Cálculo numérico - localização gráfica de raízes

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Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Solução de equações:
Motivação 
Localização gráfica de raízes
ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
� Um número real z é um zero da função f(x) ou raiz da 
equação f(x)=0 se f(z)=0.
O que queremos ?
Métodos numéricos para resolver equações da forma
f(x) = 0
f(x) é uma função de uma variável real.
Exemplo: ax2 + bx + c = 0
Solução: Bashkara.
� mas e se o problema for:
h(x)= x6 - 20x5 -110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x -100 =0 
ou f(x)=x+ln(x)
Graficamente
Localização gráfica de raízes
� Teorema 3.1- (Franco): Se uma função contínua f(x) 
assume valores de sinais opostos nos pontos extremos 
do intervalo [a,b], isto é, se f(a).f(b) <0, então existe ao 
menos um ponto x ∋ ]a,b[, tal que f(x) = 0. 
a
f(a)
b
f(b)
x
Exemplos:
f(0.5) < 0
f(1.5) > 0
Existe uma raiz no intervalo ]0.5,1.5[
(de fato, x* = 1 é a única raiz da equação)
)ln()(,),(: xxfof =ℜ→∞
função nunca toca o eixo dos x.
não há raiz real
Exemplos: xexff =ℜ→ℜ )(,:
f(1). f(2) < 0.
f(4). f(5) < 0
De fato: raízes em pi/2 e 3pi/2
Exemplos: )cos()(,)2,0(: xxff =ℜ→pi
Exemplos: f: R → R; f(x) = (x+1)2ex2-2 -1=0
� Problema ? 
� Traçar esse gráfico!
Exemplos: f: R → R; f(x) = (x+1)2ex2-2 -1=0
Qual o valor de x tal que f(x) = 0 ?
14:25
Utilidade
� Podemos fazer uso dos gráficos (traçados na mão ou 
computacionalmente) para ter uma idéia de onde está a 
raiz (localização).
� Em seguida, usamos métodos mais elaborados para 
obter com maior precisão o valor desta raiz 
(refinamento).
Métodos numéricos
Fase I - Localização
� Localizar a raiz num intervalo [a,b];
Fase II - Refinamento
� Escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado, 
melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação 
para a raiz dentro de uma precisão ε prefixada.
Localização (relembrando)
Vale parte 2 no intervalo ]a,b[?
Técnica mais simples isolamento
Voltando ao exemplo : f: R → R; f(x) = 
(x+1)2ex2-2 -1=0
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 4385,5 6,4 -1 -0,9 0,5 65,5 17545,1 Intevalos [-2,-1]
[0,1]
Exercício
� Dada a função: f(x)=x2 – sen(x)
� Pesquisar a existência de raízes reais e isolá-las em 
intervalos.
14:25
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
y = x^2
y = sin(x)
x -3 -2 -1 0 0,1 0,5 0,7 1 2 3
f(x) 9,14112 4,909297 1,841471 0 -0,08983 -0,22943 -0,15422 0,158529 3,090703 8,85888