinte situação-problema: determinar o valor de z para que a 
razão z/4 esteja em proporção com 9/3, assim, deve-se montar a proporção da 
seguinte forma: z/4 = 9/3. Aplicando a propriedade fundamental das proporções 
encontramos o seguinte valor: 3z = 36. Agora aplicando a propriedade inversa da 
multiplicação temos: 
z = 36/3. Neste caso o valor de z = 12. 
Uma das dificuldades encontradas pelo professor do ensino fundamental para 
o ensino desse e de outros conteúdos matemáticos é mostrar aos alunos a relação 
que há entre teoria e prática. É comum, os alunos perguntarem: “para que serve 
esse conteúdo?” Há algumas razões especiais que são bastante utilizadas em nosso 
cotidiano, entre as quais, podemos citar: densidade demográfica, densidade de um 
corpo, escala e velocidade média. 
Com criatividade e planejamento, o professor poderá criar exemplos práticos 
que mostrem a utilidade dessas razões especiais em nosso dia-dia. Razão e 
proporção são conceitos extremamente ricos que surgem nos mais diversos 
contextos e bons exemplos do uso desses conceitos podem servir como um fator 
motivador para os alunos que estão estudando esse assunto, tornando o 
aprendizado uma experiência significativa. 
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Mas, antes de falarmos, especificamente, sobre ensino e aprendizagem, 
vejamos o que vem a ser Divisão Proporcional e a Regra de Sociedade. 
 
1.2.2 Divisão Proporcional 
É a forma de divisão na qual determinam-se valores que, divididos por 
quocientes previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação. 
Grandeza é todo valor que ao ser relacionado a outro valor de tal forma que, 
quando um varia, como consequência direta o outro valor também varia. Por 
grandezas variáveis, entende-se, aquelas que, uma ao sofrer um incremento, 
acarretará em um mesmo incremento na segunda variável. À variação da proporção, 
dá-se o nome de razão „r‟. A relação entre as grandezas variáveis pode ser direta ou 
inversamente proporcional. 
Vários aspectos do dia-a-dia podem ser analisados através da proporção: 
consumo de gasolina x quilometragem rodada, velocidade x tempo do percurso. Vê-
se aqui, que uma variável depende da outra. O consumo de gasolina depende da 
quilometragem rodada, e o tempo de percurso depende da velocidade. 
A título de exemplos, veja se o problema é diretamente ou inversamente 
proporcional: 
1 - Número de pessoas em uma festa e a quantidade de salgados que cada um 
poderá consumir. 
Resposta: Esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se aumentarmos o 
número de pessoas da festa, consequentemente diminuirá o número de salgados 
para cada um. 
 
2 - Número de erros em um questionário e a nota obtida neste. 
Resposta: esta é uma divisão inversamente proporcional, pois se a pessoa erra 
uma menor quantidade de questões tira uma notar maior, e se a pessoa erra uma 
maior quantidade de questões, consequentemente ela tira uma nota menor. 
 
3 - Quantidade de alimentos que uma pessoa poderá consumir para que possa não 
passar fome. 
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Resposta: Esta é uma divisão diretamente proporcional, pois quanto mais alimento 
a pessoa tiver mais dias ela passará sem fome, e quanto menos dias a pessoa tiver 
comida, mais rápido a pessoa sentirá fome. 
Portanto, temos a Divisão Proporcional Direta, a Inversa e a Direta e Inversa 
ao mesmo tempo. Vejamos: 
 
Divisão em partes Diretamente Proporcionais 
O total dos números a ser dividido está para a soma dos proporcionais, assim 
como o número proporcional está para a parte que a representa. 
Exemplo: Uma pessoadivide o valor de R$ 24.000,00 proporcionalmente as idades 
de seus filhos: 2, 4, 6 anos. Qual o valor que cada um receberá? 
Resolução: 
O valor total, então, de cada filho respectivamente às idades é: R$ 4.000,00 + R$ 
8.000,00 + R$ 12.000,00 tendo o resultado geral o capital de R$ 24.000,00. 
 
Divisão Inversamente Proporcional 
Para decompor um determinado número N em duas partes, sejam X e Y, que 
sejam inversamente proporcionais a X e Y, deve-se decompor este número N em 
duas partes X e Y diretamente proporcionais a, que formam, desta forma, os 
números inversos. 
Em princípio, a divisão proporcional inversa não existe, pois neste caso, basta 
inverter os termos da razão para transformá-la em uma divisão direta. 
Exemplo: Duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para 
fabricar e vender um produto por $ 160,00. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias 
e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? 
a: parte inversamente proporcional à 3 (a) →a/1/3 
b: parte inversamente proporcional à 5 (b) → b/1/5 
 → → 
 → a = 100 
 → b = 60 
R: (a) receberá $ 100,00 e (b), $ 60,00. 
 
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Divisão Proporcional Composta 
Divisão proporcional composta ocorre quando se divide proporcionalmente a 
mais de um grupo de números. 
Vejamos a situação seguinte: 
Exemplo: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o 
trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi 
realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 
dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Sabendo que a 
empreiteira tinha R$ 29.400,00 disponíveis, como dividir com justiça essa quantia 
entre as duas turmas de trabalho? 
 Essa divisão não é da mesma natureza das anteriores. Trata-se de uma 
divisão composta em partes proporcionais, pois os números obtidos deverão ser 
proporcionais a dois números de homens e também a dois números de dias 
trabalhados. Analisando veremos que: 
- Na primeira turma: 10 homens em 5 dias produzem o mesmo que 50 homens em 
um dia (10 . 5). 
- Na segunda turma: 12 homens trabalhando 4 dias equivale a 48 homens num 
único dia (12.4) 
Neste caso, divide-se o número em partes diretamente proporcionais aos 
produtos dos números da proporcionalidade. 
Então, resolvendo o problema, temos: 
Como x + y = 29.400 → y = 19.400 – 15.000 → y = 14.400 
Assim, a primeira turma deverá receber R$ 15.000,00 da empreiteira e a segunda 
R$ 14.400,00. 
Outra forma de divisão proporcional composta é a divisão em partes 
diretamente proporcionais a um grupo de números e inversamente a outro. 
Exemplo: Dividir o prêmio de R$ 7.200,00 em partes diretamente proporcionais ao 
tempo de serviço de João e Pedro e inversamente às suas idades, sabendo que os 
tempos de serviço são, respectivamente, 5 e 9 anos e as idades, 25 e 30 anos. 
Basta multiplicar o primeiro grupo (5 e 9) pelo inverso do segundo grupo (25 e 30) e 
após, dividir a importância em partes diretamente proporcionais ao produto obtido. 
Fazendo x+ y = 7.200,00 
Como x + y = 7.200 → y = 7.200 – 2.880 → y = 4.320 
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João deverá receber R$ 2.800,00 e Pedro R$ 4.320,00 
 
