Banco de Questões Geometria Analítica Estácio

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1a Questão
	
	
	
	Dado o vetor v representado pelo segmento orientado AB, onde A = (2,0) e B = (-3,2), o módulo de v é igual a:
		
	
	25
	 
	29
	 
	√29
	
	Nenhuma das respostas
	
	√5
	
Explicação:
AB = B - A = (-3,2) - (2,0) = (-5,2)
Módulo: {(-5)^2 + (2)^2}^(1/2) = √29
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere o triângulo ABC definido pelos segmentos AB, BC e CA. Se A = (0,0), B = (-5,5) e C = (4,7), qual o perímetro aproximado do triângulo ABC?
		
	 
	24,35
	
	20,05
	
	22,50
	
	28,85
	
	32,54
	
Explicação:
AB = B - A = (-5,5) - (0,0) = (-5,5). Módulo de AB = 5√2
BC = C - B = (4,7) - (-5,5) = (9,2). Módulo de BC = √85
CA = (0,0) - (4,7) = (-4,-7). Módulo de CA = √65
Perímetro: 5√2+√85+√65
Ou seja, aproximadamente 24,35
	1a Questão
	
	
	
	Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante.
		
	
	72
	
	30
	
	90
	 
	97
	
	87
	
Explicação:
c2=a2+b2
c2=a2+b2
c2=722+652
c2=722+652
c2=5184+4225
c2=5184+4225
c=9409
√c=9409
c = 97 km
O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros.
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem.
		
	
	5 u.c
	
	2 u.c
	
	4 u.c
	 
	15 u.c
	
	200 u.c
	
Explicação:
O modulo do vetor T(-12,9) a origem será
(−12−0)2+(9−0)2=15u.c
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4)
		
	
	90°
	 
	0°
	
	 
45°
	 
	60°
	
	30°
	
Explicação:
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26
!!u!!=V3²+2²=V9+4=V13
!!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13
 
Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13  = 1 => A=0°
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro.
		
	
	1 u.c
	 
	6 u.c
	 
	58u.c
	
	10 u.c
	
	7 u.c
	
Explicação:
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro.
Vetor AB = B - A  = (3,-2) - (0,5) =  (3-0, -2 -5) = (3,-7)
Modulo de AB que irá representar a distância = (3−0)2+(−2−5)2= 32+(−7)2=58u.c
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	-8/3
	
	2/5
	 
	3/2
	
	-3/2
	 
	8/3
	
Explicação:
O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
		
	
	-1 e 1/2
	
	1 e 2/3
	
	-1 e 0
	
	2/3 e -2
	 
	0 e 1/2  
	
Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
 
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa correta
		
	 
	Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas.
	
	Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas.
	 
	As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido.
	
	Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção.
	
	Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares.
	
Explicação:
Definições no conteúdo online
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Sendo dados os vetores a=(1,1) , b=(1,0) e c=(0,1), calcule o ângulo entre os vetores a-c e  c-b.
		
	
	120°
	
	270°
	 
	135°
	
	0°
	
	180°
	
Explicação:
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0)
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1)
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1
!!a-c!!=V1²+0²=1
!!c-b!!=V(-1)²+1²=V2
Logo: cos A=(a-c).(c-b) / !!a-c!!.!!c-b!! = -1 / 1.V2 = -V2/2 => Â=135°
	1a Questão
	
	
	
	Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam perpendiculares. 
		
	
	6
	
	9
	
	5
	 
	3
	
	12
	
Explicação:
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto:
U= (5, m) V= (-15, 25)
-75+25m=0
25m=75
m=75/25
m=3
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o valor de a?
		
	
	a=0
	 
	a=3
	
	a=−3
	
	a=32
	
	a=12
	
Explicação:
y=mx+q
r:x=−y.:y=−x
s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3
−1=−a3−3=−aa=3
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.
		
	
	x + y = 3 
	
	x + y - 3 = 0
	
	x + 3y - 6 = 0
	
	x - y = 0
	 
	x + 2y - 6 = 0
	
Explicação:
	 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1).
| x y 1 | x y
| 2 2 1 | 2 2
| 4 1 1 | 4 1
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias.
2x+4y+2-8-x-2y=0
x+2y-6=0
Gabarito letra b
 
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Os ângulos (em graus)  diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z respectivamente são:
		
	
	90 ; 31 ; 121
	 
	90 ; 121 ; 31
	
	121 ; 31 ; 90
	 
	90 ; 90 ; 0
	
	31 ; 90 ; 121
	
Explicação:
Os ângulos diretores são dados por:
cos x = x|v| ⇒ cos x = 0√34 ⇒ x = 90º
cos y = y|v| ⇒ cos y = −3√34 ⇒ y = 120,96°
cos z = z|v| ⇒ cos z = 5√34 ⇒ z = 30,96º
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores no plano R2, u = 2 i - 5 j e v = i + j,determine o vetor o vetor 3 u - 2 v
		
	 
	4 i - 17 j
	
	9 i  + 4 j
	
	17 i + 6 j
	
	3 i - 18 j
	 
	12  i - 8 j  
	
Explicação:
3u ¿ 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente:
		
	
	-2, 14 e 20
	
	-20, 2 e -14
	 
	2, -14 e -20
	
	20, 14 e 2
	
	-14, 2 e -20
	
Explicação:
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8)
(0,-9,-12) - (-2,5,8)
(2,-14,-20)
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2).
		
