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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Questa˜o 1 (2.5 pts) : Um comerciante que na˜o possu´ıa conhecimento de matema´tica, tem um custo de R$ 250,00 para a comercializac¸a˜o de uma certa mercadoria. Ele acresce a esse valor 50% de lucro. Certo dia, um fregueˆs pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo prec¸o, pensando que, assim, teria um lucro. a) (1.5 pt) Determine por quanto o comerciante vendeu a mercadoria. b) (1.0 pt) Determine, em termos percentuais, se houve, de fato, um lucro ou se houve um preju´ızo na venda da mercadoria. O percentual e´ calculado sobre o valor de custo da mercadoria. Soluc¸a˜o: a) Vamos, inicialmente, determinar o valor da mercadoria acrescido do lucro. Esse novo valor e´ calculado por 250 + 50% · 250 = 250 + 50 100 · 250 = 250 + 1 2 · 250 = 250 + 125 = 375 Assim, o novo valor da mercadoria e´ igual a R$ 375,00. O valor que o comerciante vendeu a mercadoria para o fregueˆs com desconto de 40% sobre o novo valor e´ calculado por 375− 40% · 375 = 375− 40 100 · 375 = 375− 2 ✁✁✕ 1 5 ·✟✟✟✯75375 = 375− 2 · 75 1 = 375− 150 = 225. Portanto, o comerciante vendeu a mercadoria para o fregueˆs por R$ 225,00. b) Como o comerciante teve um custo de R$ 250,00 para comercializar a mercadoria e depois vendeu por R$ 225,00, ele teve um preju´ızo de R$ 25,00. Ja´ que 250− 225 = 25. Vamos determinar em termos percentuais o valor do preju´ızo em relac¸a˜o ao valor de custo da mercadoria para o comerciante. Temos que: 25 250 = 1 10 = 10 100 = 10%. Portanto, houve um preju´ızo de 10% sobre o valor de custo. Me´todos Determin´ısticos I AP1 2 Questa˜o 2 (1.5 pt) : Considere as afirmac¸o˜es: i) O felino tigre e´ o mais bonito. ii) O enunciado iii) e´ verdadeiro. iii) Dentre os felinos, somente um e´ o mais bonito. iv) Os felinos lea˜o e guepardo sa˜o os mais bonitos. v) O felino puma na˜o e´ o mais bonito. vi) Somente uma das afirmac¸o˜es anteriores e´ falsa. Sabendo que a afirmac¸a˜o vi) e´ verdadeira, pode-se concluir que o valor-verdade (V, se verdadeiro; F, se falso) de cada uma das afirmac¸o˜es de i) a v) e´, respectivamente, a) VVVVF b) VVVFV c) VVFVV d) VFVVV e) FVVVV Justifique sua resposta. Soluc¸a˜o: Suponhamos, inicialmente, que a afirmac¸a˜o i) seja falsa. Da´ı, pela afirmac¸a˜o vi), segue que as afirmac¸o˜es ii), iii), iv) e v) sa˜o verdadeiras. Assim, como a afirmac¸a˜o ii) e´ verdadeira, iii) e´ verdadeira, isto e´, dentre os felinos um e´ o mais bonito. Mas enta˜o, a afirmac¸a˜o iv) e´ falsa, e ter´ıamos duas falsas. O que contradiz a afirmac¸a˜o vi). Logo, o valor-verdade da afirmac¸a˜o i) e´ V. A partir da´ı, vamos, agora, considerar que a afirmac¸a˜o ii) e´ falsa. Disso segue, que a afirmac¸a˜o iii) sera´, tambe´m, falsa. Mas, isso contradiz o afirmac¸a˜o vi) que afirma que so´ ha´ uma afirmac¸a˜o falsa. Logo, o valor-verdade da afirmac¸a˜o ii) e´ V. Consequentemente, o valor-verdade da afirmac¸a˜o iii) tambe´m e´ V. Disto segue que a afirmac¸a˜o iv) e´ F, pois se o felino tigre e´ o mais bonito, o lea˜o e o guepardo na˜o o podem ser. Finalmente, a afirmac¸a˜o v) e´ V por dois motivos: primeiro, porque como o felino tigre e´ o mais bonito, o puma na˜o e´ o mais bonito; e segundo, porque, ter´ıamos duas