1.2.3 Regra de Sociedade 
São aplicações dos casos de divisão em partes proporcionais. 
Sociedade: um grupo de duas ou mais pessoas que se juntam, cada uma com 
um determinado capital, que deverá ser aplicado, por um certo tempo, em uma 
atividade qualquer e com o objetivo de obter lucro. 
Mas, esse é somente o começo da nossa pretensão. Mais adiante, trataremos 
novamente dessas questões, bem como, daremos sugestões e exemplos de como 
trabalhar em sala de aula com a Matemática Financeira e todas as suas 
possibilidades. 
Antes, porém, demonstraremos alguns estudos que são feitos, pela 
academia, para o ensino e análise dessa disciplina, bem como, as suas implicações 
e importância. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 A MATEMÁTICA FINANCEIRA NA ACADEMIA 
 
 
Academia é o nome que se dá aos institutos e universidades onde se 
desenvolvem pesquisas e tecnologias. 
Na área da Educação Matemática, muito se tem pesquisado sobre a 
Matemática Financeira, embora ainda haja poucos trabalhos enfocando as 
estratégias de ensino e aprendizagem, propriamente ditas. 
Em pesquisas bibliográficas, realizadas por nós, pudemos constatar e 
relacionar, para você, algumas dissertações de mestrado e teses de doutoramento 
que tratam do tema, bem como, Artigos e Livros, que merecem e devem ser lidos e 
analisados, pois, os mesmos, serão de grande valia para a sua prática pedagógica, 
bem como, para que você repense a mesma. Veja a seguir e nas referências e boa 
leitura! 
 