	
	α=44°
	 
	α=45°
	
	α=48°
	
	α=46°
	
	α=47°
	
Explicação:
I)|v|=√22+22=√8=2√2|u|=√02+22=√4=2II)|u|.|v|=2.2√2=4√2
III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=44√2cosα=1√2cosα=√22α=45°
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles
		
	 
	45°
	
	48°49°
	
	46°
	
	47°
	
Explicação:
cosx=(2,2).(0,2)2√8=42√8
cosx=2√8
x=π4=45°
	
	
		Um pesquisador não conhece as coordenadas de P(m, 1, n) mas sabe que P pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1). Podemos definir que P é:
	
	
	
	P (3,4,5)
	
	
	P(0,1,3)
	
	
	P (2,1,9)
	
	
	P (3,3,1)
	
	
	P (4,2,1)
	
Explicação:
O ponto P(m, 1,n) pertence a reta que passa por A(3,-1,4) e B (4,-3,-1) , Determine P
Temos o vetor AB = B - A = (4,-3,-1) - (3,-1,4)= (1,-2,-5)
Com o vetor AB escrevemos a reta:  t . AB
Como P pertence a reta entao AP = P - A = ( m -3,1 - (-1), n - 4) = (m - 3, 2, n - 4)
Como AP  é paralelo a AB entao AP = t AB
Entao temos o sistema:
m -3 = 1 t
1+1 = - 2 t
n- 4 = -5 t
Portanto -2 t = 2 entao t = -1
m - 3 = 1 (-1)  entao m = 2
n - 4 = - 5 (-1) entao n = 9
P ( 2,1,9)
	
	
	
	
		
	
		2.
		É importante ressaltar que a equação vetorial da reta no R³ não é única. A equação vetorial no R³ da reta que passa pelo ponto P(xp, yp, zp) e tem a direção do vetor v é dada por (x, y, z) = (xp, yp, zp) + t. (xv, yv, zv). Com base nessas informações, determine a equação vetorial da reta no R³ que passe pelo ponto P (1, 2, 3) e tenha a direção do vetor v = (1, 2, 4).
	
	
	
	(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(2, 2, 4)
	
	
	(x, y, z) = (1, 2, -3) + t.(1, -2, 4)
	
	
	(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4)
	
	
	(x, y, z) = (0, 2, 3) + t.(1, 2, -4)
	
	
	(x, y, z) = (1, 0, 3) + t.(1, 2, 0)
	
Explicação:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t.(1, 2, 4)
	
	
	
	
		
	
		3.
		Determinar o valor de m para que as retas  r:  y=mx-5     e     s:   x=-2+t       sejam ortogonais.
                                                                          z=-3x                     y=4-2t
                                                                                                        z=5t
	
	
	
	-15/2
	
	
	13/2
	
	
	-9/2
	
	
	7/2
	
	
	-11/2
	
Explicação:
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente u=(1,m,-3) e v=(1,-2,5)
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter: u.v=0
Daí: (1,m,-3).(1,-2,5)=0 -> 1-2m-15=0 -> -2m=15 -> m=-15/2
	
	
	
	
		
	
		4.
		A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por:
	
	
	
	-68x + 19y + 122 = 0
	
	
	-69x + 20y + 123 = 0 
	
	
	70x - 21y - 124 = 0
	
	
	-69x + 21y - 122 = 0
	
	
	-70x + 19y + 123 = 0
	
Explicação:
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida
 
	
	
	
	
		
	
		5.
		Obter a equação geral da reta representada pelas equações paramétricas:
x = t + 9
y = t - 1
	
	
	
	x-y-10=0
	
	
	2x-y+20=0
	
	
	x+y-10=0
	
	
	x-y+10= 0
	
	
	x-2y-20=0
	
Explicação:
Isolando o parâmetro t:
x = t + 9
t = x - 9
 x = t + 9
            x = (y + 1) + 9
            x = y + 1 + 9
            x = y + 10
              ←
x - y - 10 = 0
Equação Geral da Reta: x - y + 10 = 0
	
	
	
	
		
	
		6.
		Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(4,2) e tem inclinação de 45° com eixo das abscissas.
	
	
	
	y = x - 2
	
	
	y = - x - 2
	
	
	y = x - 1
	
	
	y = x + 2
	
	
	y = - x - 1
	
Explicação:
y = ax + b (equação geral da reta), onde a = coeficiente angular = tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas
No exercício a = tg 45º = 1
y = x + b
Como P (4, 2) pertence a reta,
2 = 4 + b -> b = -2
y = x - 2
	
	
	
	
		
	
		7.
		Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que  A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que passa pelos pontos.
	
	
	
	x + 55 y + 2 = 0
	
	
	x - 7 y + 3 = 0
	
	
	3x + 2y + 2= 0
	
	
	7 x + 3y + 1 = 0
	
	
	9x - 4y + 41 = 0
	
Explicação:
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que  A(-1, 8) e B(-5, -1) defina a equação geral da reta que passa pelos pontos.
y - y0 = m (x - x0)
m =(8-(-1) )/ (-1 -(-5)) = 9/4
y - (-1) = 9/4 (x - (-5))
y + 1 = 9/4 (x+5)
y + 1 = 9/4 x + (9/4) 5
4y + 4 = 9 x + 45
-4y + 9x - 4 + 45 = 0
9x - 4y + 41 = 0
 
 
	
	
	
	
		
	
		8.
		O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual a:
	
	
	
	65,66o
	
	
	22,56o
	
	
	12,77o
	
	
	56,31o
	
	
	90,05o
	
Explicação:
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula:
cos x = (v . u) / (v . u)
Onde: v e u são os módulos dos vetores
(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12
v = \(\sqrt{13}\)
u = 6
	
	
	
		
	
		1.
		O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z
x = - 3 + z
y = - 1 + z 
será:
	
	
	
	v = (1,1,1)
	
	
	v = (-2,1,0)
	
	
	v = (0,0,0)
	
	
	v = (-1,0,1)
	
	
	v = (-3,2,-1)
	
Explicação:
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z:
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0)
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1)
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1)
 
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dado o plano \(\pi\) determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de \(\pi\) é corretamente representado por:
	
	
	
	x = -2 + 3h + t
y = 2h - 2t
z = -2 + 6h + 8t
	
	
	x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t
	
	
	x =3h + t
y = 2h + t
z = -2 + 6h + 8t
	
	
	x = 3h + t
y = 2h - 2t
z = 6h + 8t
	
	
	x = 2 + 3h + t
y = - 2h - 2t
z = -2 + h + 8t
	
Explicação:
Determinamos os vetores diretores do plano:
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6)
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8)
Logo, as equações paramétricas serão:
x = -2 + 3h + t
y = 2h - 2t
z = -2 + 6h + 8t
	
	
	
	
		
	
		3.
		A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o valor de a:
	
	
	
	a = 3/2
	
	
	a = 3
	
	
	a = 1/2
	
	
	a = 0
	
	
	a = - 3
	
Explicação:
x + y = 0 e ax - 3y = 0
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3
	
