Terceiro estágio de Cálculo 2 - 2014.2

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologia - CCT
Unidade Acadêmica de Matemática - UAMat
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Prova do 3o Estágio - Tarde Data: 11 de março de 2015
Professor(a):
Aluno(a): Nota:
Boa Prova!
1. (2,0 pontos) Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências
∞
∑
n=1
n3 (x+1)n
3n
.
2. (1,5 pontos) Escreva o polinômio e o resto de Taylor de ordem 4 ( f (x) = P4(x)+R4(x)) gerado pela
função f (x) = x
3
2 em a= 1.
3. (1,5 pontos) Use a série binomial gerada por (1− x2)− 12 , para escrever os 3 primeiros termos dife-
rentes de zero da série da Maclaurin para f (x) = arcsen(x), sabendo que
d
dx
(arcsen(x)) =
1√
1− x2 = (1− x
2)−
1
2 .
4. (2,0 pontos) Quantos termos da série de Maclaurin para ln(1+ x) =
∞
∑
n=1
(−1)n+1 xn
n
, −1 < x < 1,
devem ser considerados parase calcular ln(1,1) com um erro menor que 10−8.
5. (1,5 pontos) Dado r′′(t) = (−12pi2 cos2pit),−12pi2 sen2pit); r′(34) = (6pi,0) e r(34) = (0,−3). De-
termine r(t).
6. (1,5 pontos) Identifique a trajetória de uma partícula em movimento, cujo vetor posição, em um
tempo t > 0, é dado por r(t) = (2t3− 1,2t3 + 1). Esboce a trajetória e o vetor posição no
ponto (1,3). Encontre a curvatura da trajetória nesse ponto.
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologia - CCT
Unidade Acadêmica de Matemática - UAMat
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Prova de Reposição do 3o Estágio - Tarde Data: 11 de março de 2015
Professor(a):
Aluno(a): Nota:
Boa Prova!
1. (2,0 pontos) Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências
∞
∑
n=1
(−1)n+1 (x−2)n
n2
.
2. (1,5 pontos) Escreva o polinômio de Taylor de ordem 2 gerado pela função f (x) = esen(x), em
a=
pi
2
.
3. (1,5 pontos) Sabendo que
1
1− x =
∞
∑
n=1
xn, |x| < 1, use substituição, integração para encontrar uma
série para f (x) = x ln(x).
4. (2,0 pontos) Escreva a série binomial para f (x) =
√
1+ xeestimeoerroquandof(x) é aproximada
por 1+
x
2
, para x≤ 0,01.
5. (1,5 pontos) Encontre r(t), Sabendo que r′′(t) = (4e2t ,e−t ,1); r′(0) = (2,−1,0) e r(0) = (1,1,2).
6. (1,5 pontos) Identifique a trajetória de uma partícula em movimento, cujo vetor posição, em um
tempo t > 0, é dado por r(t) = (4sen3t,3cos3t). Esboce a trajetória e o vetor posição no
ponto (0,−4). Encontre a curvatura da trajetória nesse ponto.