2.1 A produção científica brasileira 
 
Entre produções científicas que encontramos, acerca da Matemática 
Financeira, seu ensino e aprendizagem, destacamos a tese de Nascimento (2004), 
que investigou o que sabem os alunos e o que pensam os professores do ensino 
médio a respeito da matemática financeira nesta etapa da escolaridade. Sandra 
Vidotto (2002), em sua dissertação de mestrado em engenharia de produção, 
realizou um estudo para verificar se a utilização de um programa educacional 
(elaborado pelo Professor Doutor Mardem Almeida Machado e utilizado na 
Universidade Estadual de Londrina) pode favorecer o desenvolvimento da 
criatividade e da iniciativa de alunos de segundo e terceiro graus tornando os 
conteúdos de matemática financeira mais significativos. 
Já Valéria de Carvalho (1999), desenvolveu uma pesquisa qualitativa onde foi 
elaborada uma proposta de intervenção na formação de dois professores de 
matemática, considerando a questão da educação para o consumo, através da 
matemática financeira e o uso do vídeo em sala de aula. 
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Visando proporcionar a investidores amadores o conhecimento necessário 
para estabelecer metas de investimento e compreender o balanço entre risco e 
retorno, Rodrigo Becke Cabral (2002) apresenta um modelo de ensino de 
estratégias de investimento. 
A pesquisa desenvolvida por Adriano Brandão Feijó (2007) teve por objetivo 
investigar se a utilização da planilha promove as condições necessárias para que 
alunos universitários melhorem a compreensão de conceitos da matemática 
financeira em comparação com o ensino tradicional realizado com calculadoras 
financeiras e tabelas de coeficientes. 
Algumas dissertações são voltadas para a escola básica, como a de 
Mercedes Villar Fiel (2005), que apresenta uma proposta para o ensino da 
matemática financeira na sexta e sétima séries (sétimo e oitavo anos) como elo à 
cidadania fundamentada na perspectiva da etnomatemática. Por sua vez, Adriana 
Almeida (2004) investigou a abordagem de alguns conteúdos de matemática 
financeira no primeiro ano do ensino médio de uma escola pública estadual de 
Campinas, com a intenção de analisar como os alunos sistematizam e apreendem 
estes conteúdos. Os alunos da EJA de uma escola estadual no Rio Grande do Sul 
foram o foco do relato de experiência de cunhoqualitativo de uma proposta de 
ensino de matemática financeira, desenvolvido por Karla Silveira (2007). 
O uso da tecnologia foi o foco de alguns trabalhos: Nelson Leme (2007) 
investigou o impacto da abordagem construcionista e das potencialidades das 
planilhas eletrônicas no ensino-aprendizagem de conteúdos da matemática 
financeira e Eugênio Stieler (2007) realizou uma pesquisa em uma turma do curso 
de matemática da UNIFRA, na qual foi aplicada a metodologia da engenharia 
didática, com a finalidade de introduzir o conceito de capitalização simples e 
composta e desconto simples com o auxílio da planilha eletrônica do excel. Em sua 
tese de doutorado, Mardem Machado (1997) elaborou um aplicativo de matemática 
financeira utilizado por uma turma do 1º ano do curso de ciências econômicas da 
Universidade Estadual de Londrina para testar se a metodologia focada em recursos 
da tecnologia hipermídia pode ser mais motivadora. 
Além dos textos citados acima, destacamos, ainda, alguns artigos de algumas 
revistas da área, como a Revista do Professor de Matemática (RPM) que também se 
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preocupa com o ensino-aprendizagem da matemática financeira, como o artigo de 
Luis Márcio Imenes (RPM-08, 1986) ao desenvolver dois exemplos de aplicação da 
matemática financeira relacionados a problemas de desconto, um sobre descontos 
sucessivos e outro sobre desconto em caso de parcelamento. Manoel Henrique 
Campos Botelho (RPM-20, 1992) fornece um exemplo de inflação acumulada ao 
comparar o valor de redução de capacidade de compra ao aumento real da inflação. 
Lourdes Almeida e Reginaldo Fideles (2004) expõem, no VII Encontro 
Paulista de Educação Matemática, um trabalho que utiliza a modelagem matemática 
como alternativa pedagógica para o ensino de matemática financeira, desenvolvida 
com um grupo de alunos de um curso de administração de empresas. 
Hideo Kumayama (RPM-22, 1992) apresenta a resolução de um problema de 
pagamento parcelado explicando como utilizar o método de aproximações 
sucessivas para calcular taxa de juro e Eduardo Colli (RPM-54, 2004) explica o 
funcionamento de uma modalidade de tributação dos salários, adotada no Brasil, 
que é o Imposto de Renda com tabela progressiva. 
Alguns artigos relacionam a matemática financeira a outros conteúdos da 
matemática, como o de Renato Fraenkel (RPM-04, 1984) que relaciona logaritmo 
com juro composto através de um problema onde o tempo é a incógnita. Maria Ignez 
de Souza Vieira Diniz (RPM-18, 1991) em um artigo sobre resolução de problemas 
discute uma questão de porcentagem relacionando este conhecimento com funções 
racionais. João Calixto Garcia (RPM-20, 1992) exemplifica como a soma finita de 
P.G. pode ser aplicada na matemática financeira através de um problema que 
compara o valor à vista com desconto de um produto ao seu valor a prazo sem 
juros. 
Ernesto Rosa Neto (RPM-27, 1995) apresenta um problema real de penhora 
onde a Caixa Econômica comete um erro contra si mesma por não notar que o valor 
a pagar era uma função linear enquanto que a inflação era função exponencial e 
Samuel Hazzan (RPM-33, 1997) aborda um problema sobre plano de aposentadoria 
relacionando P.G. com a matemática financeira. 
Guillermo Zamalloa Torres (2008) na RPM-66, trabalha um problema para 
calcular o valor da prestação de um empréstimo, utilizando soma de P.G. em sua 
resolução. 
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Outros artigos demonstram uma preocupação histórica ou social no enfoque 
do tema. Na RPM-43, Wagner da Cunha Fragoso (2000) comenta que Bhaskara já 
resolvia problemas de ordem comercial e financeira, apresentando um deles em 
linguagem atual, ou o de Roberto Perides Moisés na Revista Carta na Escola na 
edição de maio de 2007, ao propor exercícios para que, os alunos do ensino médio, 
reflitam sobre as armadilhas do crédito fácil, demonstrando preocupação com a 
tendência atual dos jovens se tornarem presas fáceis de modismos e apelos 
publicitários. 
Além dos Artigos, Teses e Dissertações, relacionamos alguns livros, tais 
como, o livro de Morgado, Wagner e Zani (2005) que é um dos poucos livros 
encontrados, que realiza uma abordagem visual para o ensino da matemática 
financeira. 
O enfoque do Telecurso 2000 (FIESP/Fundação Roberto Marinho, 2000) em 
particular da aula 37, utiliza também a representação da situação do problema em 
diagramas. 
O livro Matemática Financeira de Wili Dal Zot (2006), é destinado a 
estudantes universitários, com informações sobre a história de alguns tópicos desta 
matéria. Ilydio Pereira de Sá (2005), no livro Matemática Comercial e Financeira (na 
educação básica) para Educadores Matemáticos, explora situações do cotidiano dos 
alunos para inserir a matemática financeira na educação básica, demonstrando 
preocupação didática com o ensino da disciplina. 
Outros livros têm como meta abrir os olhos dos leigos para as principais 
ofertas veiculadas na mídia, guias para fugir das enrascadas do mercado financeiro, 
como: A regra do jogo e Como comprar mais gastando menos (Editora Saraiva) de 
Rafael Paschoarelli Veiga (2007) ou o livro Dinheiro: os segredos de quem tem de 
Gustavo Cerbasi (2005, Editora Gente), que alerta o leitor sobre as armadilhas 
financeiras do dia-a-dia, fornecendo sugestões para gerir suas finanças, ao abordar 
temas como formas de investimento e planejamento da aposentadoria. 
Em sendo, podemos confirmar a preocupação que existe acerca dessa 
modalidade matemática e sua não aplicação correta, na educação básica. 
Além disso, e, apesar da visível facilidade dos conteúdos abordados pela 
Matemática Financeira, temos encontrado resultados negativos, principalmente nas 
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provas sistêmicas, por parte dos nossos alunos, o que nos permite afirmar que, os 
mesmos têm enfrentado muitas dificuldades em assimilar e trabalhar com os mais 
simples e elementares conceitos matemáticos. É o que veremos a seguir. 
 