	
	
	
		
	
		4.
		Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por:
	
	
	
	P(0,0,0)
	
	
	P(-3,-6,-3)
	
	
	P(-6,-3,3)
	
	
	P(-6,0,-3)
	
	
	P(3,-6,-3)
	
Explicação:
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2)
Para t = -3
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3)
	
	
	
	
		
	
		5.
		As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Assim sendo, o valor de a será:
	
	
	
	a = -1
	
	
	a = -4
	
	
	a = 1
	
	
	a = 0
	
	
	a = 4
	
Explicação:
Retas perpendiculares apresentam o produto abaixo igual a zero:
ax + by + c = 0
a'x + b'y + c' = 0
(a,b) . (a',b') = 0 
a.a' + b.b' = 0
	
	
	
	
		
	
		6.
		A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-1,2,-1) é:
	
	
	
	r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1)
	
	
	r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3)
	
	
	r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3)
	
	
	r(x,y,z) = t(-1,2,-1)
	
	
	r(x,y,z) = (0,-1,3)
	
Explicação:
A equação vetorialda reta é dada por:
r(x,yz,) = A + tv
	
	
	
	
		
	
		7.
		A equação geral do plano \(\pi\) que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por:
	
	
	
	3x - 4y + 5z - 11 = 0
	
	
	2x - 4y - 3z - 9 = 0
	
	
	- 2x - 3y - 4z - 9 = 0
	
	
	2x - 3y - 4z + 9 = 0
	
	
	x + y + z = 0
	
Explicação:
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4)
Assim: \(\pi\): -2x + 3y + 4z + d = 0
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9
Assim: \(\pi\): -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ \(\pi\): 2x - 3y - 4z + 9 = 0
	
	
	
	
		
	
		8.
		A equação geral do plano \(\delta\) que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano \(\pi\): 2x + 3y - 5z + 11 = 0 é dada por:
	
	
	
	2x + 3y - 5z + 7 = 0
	
	
	2x - 3y - 5z - 7 = 0
	
	
	\(x \over 3\)+ 3y - z + 11 = 0
	
	
	 - 2x + 5y - z + 7 = 0
	
	
	x + y + z - 11 = 0
	
Explicação:
Pela equação geral do plano \(\pi\) podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5).
Como os planos \(\delta\) e \(\pi\) são paralelos:
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10)
Assim: \(\delta\): 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence a \(\delta\), então:
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14
Assim: \(\delta\): 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ \(\delta\): 2x + 3y - 5z + 7 = 0
	
		Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será:
	
	
	
	O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5)
	
	
	O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2)
	
	
	O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4)
	
	
	O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0)
	
	
	O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4)
	
Explicação:
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-2) tem como distância o valor 3. Portanto P será:
\(\sqrt{(0-(-1))^2 + (0-2)^2 + (z+2)^2} = 3 \,\, entao \,\, z^2 + 4z + 9 =9\)
z = - 4  e  z = 0
Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4)
	
	
	
	
		
	
		2.
		Considere o triângulo ABC definido pelos segmentos AB, BC e CA. Se A = (0,0), B = (-5,5) e C = (4,7), qual o perímetro aproximado do triângulo ABC?
	
	
	
	20,05
	
	
	28,85
	
	
	32,54
	
	
	24,35
	
	
	22,50
	
Explicação:
AB = B - A = (-5,5) - (0,0) = (-5,5). Módulo de AB = \(5\sqrt{2}\)
BC = C - B = (4,7) - (-5,5) = (9,2). Módulo de BC = \(\sqrt{85}\)
CA = (0,0) - (4,7) = (-4,-7). Módulo de CA = \(\sqrt{65}\)
Perímetro: \(5\sqrt{2}+\sqrt{85}+\sqrt{65}\)
Ou seja, aproximadamente 24,35
 
	
	
	
	
		
	
		3.
		Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
	
	
	
	2/5
	
	
	3/2
	
	
	-8/3
	
	
	8/3
	
	
	-3/2
	
Explicação:
O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	
	
		
	
		4.
		Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante.
	
	
	
	72
	
	
	90
	
	
	97
	
	
	87
	
	
	30
	
Explicação:
c2=a2+b2
c2=a2+b2
c2=722+652
c2=722+652
c2=5184+4225
c2=5184+4225
c=9409
√c=9409
c = 97 km
O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros.
	
	
	
	
		
	
		5.
		O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (3,-2) até o ponto B (-3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro.
	
	
	
	6 u. c
	
	
	10 u.c
	
	
	8 u. c
	
	
	7 u. c
	
	
	1 u. c
	
Explicação:
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (3,-2) até o ponto B (-3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro.
\(\sqrt{ (-3-3)^2+ (-2-(-2))^2} = \sqrt{ (-6)^2+ 0^2} = 6 u.c\)
	
	
	
	
		
	
		6.
		Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
	
	
	
	-1 e 1/2
	
	
	-1 e 0
	
	
	2/3 e -2
	
	
	1 e 2/3
	
	
	0 e 1/2  
	
Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
 
	
	
	
	
		
	
		7.
		O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro.
	
	
	
	\(\sqrt{58} u.c\)
	
	
	1 u.c
	
	
	10 u.c
	
	
	6 u.c
	
	
	7 u.c
	
Explicação:
O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (0,5) até o ponto B (3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro.
Vetor AB = B - A  = (3,-2) - (0,5) =  (3-0, -2 -5) = (3,-7)
Modulo de AB que irá representar a distância = \(\sqrt{(3-0)^2 + (-2-5)^2}\)= \(\sqrt{3^2 +(-7)^2} = \sqrt{58} u. c\)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Sendo dados os vetores a=(1,1) , b=(1,0) e c=(0,1), calcule o ângulo entre os vetores a-c e  c-b.
	