afirmac¸o˜es falsas, de novo, contradizendo a afirmac¸a˜o vi). Assim, temos a sequeˆncia de valores-verdade V i) V ii) V iii) F iv) V v) . Questa˜o 3 (3.5 pts) : Numa situac¸a˜o idealizada de um certo come´rcio foi estabelecido dois grupos de vendedores, A e B, para a venda de x unidades de um produto. Sabendo-se que os lucros dos grupos A e B sa˜o medidos, respectivamente, por LA = 2 ( x− 14 3 ) − 2 3 e LB = 3x− 1 5 , Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 3 a) (1.0 pt) Determine a quantidade vendida pelo grupo A quando o lucro deste grupo e´ de 100 reais. b) (1.0 pt) Determine para que quantidade vendida, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B. c) (1.5 pt) Determine para quais quantidades, o lucro do grupo B e´ menor que o do grupo A, sabendo que essas quantidades pertencem ao conjunto {x ∈ Z | 0 ≤ x < 14}. Soluc¸a˜o: a) A fim de determinar a quantidade x vendida pelo grupo A, quando LA e´ igual a 100 reais, temos de resolver a equac¸a˜o 100 = 2 ( x− 14 3 ) − 2 3 ⇐⇒ 100 = 2x− 2 · 14 3 − 2 3 ⇐⇒ 100 = 2x− 28 3 − 2 3 ⇐⇒ 100 = 2x− 30 3 ⇐⇒ 100 = 2x− 10 ⇐⇒ −2x = −10− 100 ⇐⇒ −2x = −110 ⇐⇒ x = −110−2 ⇐⇒ x = 55. Portanto, o grupo A vende uma quantidade de 55 unidades do produto, quando o lucro deste grupo e´ de 100 reais. b) Para determinar quantidade vendida x, para que o LA seja igual a LB, temos de resolver a equac¸a˜o Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 4 LA = LB ⇐⇒ 2 ( x− 14 3 ) − 2 3 = 3x− 1 5 ⇐⇒ 2x− 10 = 3x− 1 5 ⇐⇒ 5 · (2x− 10) = 3x− 1 ⇐⇒ 10x− 50 = 3x− 1 ⇐⇒ 10x− 3x = −1 + 50 ⇐⇒ 7x = 49 ⇐⇒ x = 7. Portanto, o lucro do grupo A e´ igual ao do grupo B quando forem vendidos 7 unidades do produto. c) Para determinar para quais quantidades, LB e´ menor que LA, temos de resolver a desigualdade LB < LA ⇐⇒ 3x− 1 5 < 2 ( x− 14 3 ) − 2 3 ⇐⇒ 3x− 1 5 < 2x− 10 ⇐⇒ 3x− 1 < 5(2x− 10) ⇐⇒ 3x− 1 < 10x− 50 ⇐⇒ 3x− 10x < −50 + 1 ⇐⇒ −7x < −49 ⇐⇒ x > −49−9 ⇐⇒ x > 7. Portanto, o lucro do grupo B e´ menor que o do grupo A para as quantidades 8, 9, 10, 11, 12 ou 13 unidades do produto. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 5 Questa˜o 4 (2.5 pts) : a) (0.5 pt) Determine o valor da expressa˜o aritme´tica (3)−1 − (27)2/3 b) (1.0 pt) Determine o valor da expressa˜o aritme´tica −2 5 [ 1 + ( 7 2 − 5 ) ÷ 3 4 − 7 2 ] c) (1.0 pt) Simplifique a expressa˜o alge´brica a 2 − b2 (a− b)2 − 1√ a+ √ b + √ a−√b a− b , sabendo que a > 0, b > 0 e a 6= b. Dica: Racionalize a expressa˜o: − 1√ a+ √ b . Soluc¸a˜o: a) (3)−1 − (27)2/3 = 1 3 − 3√(27)2 = 1 3 − 9 = 1 3 − 27 3 = 1− 27 3 = −26 3 b) −2 5 [ 1 + ( 7 2 − 5 ) ÷ 3 4 − 7 2 ] − = −2 5 [ 1 + ( 7 2 − 10 2 ) ÷ 3 4 − 7 2 ] = −2 5 [ 1 + ( −3 2 ) ÷ 3 4 − 7 2 ] = −2 5 [ 1− 3 2 · 4 3 − 7 2 ] = −2 5 1− ✁3 ✁2 · ✁✁✕ 2 4 ✁3 − 7 2 = −2 5 [ 1− 2− 7 2 ] = −2 5 [ 2 2 − 4 2 − 7 2 ] = −2 5 [ −9 2 ] = −✁2 5 [ −9 ✁2 ] = 9 5 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 6 c) a 2 − b2 (a− b)2 − 1√ a+ √ b + √ a−√b a− b = a 2 − b2 (a− b)2 − 1√ a+ √ b + √ a−√b a− b = ✘ ✘✘✘(a− b)(a+ b) (a− b)✁2 − √ a−√b ( √ a+ √ b)( √ a−√b) + √ a−√b a− b = a+ b a− b − √ a− √ b a− b + √ a− √ b a− b = a+ b− (√a− √ b) + √ a− √ b a− b = a+ b−√a+√b+√a−√b a− b = a+ b a− b Boa Prova! Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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