2.2 Dificuldades enfrentadas pelos alunos 
 
Dados obtidos através do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica 
(SAEB) indicam que os alunos apresentam grande dificuldade na compreensão 
desses conceitos (BRASIL, 2010). Esses dados nos dão a falsa impressão de que o 
problema da incompreensão, de alguns conceitos matemáticos, como 
proporcionalidade, está apenas nas crianças. Será que só os alunos são os únicos 
responsáveis pela não apropriação do conceito de proporcionalidade? Haverá outras 
formas de o professor explorar o conteúdo de grandezas diretas e inversamente 
proporcionais? O uso de ferramentas interativas pode facilitar esse processo de 
aquisição do conhecimento? 
Castro-Filho e colaboradores (2006) apontam duas hipóteses sobre as causas 
das dificuldades encontradas pelos alunos na apropriação desses conceitos: a 
complexidade própria relativa a esses conceitos e a forma como os mesmos são 
ensinados na escola. 
Sobre a complexidade desses conceitos, alguns estudos realizados por 
(VERGNAUD, 1997; NUNES; BRYANT, 1999) mostram que os esquemas de somar 
e subtrair não são suficientes para compreensão do conteúdo de proporcionalidade. 
Outros estudos nos mostram que há uma grande diferença entre a 
matemática ensinada na escola e a matemática das ruas, ou seja, aquela que é 
utilizada pelas crianças em situações do cotidiano como vendasem feiras livres e 
semáforos das grandes cidades (CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 1982). 
Em relação à segunda hipótese, a forma como esses conceitos são 
ensinados na escola, pode-se perceber que, com algumas exceções, o professor de 
matemática costuma utilizar apenas o livro didático como fonte de informação e 
resolução de problemas que, na maioria dos casos, apresentam exercícios 
descontextualizados, sem nenhum vínculo com o cotidiano dos alunos. 
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Fica evidente que novas formas de ensinar e aprender conceitos matemáticos 
devem ser uma das preocupações do corpo docente. Os Parâmetros Curriculares 
Nacionais (PCN) apontam para a necessidade de incorporar ao trabalho da escola 
“tradicionalmente apoiado na oralidade e escrita, novas formas de comunicar e 
conhecer” (BRASIL, 1998). 
Essas dificuldades podem ser compensadas, no todo ou em parte, pela 
utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Há várias pesquisas 
que apontam o uso de recursos advindos das TIC como ferramentas de apoio ao 
ensino e construção de conceitos matemáticos (CASTRO-FILHO et al., 2003; 
CONFREY, 1994; GOMES; TEDESCO & CASTRO-FILHO, 2003; LEITE et al., 
2003). Estes pesquisadores investigaram a formação de diferentes conceitos como 
aritmética, álgebra, frações e funções com a utilização de softwares educativos. 
Um desses recursos é o Objeto de Aprendizagem – OA. Segundo David 
Wiley, Objetos de Aprendizagem podem ser compreendidos como “qualquer recurso 
digital que possa ser reutilizado para o suporte ao ensino” (WILEY, 2000, p.3). Esta 
definição ainda é provisória e um pouco vaga devido ao fato de que os estudos 
sobre objetos de aprendizagem é algo recente e as concepções de aprendizagem, 
de cada autor, o influencia quando da formulação de um novo conceito, de forma 
que também não existe ainda um consenso universalmente aceito sobre o que seja 
um objeto de aprendizagem. 
Espera-se que, com o aprofundamento de pesquisas nessa área, chegue-se a 
um consenso sobre o conceito de OA. 
Por esse motivo, existem diferentes tipos de objetos de aprendizagem. Eles 
podem ser criados em qualquer mídia ou formato, podendo ser simples como uma 
apresentação feita em um visualizador de imagens como o “Power Point” ou uma 
simulação feita em “Flash”. Os Objetos de Aprendizagem utilizam-se de imagens, 
animações e “applets”, documentos VRML (Realidade Virtual), arquivos documentos 
do tipo (doc e txt), arquivos do tipo “hipertexto” (html) dentre outros. Não há definição 
clara de limite de tamanho para um Objeto de Aprendizagem, porém existe o 
consenso de que ele deve ter um propósito educacional definido, um elemento que 
estimule a reflexão do estudante e que sua aplicação não se restrinja a um único 
contexto (BETTIO; MARTINS, 2004). 
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Alguns pesquisadores, (LONGMIRE, 2001; SÁ FILHO; MACHADO, 2004), 
apontam diversos fatores que favorecem o uso de Objetos de Aprendizagem na área 
educacional. Seriam eles: 
 A flexibilidade: os Objetos de Aprendizagem são construídos de forma 
simples e por isso, já nascem flexíveis, de forma que, podem ser reutilizáveis 
sem nenhum custo com manutenção; 
 A facilidade para atualização: como os mesmos objetos são utilizados em 
diversos momentos a atualização dos mesmos em tempo real é relativamente 
simples, bastando apenas que todos os dados relativos a esse objeto estejam 
em um mesmo banco de informações; 
 A customização: como os objetos são independentes, a ideia de utilização 
dos mesmos em um curso ou vários cursos ao mesmo tempo, torna-se real, 
sendo que cada instituição educacional pode utilizar-se dos objetos e arranjá-
los da maneira que mais convier; 
 A interoperabilidade: os Objetos de Aprendizagem podem ser utilizados em 
qualquer plataforma de ensino em todo o mundo. Essas vantagens 
transformam os Objetos de Aprendizagem em um novo paradigma da 
educação. 
Vivemos na era da informação. Neste contexto, grandes mudanças ocorreram 
com a introdução dos computadores na indústria, no comércio, nos bancos e nos 
escritórios. Assim, a informatização mudou a forma de busca e assimilação do 
conhecimento. 
Nenhuma outra invenção causou impacto tão grande e em nenhuma outra 
época da história da humanidade se viu tantas transformações em pouquíssimo 
espaço de tempo. 
Portanto, não podemos mais ignorar a presença dessa ferramenta e suas 
potencialidades para o desenvolvimento do ensino, seja este na modalidade 
presencial, semipresencial ou à distância (VALENTE, 1993). 
Entretanto, cabe a escola, desenvolver de forma crítica uma política de 
utilização das TIC. Há, atualmente, muitos meios de divulgação da informação de 
forma eficiente, rápida e precisa. Porém, essas informações chegam às pessoas de 
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uma só vez, de forma desorganizada e acrítica. A escola deve selecionar esses 
conhecimentos, verificar sua validade e classificá-los conforme a capacidade de 
assimilação dos discentes (KENKY, 2003). 
Se pensarmos sobre o computador, apenas do ponto de vista de suas 
potencialidades em nível de cálculo, visualização, modelação e geração de 
simulações, chegaremos à conclusão de que ele é o instrumento mais poderoso 
que, atualmente, dispõem os educadores matemáticos para proporcionar esse tipo 
de experiências aos seus alunos. Contudo, o computador sozinho não pode fazer 
nada. Ele, apenas, obedece às rotinas pré-determinadas pelos programas e 
depende da disposição e criatividade do usuário para gerar conhecimentos e auxiliar 
na compreensão de novos conceitos (SÁ FILHO; MACHADO, 2004). 
Todavia, há uma diferença entre o computador e outros meios de 
comunicação como a televisão, o DVD, as filmadoras e máquinas fotográficas que é 
a capacidade de processar ideias e de proporcionar interatividade. O computador 
nos permite modificar e recriar ideias e informações em tempo real. Ao manipular 
ideias e informações na tela, o aluno interage com o computador e se torna autor e 
coautor da construção de seu conhecimento (BETTIO; MARTINS, 2004). 
Quanto ao uso do software, a escola deve adequá-lo ao currículo e não o 
oposto. Precisamos encarar o software como uma ferramenta de apoio à construção 
do conhecimento e não como a peça chave do processo ensino-aprendizagem. Na 
verdade, esse processo só terá sucesso com o treinamento e a capacitação dos 
professores para o trabalho com as TIC. A mediação do professor na condução 
desse processo é fundamental. Qualquer tentativa de utilização efetiva dos 
computadores na escola está fadada ao fracasso, se não houver cuidado na 
capacitação dos professores (BORGES NETO, 1998). 
Portanto e por isso, analisaremos, a seguir, a legislação acerca dessa 
disciplina, bem como, as abordagens feitas pelos livros didáticos, acerca da melhor 
metodologia a ser aplicada no ensino e aprendizagem desse conteúdo, deveras, 
fundamental para o verdadeiro e pleno exercício da cidadania. 
 