	
	
	120°
	
	
	0°
	
	
	135°
	
	
	180°
	
	
	270°
	
Explicação:
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0)
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1)
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1
!!a-c!!=V1²+0²=1
!!c-b!!=V(-1)²+1²=V2
Logo: cos A=(a-c).(c-b) / !!a-c!!.!!c-b!! = -1 / 1.V2 = -V2/2 => Â=135°
	
		Sejam os vetores v = (3,2), s = (0,5) e t = (-3,-3). O resultado correto da expressão 3v - 5s + t é dado por:
	
	
	
	(-22,-6)
	
	
	(-6,-22)
	
	
	(6,-22)
	
	
	Nenhuma das alternativas
	
	
	(22,-6)
	
Explicação:
3 . (3,2) - 5 . (0,5) + (-3,-3)
(9,6) + (0,-25) + (-3,-3)
(6,-22)
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles
	
	
	
	45°
	
	
	49°
	
	
	47°
	
	
	48°
	
	
	46°
	
Explicação:
\(cosx = \frac{(2,2) . (0,2)}{2\sqrt[]{8}} = \frac{4}{2\sqrt[]{8}}\)
\(cosx = \frac{2}{\sqrt[]{8}} \)
\(x = \frac{π}{4} = 45°\)
	
	
	
	
		
	
		3.
		Se u = (x,5) e v = (-2,10) são vetores paralelos, então o valor de x é:
	
	
	
	x = -1
	
	
	x = 25
	
	
	x = -5
	
	
	x = 1
	
	
	x = 2
	
Explicação:
Os vetores são proporcionais e não podem se cruzar (paralelos), logo:
Se em \(\vec{v}\), \(y=10\)
e em \(\vec{u}\), \(y=5\)
(temos aqui uma divisão por 2)
Logo,
Se em \(\vec{v}\), \(x=-2\)
então em \(\vec{u}\), \(x=-1\)
 
	
	
	
	
		
	
		4.
		Os ângulos (em graus)  diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z respectivamente são:
	
	
	
	121 ; 31 ; 90
	
	
	90 ; 31 ; 121
	
	
	90 ; 90 ; 0
	
	
	90 ; 121 ; 31
	
	
	31 ; 90 ; 121
	
Explicação:
Os ângulos diretores são dados por:
cos x = \(x \over |v|\) ⇒ cos x = \(0 \over \sqrt{34}\) ⇒ x = 90º
cos y = \(y \over |v|\) ⇒ cos y = \(-3 \over \sqrt{34}\) ⇒ y = 120,96°
cos z = \(z \over |v|\) ⇒ cos z = \(5\over \sqrt{34}\) ⇒ z = 30,96º5.
		Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente:
	
	
	
	-20, 2 e -14
	
	
	2, -14 e -20
	
	
	20, 14 e 2
	
	
	-14, 2 e -20
	
	
	-2, 14 e 20
	
Explicação:
3 . (0,-3,-4) - (-2,5,8)
(0,-9,-12) - (-2,5,8)
(2,-14,-20)
	
	
	
	
		
	
		6.
		Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e v=(1,-1,0) encontramos:
	
	
	
	9V17
	
	
	2V23
	
	
	6V22
	
	
	5V21
	
	
	7V19
	
Explicação:
Chamando de A  a área do paralelogramo, temos que:  A= !!(2u)x(-3v)!!
2u=(-4,0,6)
-3v=(-3,3,0)
                        i          j         k
(2u)x(-3v) =    -4        0        6    =     -18i -18j - 12k  =  (-18 , -18 , -12)
                       -3       3         0
 
Daí:  A  =  !!(-18 , -18 , -12)!! =  V324+324+144  =  V792  =  6V22
 
	
	
	
	
		
	
		7.
		Qual o valor da soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 12 e 5 unidade? 
	
	
	
	\(s = 12 u\)
	
	
	\(s = 13 u\)
	
	
	\(s = 9 u\)
	
	
	\(s = 10 u\)
	
	
	\(s = 11 u\)
	
Explicação:
\(12^2 + 5^2 = |s|^2\)
\(s = \sqrt{164}\)
\(s = 13 u\)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam perpendiculares. 
	
	
	
	9
	
	
	5
	
	
	6
	
	
	3
	
	
	12
	
Explicação:
A para dois vetores sejam perpendiculares é que seu produto escalar seja nulo, portanto:
U= (5, m) V= (-15, 25)
-75+25m=0
25m=75
m=75/25
m=3
	
	
		Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
	
	
	
	existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B.
	
	
	existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.
	
	
	 existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3.
	
	
	existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
	
	
	existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3.
	
Explicação:
Propriedades de matrizes: Para que AB e BA possam existir, então:
(3 x 4) x (4 x 3) = 3 x 3
(4 x 3) x (3 x 4) = 4 x 4
	
	
	
	
		
	
		2.
		Determine a equação da hipérbole de focos F(6,0) e F(-6,0) e de excentricidade igual a \(\frac{3}{2}\)
	
	
	
	\(4x^2-y^2=80\)
	
	
	\(4x^2+5y^2=80\)
	
	
	\(5x^2+4y^2=80\)
	
	
	\(5x^2-4y^2=80\)
	
	
	\(4x^2-5y^2=80\)
	
Explicação:
Pelos dados do problema, temos:
\(c=6\)                           \(e=\frac{3}{2}\)   ⇒   \(\frac{c}{a} =\frac{3}{2}\)   ⇒   \(a=\frac{2c}{3}=\frac{2.6}{3}=4\)
\(c^2=a^2+b^2 \)   ⇒   \(36=16+b^2\)   ⇒   \(b^2=20\)
Como os focos estão sobre o eixo Ox e O(0,0), vem:
\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)   ⇒   \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{20}=1\)   ⇒   \(5x^2-4y^2=80\)
	
	
	
	
		
	
		3.
		Determine a equação da hipérbole de focos F1(5,0) e F2(-5,0) e de vértices A1(3,0) e A2(-3,0).
	
	
	
	\(16x^2-y^2=144\)
	
	
	\(16x^2-9y^2=144\)
	
	
	\(9x^2+y^2=144\)
	
	
	\(9x^2-16y^2=144\)
	
	
	\(9x^2-y^2=144\)
	
Explicação:
Pelos dados do problema, temos:
c = 5
a = 3
c2 = a2 + b2   ⇒   25 = 9 + b2   ⇒   b2 = 16
Como os focos estão sobre o eixo Ox, teremos:
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1\)   ⇒   \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)   ⇒   \(16x^2-9y^2=144\)
	
	
	
	
		
	
		4.
		Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0.
	
	
	
	(3,4) e 6
	
	
	(-1,3) e 5
	
	
	(3,-1) e 5
	
	
	(3,-2) e 4
	
	
	(2,-3) e 4 
	
Explicação:
x²+y²-4x+6y-3=0
 
-2a=-4 -> a=2
-2b=6 -> b=-3  => O(2,-3)
 
a²+b²-r²=c -> 2²+(-3)³-r²=-3 -> r=4
	
	
	
	
		
	
		5.
		Determine o centro e o raio da circunferência de equação  x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0.
	
	
	
	(-1,3) e 5 
	
	
	(3,-2) e 4
	
	
	(3,-1) e 5
	
	
	(3,4) e 6
	
	
	(2,-3) e 4
	
Explicação:
Temos que:
-2a=-4 -> a=2
-2b=6 -> b=-3  => o centro é O(2,-3)
a²+b²-r² = -3 -> 2²+(-3)²-r²=-3 -> r=4
	
	
	
	
		
	
		6.
		Determine os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação \(4x^2 +25y^2=100\)
	
	
	
	Os focos são os pontos F1(\(\sqrt{-21}\),0) e F2(\(\sqrt{21}\),0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0).
	
	
	Os focos são os pontos F1(\(\sqrt{21}\),0) e F2(\(\sqrt{-21}\),0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0).
	
	
	Os focos são os pontos F1(\(\sqrt{-21}\),0) e F2(\(\sqrt{21}\),0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(5,0).
	
	
	Os focos são os pontos F1(0,\(\sqrt{21}\)) e F2(0,\(\sqrt{-21}\)) e as extremidades do eixo maior são A1(0,5) e A2(5,0).
	
	
	Os focos são os pontos F1(\(\sqrt{-21}\),0) e F2(\(\sqrt{21}\),0) e as extremidades do eixo maior são A1(0,5) e A2(5,0).
	
Explicação:
\(4x^2 +25y^2=100\)  ⇒  \(\frac{4x^2}{100} +\frac{25y^2}{100}=\frac{100}{100}\)  ⇒  \(\frac{x^2}{25} +\frac{y^2}{4} =1\)
Como 25 > 4, o eixo maior está no eixo Ox. Então:
a2 = 25 ⇒ a = 5
b2 = 4 ⇒ b = 2
a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = 4 + c2 ⇒ c2 = 21 ⇒ \(c=\sqrt{21}\)
Logo, os focos são os pontos F1(\(\sqrt{21}\),0) e F2(\(\sqrt{-21}\),0) e as extremidades do eixo maior são A1(5,0) e A2(-5,0).
	
	
	
	
		
	
		7.
		Uma elipse tem os focos em F1(0,3) e F2(0,-3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse.
	
	
	
	\(x^2 + y^2 = 1\)
	
	
	\(x^2 + y^2 = 10\)
	
	
	\(10x^2 = 10\)
	
	
	\(10x^2 + y^2 = 1\)
	
	
	\(10x^2 + y^2 = 10\)
	
Explicação:
Pelos dados do problema, temos que V(0,0), c = 3, 2b = 2 ⇒ b = 1.
\(a^2 = b^2 +c^2 \)  ⇒  \(a^2 = 1 + 9 = 10\)
Como os focos estão localizados no eixo y e o vértice é V(0,0), temos:
\(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\)  ⇒  \(\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{10} = 1\)
\(10x^2 + y^2 = 10\)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Determine a equação de uma das assíntotas à hipérbole x²/9 - y²/36 = 1.
	
	
	
	y=2x
	
	
	y=3x-2
	
	
	y=-3x
	
	
	y=x
	
	
	y=3x
	
Explicação:
Temos:   
x²/9 - y²/36 = 1  ->  a²=9   -> a=3
                               b²=36 -> b=6
 
                      x         y         1
        Daí:       3          6        1   =   0   -> 6x-3y-18+18 --3y + 6x = 0  ->  12x - 6y  =  0   ->  6y = 12x  ->  y =2x
                     -3         -6       1
	
	
		A matriz A = \(\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&-1\\4&5&-1\end{bmatrix}\) e a matriz B = ​\(\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\8&2\end{bmatrix}\)​ foram multiplicadas. A matriz resultante dessa multiplicação será:
	
	
	
	​\(\begin{bmatrix}0&-1\\-8&3\\4&-7\end{bmatrix}\)​
	
	
	​\(\begin{bmatrix}-1&-1\\-8&-3\\-4&7\end{bmatrix}\)​
	
	
	​\(\begin{bmatrix}-1\\-8\\-4\end{bmatrix}\)​
	
	
	​\(\begin{bmatrix}-8&-3\\-4&7\end{bmatrix}\)​
	
	
	​\(\begin{bmatrix}1&-1\\8&-3\\4&7\end{bmatrix}\)​
	
Explicação:
A matriz resultante será do tipo 3 x 2
\(\[\begin{matrix}-1&-1\\-8&-3\\-4&7\end{matrix}\]\)
	
	
	
	
		
	
		2.
		Seja a matriz A = \(\begin{bmatrix}1&0&0\\1&3&6\\-1&0&8\end{bmatrix}\)
A matriz B tal que B = A2 é corretamente expressa por:
	
	
	
	​\(\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&9&66\\-9&0&64\end{bmatrix}\)​
	
	
	\(\begin{bmatrix}-2&1&-1\\2&-3&26\\-9&2&-4\end{bmatrix}\)
	
	
	​\(\begin{bmatrix}-1&0&0\\-2&5&66\\-9&0&-64\end{bmatrix}\)​
	
	
	​\(\begin{bmatrix}1&1&1\\-2&9&66\\-9&0&64\end{bmatrix}\)​
	
	
	​\(\begin{bmatrix}1&0&0\\2&9&66\\9&0&64\end{bmatrix}\)​Explicação:
A matriz B será o produto de A x A, o que dará uma matriz 3 x 3
B = \(\[\begin{matrix}1&0&0\\-2&9&66\\-9&0&64\end{matrix}\]\)
	
	
	
	
		