 
 
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3 ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
3.1 A matemática financeira e os Parâmetros Curriculares Nacionais 
 
Nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio, volume 2 ( MEC, 2006), 
os conteúdos básicosestão organizados em quatro blocos: Números e operações; 
Funções; Geometria; Análise de dados e probabilidade. Em relação a esta divisão 
por blocos, essas orientações direcionam o tema da seguinte forma: 
 
No trabalho com Números e operações deve-se proporcionar aos alunos 
uma diversidade de situações, de forma a capacitá-los a resolver problemas 
do quotidiano, tais como: operar com números inteiros e decimais finitos; 
operar com frações, em especial com porcentagens; fazer cálculo mental e 
saber estimar ordem de grandezas de números; usar calculadora e números 
em notação científica; resolver problemas de proporcionalidade direta e 
inversa; interpretar gráficos, tabelas e dados numéricos veiculados nas 
diferentes mídias; ler faturas de contas de consumo de água, luz e telefone; 
interpretar informação dada em artefatos tecnológicos (termômetro, relógio, 
velocímetro). Por exemplo, o trabalho com esse bloco de conteúdos deve 
tornar o aluno, ao final do ensino médio, capaz de decidir sobre as 
vantagens/desvantagens de uma compra à vista ou a prazo; avaliar o custo 
de um produto em função da quantidade; conferir se estão corretas 
informações em embalagens de produtos quanto ao volume; calcular 
impostos e contribuições previdenciárias; avaliar modalidades de juros 
bancários (pp.70 e 71). 
 
 
Mas, não é isso o que presenciamos em sala de aula, no dia a dia da prática 
do professor de Matemática. 
Nesse sentido, vemos que, assim como a Estatística e a Probabilidade, a 
Matemática Financeira é subárea da matemática aplicada, especialmente ligada às 
aplicações. Por isso é importante que o aluno perceba que as definições, 
demonstrações, encadeamentos conceituais e lógicos tenham a função principal de 
construir novos conceitos e estruturas a partir de outros. 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio preceituam que se 
interprete informações e seus significados (tabelas, gráficos e expressões). Eles 
devem ser relacionados a contextos socioeconômicos ou ao cotidiano que se 
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adaptam certamente a Matemática Financeira. Devem formular questões a partir de 
situações da própria realidade e compreender aquelas já enunciadas. 
Os Parâmetros também consideram relevante estabelecer conexões entre 
diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimento de outras 
áreas do currículo. Mesmo que o conteúdo seja abordado de forma completa e 
aprofundado, nada garante que o aluno estabeleça alguma significação para as 
ideias isoladas e desconectadas umas das outras. 
O ponto central é o da contextualização que insere o assunto na realidade do 
aluno e da interdisciplinaridade que procura inter-relacionar as disciplinas entre si. 
No tratamento desses temas, a mídia, as calculadoras e os computadores adquirem 
importância natural como recursos que permitem a abordagem de problemas com 
dados reais e requerem habilidades de seleção e análise de informações. 
 