	
		3.
		Determine x, y e z para que se tenha:
\(\begin{pmatrix} x+y & 2 \\ 4 & x-y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & z \\ z² & 1 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	
	x = 5, y = 3 e z = 2
	
	
	x = 4, y = 3 e z = 2
	
	
	x = 4, y = 3 e z = 1
	
	
	x = 3, y = 2 e z = 1
	
	
	x = 5, y = 4 e z = 3
	
Explicação:
Podemos igualar as incógnitas aos seus correspondentes:
z² = 4
z = 2
x - y = 1            x + y = 7
Quais números em que a subtração entre eles seja 1 e a soma 7?
3 e 4
logo,
x = 4   e   y = 3
	
	
	
	
		
	
		4.
		Represente a matriz A = (aij)3x2 definida por :  aij = 0    se i igual a j
                                                                            (-1)i+j  se i diferente de j
	
	
	
	         0       -1
A =   -1        0
          1       -1
	
	
	         0       -1
A =   1        0
       -1       -1
	
	
	         0      1
A =   3      -4
        -2      -1
	
	
	         2       -1
A =   -3        1
          1       -1
	
	
	         0      1
A =   3      -2
        1       -1
	
Explicação:
Temos que a matriz A é do tipo:
        a11       a12
A =  a21       a22
        a31       a32
Daí:   a11 = 0                                                 a21 = (-1)2+1=(-1)3=-1                                      a31  = (-1)3+1=(-1)3 = -1
        a12 = (-1)1+2 = (-1)3 = -1                     a22 = 0                                                             a32  = (-1)3+2 = (-1)5 = -1
 
Então a matriz será:    
            0         -1
A  =     -1        0
            1         -1
	
	
	
	
		
	
		5.
		 Um conjunto de dados aleatórios foi organizado conforme a Tabela abaixo:
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
Se você imaginar tal Tabela como uma matriz 3 x 3, então, o determinante de tal matriz será:
	
	
	
	30
	
	
	18
	
	
	0
	
	
	- 9
	
	
	- 12
	
Explicação:
Aplicando a técnica de redução de ordem da matriz ficamos com 
	-3
	-6
	-6
	-12
 Como a segunda coluna é a primeira multiplicada por 2, então, det = Zero
	
	
	
	
		
	
		6.
		                                            1                  -4                       -2
Dadas as matrizes     A  =     -5   ,     B  =    0       e     C =     8          ,   determine a soma dos elementos da matriz  X  tal que:
                                            2                    3                      -6
 
A - 2B +3C - X = 0.
	
	
	
	13
	
	
	16
	
	
	11
	
	
	12
	
	
	15
	
Explicação:
Temos que: 
                                           1                 -8               -6                             4
X = A - 2B +3C  ->   X  =    -5       -          0       +       24        ->      X  =   19
                                          2                  -6              -18                           -10
 
Daí, a soma dos elementos da matriz é:    4 + 19 - 10 = 13
	
	
	
	
		
	
		7.
		Uma tabela de valores foi organizada conforme abaixo:
	1
	-1
	3
	0
	2
	-5
	3
	7
	9
Se você pensar nessa Tabela como uma matriz 3 x 3, qual o valor do elemento aij para i = 1 e j = 3 ?
	
	
	
	1
	
	
	0
	
	
	3
	
	
	2
	
	
	9
	
Explicação:
aij = 3, pois i = 1 (primeira linha) e j = 3 (terceira coluna)
	
	
	
	
		
	
		8.
		Dadas as matrizes \(A = \begin{pmatrix} 1\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} -4\\ 0\\ 3 \end{pmatrix}\)  e \(C = \begin{pmatrix} -2\\ 8\\ -6 \end{pmatrix}\) ,   determine a soma dos elementos da matriz X tal que  A - 2B + 3C - X = 0.           
 
 
	
	
	
	5
	
	
	-6
	
	
	1
	
	
	-2
	
	
	0
	
Explicação:
A - 2B + 3C - X = 0
X =\(\begin{pmatrix} 1\\ -5\\ 2 \end{pmatrix}\)- \( \begin{pmatrix} -8\\ 0\\ 6 \end{pmatrix}\) + \(\begin{pmatrix} -6\\ 24\\ -18 \end{pmatrix}\)
X = \( \begin{pmatrix} 3\\ 19\\ -22 \end{pmatrix}\)
Daí, a soma dos elementos da matriz é:
3 + 19 - 22 = 0
		São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = ¿ 4i ¿ 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C.
	
	
	
	\(C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	\(C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	\(C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	\(C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	\(C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}\)
	
Explicação:
	
	
	
	
		
	
		2.
		Dadas as matrizes  ,    e   , determine a matriz D resultante da operação A + B ¿ C.
	
	
	
	\(D = \begin{pmatrix} -8 & -9 & -4 \\ -2 & 4 & 16\\ 5& 5 &5 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	\(D = \begin{pmatrix} -8 & -5 & 1 \\ 2 & -9 & 5\\ -8& 5 &16 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	\(D = \begin{pmatrix} 5 & -9 & 5 \\ -6 & 8 & 10\\ -8& 5 &2 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	\(D = \begin{pmatrix} 16 & -9 & -8 \\ 4& 10 & 2\\ 5& 5 &10 \\ \end{pmatrix}\)
	
	
	\(D = \begin{pmatrix} -8 & -9 & 16 \\ 2 & 4 & 10\\ 10& 5 &5 \\ \end{pmatrix}\)
	
Explicação:
	
	
	
	
		
	
		3.
		Seja A = (aij)3x3, com aij = i + j, e B = (bij)3x3, com bij = j - i, determine C3,3, da matriz C, tal que C = A.B.
	
	
	
	15
	
	
	11
	
	
	8
	
	
	18
	
	
	13
	
Explicação:
Matriz A: (aij) 3x3, regra de formação: aij = i+j
Matriz B: (bij) 3x3, regra de formação: bij = j-i
A: | 2  3  4 |      B: | 0  1  2 |
    | 3  4  5 |          | -1  0 1 |
    | 4  5  6 |          | -2 -1 0 | 
Matriz C é o produto entre a A e a B. Logo
 
c31= (4x0)+(5x-1)+(6x-2) = 0 -5 -12 = -17
c32= (4x1)+(5x0)+ (6x-1) = 4+0 -6 = -2
c33= (4x2)+(5x1)+(6x0) = 8 + 5 + 0 = 13
LOGO O VALOR É 13
	
	
	
	
		
	
		4.
		Considere a matriz quadrada  M = (mij)  de 2ª ordem definida por   mij    =     sen   (π/2i-j)   se   i  igual a  j
                                                                                                                 cos   (π/i+j)    se   i  diferente de j. 
O valor do determinante da matriz M é igual a:
	
	
	
	-1/3
	
	
	0
	
	
	-1/4
	
	
	-1/2
	
	
	-1
	
Explicação:
Temos que:  M   =    m11         m12         =         sen (π/2.1-1)         cos (π/1+2)         =        sen π                cos π/3       =       0        1/2
                               m21         m22                    cos (π/2+1)           sen (π/2.2-2)                  cos π/3             sen π/2                1/2       1
 
Daí o determinante da matriz será:  det M =     0          1/2     =   -1/4
                                                                    1/2           1
	
	
	
	
		
	
		5.
		                                                2        0      1
Se  p  =  2      1     e       q  =   -3       1       2        então   pq - p²    é  um número.
              3     -2                       4        1       4  
	
	
	
	primo
	
	
	múltiplo de 7
	
	
	0
	
	
	ímpar
	
	
	divisor de 144
	
Explicação:
Temos:  p =   2      1       =    -4 -3   = -7                                2           0          1
                     3      -2                                           e   q    =    -3          1          2         =  8 - 3 - 4 - 4  =  -34          1         4                                                                                                                                                                                                
Logo: pq - p²  =   (-7).(-3) - (-3)²  =  21 - 9  = 12
	
	
	
	
		
	
		6.
		O elemento c22 da matriz C = AB, onde A =  e B = :
	
	
	
	22
	
	
	0
	
	
	2
	
	
	6
	
	
	11
	
Explicação:
Não é necessário realizar toda a multiplicação entre as matrizes A e B. O elemento C22 é formado pela soma dos produtos dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos da 2ª coluna da matriz B, isto é:
C22 = A21 . B12 + A22 . B22 + A23 . B32 + A24 . B42
C22 = 5 . 1 + 6 . 1 + 7 . 0 + 8 . 0
C22 = 5 + 6
C22 = 11
Letra D
	
	
	
	
		
	
		7.
		A matriz A = \(\begin{bmatrix}1&k&-3\\0&-3&5\\0&2&2\end{bmatrix}\) somente irá apresentar a matriz inversa A-1 se, e somente se, a variável kfor:
	
	
	
	k = 0
	
	
	Para qualquer valor de k, k pertence ao conjunto de números reais R, A será invertível.
	
	
	k = 1
	
	
	k > 0
	
	
	k < 0
	
Explicação:
Aplicando a regra de Sarrus para calcular o determinante da matriz A, 3 x 3, você encontrará o determinante de A igual a -16. Logo, det A independe do parâmetro k e será sempre diferente de zero.  
	
	
	
	
		
	
		8.
		Os valores de x tal que det A = 0 são:
Dado: A = \(\[\begin{matrix}1&x&x\\2&2x&1\\3&x+1&1\end{matrix}\]\)
	
	
	
	x = - 1/2 ou x = 1/2
	
	
	x = 1/2 ou x = -1
	
	
	x = 0 ou x = 1/2
	
	
	x = 0 ou x = 1
	
	
	x = - 1/2 ou x = 2
	
Explicação:
Utilizando a regra de Sarrus para a matriz 3 x 3, det A será:
\(x^2-x+\)\(1\over4\) = 0 ⇒ x1 = \(-1\over2\)  ou  x2 = \(1\over2\) 
	
	
		Determine o cofator do elemento b22 na matriz B:
\(B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 7 \\ 1 & 9 & 3 & 5 \\ 4 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}\)
	
	
	
	87
	
	
	91
	
	
	83
	
	
	85
	
	
	89
	
Explicação:
Eliminando a 2ª linha e a 2ª coluna de B, obtemos:
B22 = (-1)2+2 . \( \begin{pmatrix} 3 & 2 & 7 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}\)  (nesta etapa calcule o determinante normalmente e depois multiplique para achar o cofator)
B22 = 1 . 89
B22 = 89
	
	
	
	
		
	
		2.
		Calcule o valor do determinante:
3      2     1
1      2     5
1     -1     0
	
	
	
	24
	
	
	23
	
	
	25
	
	
	26
	
	
	22
	
Explicação:
Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante em matriz de ordem 3, copiando as duas primeiras colunas ao lado da terceira.
Formando uma matriz A3x5,  e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte forma:
D = (3 . 2 . 0) + (2 . 5 . 1) - (1 . 1 . -1) - (1 . 2 . 1) + (-1 . 5 . 3) + (0 . 1 . 2)
D = 0 +10 -1 -2 +15 - 0
D = 25 - 3
D = 22
	
	
	
	
		
	
		3.
		Uma bolsa contém 20 moedas, distribuídas entre as de 0,05,  0,10 e 0,25 centavos, totalizando R$ 3,25. Sabendo que a quantidade de moedas de 0,05 centavos é a mesma das moedas de 0,10 centavos, quantas moedas de 0,25 centavos há nessa bolsa?
	