3.2 Matemática Financeira em alguns livros didáticos 
 
Vários fatores como a falta de tempo, por exemplo, fazem que os livros 
didáticos tenham forte influência no trabalho dos professores em sala de aula. 
Acreditamos que eles acabam determinando as escolhas dos conteúdos de 
maneira mais incisiva que os documentos oficiais. 
Tratando-se particularmente de Matemática Financeira, e analisando alguns 
livros didáticos do Ensino Médio, observamos a forma como é feita a abordagem 
desse tema. A inclusão da Matemática Financeira nesses livros didáticos se dá 
provavelmente em resposta às orientações contidas nos PCN (BRASIL, 2006) e à 
inclusão desse tema nas grades curriculares. 
Os conteúdos de Matemática Financeira abordados nestes livros didáticos 
são principalmente juros simples e compostos. Infelizmente a maior parte do material 
didático existente aborda este tema de forma tradicional, por meio da aplicação de 
fórmulas sem significado para o aluno. 
É raro encontrar alguma obra, como A Matemática do Ensino Médio, vol. 2, 
Coleção do Professor de Matemática (2000), que relacione a Matemática Financeira 
com situações do dia-a-dia do aluno ou com outros assuntos da matemática, como 
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Progressões e Funções. Mas este não é um livro-texto e sim um livro de apoio para 
o professor. 
Apresentamos a análise de alguns livros didáticos, sob o ponto de vista 
matemático e didático, verificando quais os conteúdos da Matemática Financeira, 
foram contemplados e qual a abordagem utilizada. 
Inicialmente, selecionamos três livros dentre os que foram aprovados no 
Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM), buscando 
também escolher livros de diferentes editoras. São eles: 
Livro 1. DANTE, L. R. Matemática, vol. 1, 1ª ed. São Paulo: Ática, 2004. 
Livro 2. PAIVA, M. Matemática, vol. único, 1ª ed. São Paulo: Moderna, 2005. 
Livro 3. SMOLE, K.S.; DINIZ, M.D. Matemática – ensino médio, vol. 3, 5ª ed. São 
Paulo: Saraiva, 2005. 
A análise dos livros sob o ponto de vista didático foi realizada, levando em 
consideração as seguintes questões: 
Questão 1. Como é realizada a abordagem dos conceitos básicos da matemática 
financeira? 
Técnica 1.1. Através de fórmulas, apresentando suas demonstrações. 
Técnica 1.2. Através de fórmulas, mas sem apresentar suas demonstrações. 
Técnica 1.3. Através da visualização, com generalização. 
Técnica 1.4. Através da visualização, sem generalização. 
Técnica 1.5. Baseado na visualização, mas depois usando fórmulas na resolução 
dos problemas. 
 
Questão 2. Como é introduzido o conceito? 
Técnica 2.1. Começa com um problema motivador para alcançar a construção do 
conceito. 
Técnica 2.2. Começa com um exemplo simples para depois introduzir o conceito. 
Técnica 2.3. Começa diretamente com o conceito para depois colocar exemplos, 
exercícios ou problemas. 
 
Questão 3. Contempla questões do cotidiano do aluno? 
Buscamos verificar se o livro didático aborda os conceitos da matemática financeira 
relacionando-os com questões do cotidiano. 
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Questão 4. Relaciona os conteúdos da matemática financeira com progressões? 
Investigamos aqui se o livro buscou fazer uma integração de juro simples com 
progressão aritmética e de juro composto com progressão geométrica. 
 
Questão 5. Relaciona os conteúdos da matemática financeira com funções? 
Procuramos verificar se o livro buscou fazer uma integração de juro simples com 
função afim e de juro composto com função exponencial. 
 
Questão 6. Traz contribuições na formação da cidadania? 
Procuramos observar se o livro proporciona uma análise crítica da informação, 
usando exemplos do cotidiano para estimular o aluno a fazer questionamentos, 
formulações e validação de dados, explorando questões sociais, éticas, de consumo 
ou políticas. 
Na sequência desse estudo, faremos a descreveremos a análise feita em 
outros livros didáticos de Matemática, desta feita, são todos do ensino médio, 
objetivando constatar a forma como os tópicos da Matemática Financeira, são 
abordados e tratados por esses livros e se, os mesmos estão em conformidade com 
as determinações contidas nos Parâmetros curriculares Nacionais do Ensino Médio. 
O primeiro livro abordado será Matemática: Volume Único (MARCONDES, 
GENTIL e SÉRGIO), onde, o capítulo destinado à Matemática Comercial e 
Financeiraé inserido adequadamente após o capítulo referente às progressões 
geométricas, pois, este é um dos pré-requisitos mais importantes para o 
entendimento do conteúdo. Inicia o assunto revisando as porcentagens do ensino 
fundamental e recorre a um exemplo simples, onde mostra que um cliente terá um 
desconto de 10% de uma compra de R$ 150,00, o que resulta em um desconte de 
R$ 15,00. Achamos que deveria aplicar na revisão exemplos mais complexos 
usando de preferência valores decimais. 
O tema, Juros Simples, é abordado de forma geral e confusa, pois não explica 
que os juros referem-se apenas ao capital inicial, conceituado somente em um único 
exemplo. Apresenta exercícios resolvidos e propostos em que a única exigência do 
estudante é a substituição na fórmula dada. Quanto aos Juros Compostos, achamos 
que o autor foi feliz, pois o define relacionado como progressão geométrica, 
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apresentando ao aluno esta conexão e demonstrando a fórmula principal do 
montante. O autor aplica exercícios resolvidos em que a única exigência do 
estudante é a substituição na fórmula principal. O mesmo refere-se aos exercícios 
propostos. 
Os autores aconselham o uso de calculadoras, pois é fundamental no cálculo 
de certas expressões e relaciona a Progressão Geométrica com os Juros 
Compostos encadeando positivamente os conteúdos. Os autores não relacionam o 
assunto na sua prática e não apresentam os conceitos e demonstrações principais 
de Matemática Financeira. Aplicam exemplos e exercícios que não exigem raciocínio 
do estudante e sim a substituição em fórmulas. Não apresentam gráficos e tabelas 
que ajudam a visualizar e fixar o conteúdo e a revisão dos pré-requisitos da 
matemática financeira no ensino fundamental, restringindo-se apenas a tratar de 
porcentagens. 
O outro livro analisado é Matemática - Volume Único (IEZZI, DOLCE, 
DEGENSZAJN e PÉRIGO), no qual, a abordagem feita à Matemática Financeira é 
iniciada, revisando os conceitos de Razão, Proporção e Porcentagem que são 
conceitos relevantes do ensino fundamental e que geralmente os estudantes não se 
recordam. Define razão e proporção diretamente com exercícios que se relacionam 
com o mundo real do tipo: na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a 
seguinte dosagem, cinco gotas para cada dois kg do peso da criança. Se uma 
criança tem doze kg, qual a dosagem correta do remédio que a criança deverá 
tomar? Primeiro o autor monta o problema comentando que é um exercício de regra 
de três simples, mas não define claramente a porcentagem referente ao valor total 
(100 %). Em seguida, aplica exemplos e exercícios relacionados ao cotidiano das 
pessoas. 
Em relação aos juros, apesar de não haver definido formalmente, apresenta a 
ideia principal do que significa, relacionando-o com compra a prazo e empréstimos 
em um banco, vinculado ao período (dia, mês, ano). Juros Simples é definido 
apenas como a taxa fixa de juros e calculada referente à quantia inicial. Apresenta-
se a fórmula básica do montante e em seguida aplica exemplos e exercícios em que 
a única dificuldade do estudante é a simples substituição. 
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Nos Juros Compostos, o autor insere o conteúdo de modo geral não 
demonstrando a derivação da fórmula, apresenta exemplos, sendo que em um deles 
há a necessidade da aplicação dos logaritmos e nos outros, como não são fixos os 
juros, seria necessário apresentar o desenvolvimento da fórmula do Montante como 
uma progressão geométrica. Aplicam-se exercícios em que há a necessidade do 
estudante entender alguns conceitos que infelizmente não foram abordados 
diretamente no conteúdo. 
No que se refere ao Desconto Simples, é apresentado somente à ideia de 
desconto, em que um título resgatado antecipadamente gera um desconto líquido 
dado pela fórmula: Desconto (D) é igual à Taxa (i) multiplicado pelo Valor Nominal 
(C) e multiplicado novamente pelo Tempo de Antecipação (n), sendo que o Valor 
Nominal menos o Valor Atual na data do resgate é igual ao Desconto. O livro aplica 
testes de universidades diversas, com a opção de se escolher o item certo. Aplicam-
se também alguns desafios que podem testar a capacidade de raciocínio do 
estudante. 
Infelizmente, em nenhum momento o livro sugere o uso de calculadoras, 
mesmo contendo exercícios que tratam dos logaritmos decimais. 
Além disso, o conteúdo de Matemática Financeira é suprimido e alguns 
conceitos omitidos. Os poucos exemplos e exercícios que são propostos no capítulo 
não exigem o raciocínio do estudante na sua resolução, pois basta apenas substituir 
os dados apresentados na fórmula. O livro não apresenta gráficos e tabelas que são 
importantes na visualização e assimilação do conteúdo. 
Outro livro estudado e analisado foi Matemática - Volume Dois (PAIVA), onde 
o autor trata do assunto como extensão das Progressões Geométricas e, talvez esse 
seja o motivo de se excluir do conteúdo os juros simples. O autor afirma ainda, para 
justificar tal exclusão, que os juros compostos são os mais frequentemente usados 
nas transações financeiras e demonstra a fórmula por meio de uma tabela que pode 
ser montada pelo aluno com o auxílio do Excel. O autor fornece as respostas para 
os cálculos exponenciais ao invés de sugerir que o próprio aluno poderia encontrá-
los por meio da calculadora científica ou financeira. Achamos interessante o 
exercício que faz a conexão da Biologia com a fórmula do montante, apresentando 
ao estudante uma aplicação da fórmula em outra área de atuação. Entendemos que 
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o autor poderia ter revisado alguns tópicos importantes do Ensino Fundamental que 
são pré-requisitos da Matemática Financeira e que os alunos geralmente não se 
recordam. 
O outro livro analisado é Matemática: Contexto e Aplicações - Volume Único 
(DANTE). Nele, o autor introduz o conteúdo apresentando comparações entre 
pagamento à vista ou parcelado, o que consideramos ser interessante do ponto de 
vista financeiro. Ele exemplifica algumas das aplicações da Matemática Comercial e 
Financeira como cálculo do valor de prestações, pagamento de impostos e 
rendimento de poupança situando o estudante no cotidiano do assunto. 
A revisão do Ensino Fundamental se inicia pelos números proporcionais. O 
autor define algebricamente números diretamente e inversamente proporcionais. Os 
exemplos são do tipo: os números 35, 14 e X são proporcionais aos números Y, 16 e 
24 nessa ordem. Vamos determinar X e Y. O exemplo seguinte propicia ao 
Professor contextualizar sua aula: três sócios tiveram a seguinte participação em um 
negócio. O primeiro investiu R$ 5.000,00, o segundo R$ 4.000,00 e o terceiro R$ 
2.000,00. No final de um certo período foi apurado um lucro de R$ 3.300,00. Como 
deve ser repartido esse lucro? Sugerimos que neste exemplo o professor associe os 
sócios aos alunos presentes em sala de aula. 
As porcentagens são resolvidas pelo autor por equivalência onde indica uma 
fração de denominador 100 e regra de três simples. Ele ainda explora nas 
resoluções dos exemplos conceitos importantes como fração irredutível, forma 
decimal da fração e principalmente, percentual. Ele ainda utiliza um círculo da 
geometria plana para analisar uma parte pelo todo, o que é interessante, pois mostra 
ao estudante como a Matemática pode se relacionar com outrosconteúdos na 
resolução de exercícios. 
Dante foi feliz ao definir o que é fator de atualização, pois na maioria dos 
livros que analisamos não apresentam a ideia principal da Matemática Financeira 
conectada ao valor unitário da porcentagem. Ele explica que se f (fator de 
atualização) é maior do que 1, houve um acréscimo do valor; se f é menor do que 1, 
houve um desconto do valor; se f é igual a 1, não houve variação. Entendemos que 
se o estudante compreende este conceito, a aprendizagem dos tópicos principais da 
Matemática Financeira torna-se mais fácil. Ainda, referindo-se ao fator de 
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atualização que permite o cálculo do valor acumulado, ele aplica exemplos que 
exploram o cotidiano das pessoas como o cálculo da inflação em determinado 
período, índice da bolsa de valores e a variação do preço do dólar. Nestes exemplos 
o estudante poderá montar uma tabela no Excel e calcular o fator acumulado ou 
simplesmente utilizar a calculadora como ferramenta que facilitará a resolução dos 
exemplos. 
Os juros simples são resolvidos nos exemplos de duas formas distintas, 
usando as porcentagens ou generalizando por meio da fórmula do montante para 
cálculo de juros simples. No que se refere aos juros compostos, o autor faz a 
analogia entre os juros e as funções por intermédio de um exemplo cujo gráfico 
resultante é uma reta do tipo linear nos juros simples e uma variação exponencial 
nos juros compostos. Pensamos que tal ideia é interessante para o entendimento do 
conteúdo, pois os gráficos e tabelas quando bem abordados facilitam na 
visualização e interpretação do problema. 
Enfim, se considerarmos que a Matemática Financeira é um conteúdo novo 
na grade curricular e que o livro didático é uma das principais fontes de consulta do 
professor, seria desejável que este lhe oferecesse informações na intenção de 
auxiliá-lo, tanto no preparo de suas aulas quanto na sua prática docente. 
Assim, podemos concluir, pela análise dos livros didáticos que a abordagem 
dos conteúdos da Matemática Financeira não é feita da melhor forma e que, em 
vista disso, os mesmos não produzam sentido para o aluno, tampouco auxiliem, 
sobremaneira, o professor, permitindo uma excelência no ensino e aprendizagem da 
Matemática Financeira. 
Sugerimos, então, que o professor busque alternativas que complementem as 
falhas dos livros, bem como, sugerimos a você, aluno da FACEL, que aproveite a 
feitura do seu TCC e pesquise sobre as novas possibilidades de ensino da 
Matemática Financeira, bem como, os novos títulos publicados sobre o tema, 
confeccionando seu trabalho e, ao mesmo tempo, enriquecendo a sua prática 
docente. 
Nesse aspecto, daremos algumas sugestões para o professor do ensino 
médio, visando auxiliá-lo nessa busca por uma didática de resultados na Matemática 
Financeira. 
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3.3 Sugestões para o ensino da Matemática Financeira 
 
De acordo com a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDBEN, 9394/96) o 
professor tem autonomia suficiente para preparar com responsabilidade as aulas 
que serão ministradas. Evidentemente não podendo deixar de aplicar com 
consciência o conteúdo do currículo sugerido pelas escolas. 
Diante disso, o Professor poderia, da maneira que ele achar melhor, incluir 
pelo menos os seguintes conteúdos da Matemática Financeira para serem 
ministrados em sala de aula: juros, descontos, prazos e amortizações. 
Nesse sentido, concordamos com Parente (2001) ao afirma que o aluno do 
Ensino Médio possui maturidade suficiente para entender os tópicos discutidos 
inicialmente. Ele sugere que o ensino da Matemática Financeira deva ser ministrado 
de maneira similar ao que era proposto nos currículos das escolas técnicas. Elas 
possuíam cursos profissionalizantes inseridos no antigo segundo grau, entre eles o 
curso de Técnico em Serviços Bancários e Contabilidade que mantinham em seus 
currículos não apenas o conteúdo, mas a disciplina Matemática Financeira. Situação 
que proporcionava a estes estudantes maior carga horária de aula e melhor 
aproveitamento da disciplina. 
Para tanto, o Professor poderá utilizar planilhas eletrônicas ou calculadoras 
financeiras e científicas, inserindo o estudante nos meios tecnológicos que são 
sugeridos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio. 
A Matemática Financeira propicia também a contextualização das aulas 
através de propagandas na televisão, jornais e revistas. Poderá, também, revisar e 
reforçar conteúdos do ensino fundamental importante para a aplicação da 
Matemática Financeira tais como: proporção, porcentagem, equivalência, regra de 
três e ainda vários tipos de funções assim como seus respectivos gráficos. 
Igualmente como a estatística e as probabilidades, o conteúdo da Matemática 
Financeira é a oportunidade de os professores aplicarem vários conceitos 
matemáticos fazendo analogia com o mundo real em que ela encontra-se inserida. 
Poderá também usar recursos práticos como as propagandas de empréstimos e 
financiamentos das instituições bancárias ou folhetos de lojas, abrindo discussão em 
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sala de aula, destacando os aspectos positivos e negativos de cada caso e 
conferindo os dados analisados, tentando detectar a veracidade deles. 
Nas escolas que possuem laboratório de informática, o professor poderá 
montar alguns exemplos com o auxilio do Excel, inserindo o aluno nos meios 
tecnológicos. Nesse caso, haverá a necessidade de os professores dominarem o 
sistema aplicado para esclarecer as dúvidas que surgirem, não esquecendo que é 
interessante o próprio aluno tentar descobrir sozinho ou em grupo os recursos que 
são disponibilizados no sistema. 
Na sala de aula, especificamente falando, o professor de Matemática poderá 
utilizar dos seguintes exemplos, entre tantos outros, no ensino da Matemática 
Financeira. 
 
Exemplo 1: Marcela aplicou R$ 800,00 num investimento que rende 2% ao mês, a 
juros compostos. Qual é o tempo necessário para que ela obtenha um montante de 
R$ 1.200,00. 
Comentário: após substituído os dados na fórmula do montante, o Professor terá 
que aplicar conceitos dos logaritmos e precisará utilizar como ferramenta de 
resolução a calculadora cientifica inserindo o estudante na tecnologia que os PCN 
preceituam. 
 
Exemplo 2: Pedro vai fazer a compra de um computador no valor de R$ 4.000,00, 
usando o que tem depositado na caderneta de poupança, que está rendendo 1% ao 
mês. Ele quer saber, do ponto de vista financeiro, qual plano de pagamento 
oferecido pela loja é o mais vantajoso: 
a) pagar à vista; 
b) pagar em duas prestações iguais a R$ 2.005,00 cada uma. 
Resposta: Pedro possui duas possibilidades que exigem algum conhecimento de 
Matemática Financeira. Pagando à vista toda quantia, não sobrará nada na 
caderneta de Poupança. Mas pagando em duas prestações de R$ 2005,00 sobrará 
R$ 1995,00 após o pagamento da primeira prestação que renderá R$ 19,95 ao final 
de um mês. Então o capital aplicado na poupança somado aos juros renderá um 
total de R$ 2014,95. É obvio que quitando sua dívida, ainda lhe sobrará R$ 9,95, o 
que comprova neste caso que a alternativa b é a mais viável. 
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