	
	
	9
	
	
	10
	
	
	12
	
	
	6
	
	
	8
	
Explicação:
Organizando os dados como um sistema de equações:
x + y + z = 20                                            2x + z = 20
0,05 . x + 0,10 . y + 0,25 . z = 3,25   ⇒    15x + 25z = 325
x = y
Resolvendo o problema: x = y = 5 ⇒ z = 10
	
	
	
	
		
	
		4.
		Qual o cofator do elemento a13 na matriz abaixo?
 
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \\ 7 & 6 & 8 \end{pmatrix}\)
 
	
	
	
	4
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	2
	
Explicação:
Como i = 1 e j = 3, eliminamos a 1ª linha e a 3ª coluna da matriz A, e assim temos:
A13 = (-1)1+3 . \( \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 6 \end{pmatrix}\)
A13 = 1 . (24 - 21) = 3
 
Fórmula do cofator:
Aij = (-1)i-j . Dij
	
	
	
	
		
	
		5.
		Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes ​\(\begin{bmatrix}3&4&5\\2&k&4\\1&-2&2\end{bmatrix}\)​. Uma condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única solução é:
	
	
	
	k diferente de zero
	
	
	k diferente de 4
	
	
	k diferente de \(12\over 11\)
	
	
	k diferente de \(-12\over11\)
	
	
	k diferente de - 4
	
Explicação:
​\(\[\begin{matrix}3&4&5\\2&k&4\\1&-2&2\end{matrix}\]\)​
O determinante da matriz acima, aplicando a regra de Sarrus, é: k + 4
Para que o sistema admita uma única solução, k + 4 deve ser diferente de zero. Logo: k é diferente de - 4. 
	
	
	
	
		
	
		6.
		Sendo (a,b,c) a solução do sistema \(\begin{cases} x - 2y + 4z = 9 \\ 2x + y - 10z = -13{} \\ 3x + 3y -z = 10 \end{cases}\),então a + 2b - c, vale:
	
	
	
	2
	
	
	-4
	
	
	4
	
	
	3
	
	
	6
	
Explicação:
Temos:
\(D = \begin{vmatrix} 1&-2&4\\ 2&1&-10\\ 3&3&-1 \end{vmatrix} =-1+60+24-12-4+30=97\)
\(Da = \begin{vmatrix} 9&-2&4\\ -13&1&-10\\ 10&3&-1 \end{vmatrix} =-9+200-156-40+26+270 = 291\)
\(Db = \begin{vmatrix} 1&9&4\\ 2&-13&-10\\ 3&10&-1 \end{vmatrix} =13-270+80+156+18+100 = 97\)
\(Dc = \begin{vmatrix} 1&-2&9\\ 2&1&-13\\ 3&3&10 \end{vmatrix} =10+78+54 - 27+40+39 = 194\)
 
  Daí:
a = Da/D = 291/97 = 3
b = Db/D = 97/97 = 1
c = Dc/D = 194/97 = 2
 
Então: a + 2b - c = 3 + 2.1 - 2 = 3
	
	
	
	
		
	
		7.
		Qual o valor do determinante?
a    -1    1
a    -1   -a
a²    1    a
	
	
	
	a - a³
	
	
	a² - a
	
	
	a³
	
	
	a²
	
	
	a³ - a²
	
Explicação:
Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante em matriz de ordem 3, copiando as duas primeiras colunas ao lado da terceira.
Formando uma matriz A3x5,  e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte forma:
D = a² + a² - a² - a² - a³ + a
D = 2a² - 2a² - a³ + a
D = a - a³
	
	
	
	
		
	
		8.
		Calcule o determinante:
1/2      1/3
 3         4
	
	
	
	3
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	2
	
Explicação:
Para achar os o valor do determinante, em uma matriz quadrada, temos de multiplicar a11 por a22, e o mesmo em a12 por a21, e fazer a diferença do produto dos dois, como segue abaixo:
D = 1/2 . 4 - 1/3 . 3 = 0,5 . 4 - 0,3333 . 3
D = 2 - 1 = 1
	
		Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 66 kg. Determine o peso de cada um deles.
	
	
	
	Andreia pesa 53 kg, Bidu 14 kg e Carlos 75 kg.
	
	
	Andreia pesa 51 kg, Bidu 17 kg e Carlos 70 kg.
	
	
	Andreia pesa 52 kg, Bidu 16 kg e Carlos 73 kg.
	
	
	Andreia pesa 50 kg, Bidu 16 kg e Carlos 70 kg.
	
	
	Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
	
Explicação:
Peso de Carlos = x
Peso de Ándreia = y
Peso de Bidu = z
eq 1: x + z = 87
eq 2: x + y = 123
eq 3: y + z = 66
Agora, subtraímos a equação 1 da equação 2:
(x + y) - (x + z) = 123 - 87
y - z = 36 (eq 4)
Agora, somamos a eq 3 com a eq 4:
(y - z) + (y + z) = 36 + 66
2y = 102
y = 51
Com y = 51, temos:
y + z = 66
51 + z = 66
z = 15
Então...
x + z = 87
x + 15 = 87
x = 72
Logo, os pesos de cada um são:
Carlos (x) = 72 Kg
Ándreia (y) = 51 Kg
Bidu (z) = 15
	
	
	
	
		
	
		2.
		Determine o valor de k para que o vetor w=(2,-5,k)seja uma combinação linear dos vetores u=(1,2,1) e v=(3.0,-2).
	
	
	
	15/2
	
	
	-11/2
	
	
	13/2
	
	
	-10/3
	
	
	-9/2
	
Explicação:
Temos:
w=au + bv => (2,-5,k) = a(1,2,1) + b(3,0,-2) => (2,-5,k) = (a,2a,a) + ( 3b,0,-2b) => (2,-5,k) = (a+3b,2a,a-2b) =>
           a+3b=2 => -5/2 + 3b = 2 => b=3/2
=>      2a=-5 => a=-5/2
          a-2b = k => -5/2 - 2.3/2 = k => k=-11/2
	
	
	
	
		
	
		3.
		Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia?
	
	
	
	53 carros e 47 motos
	
	
	23 carros e 38 motos
	
	
	67 carros e 33 motos
	
	
	77 carros e 23 motos
	
	
	47 motos e 53 motos
	
Explicação:
c,m = carro, moto
3c + 2m = 277 ........ (i)
c + m = 100 ............ (ii)
De (ii) tiramos: c = 100-m e aplicamos isso em (i):
3c + 2m = 277
3.(100-m) + 2m = 277
300 - 3m + 2m = 277
-m = 277-300 → multiplicamos toda equação por (-1) para positivar o "m":
m = -277+300
m = 23
======
c = 100 - m = 100 - 23
c = 77
	
	
	
	
		
	
		4.
		Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não sócios que compareceram ao show.
	
	
	
	120 sócios e 80 não sócios
	
	
	78 sócios e 122 não sócios
	
	
	115 sócios e 85 não sócios
	
	
	122 sócios e 78 não sócios
	
	
	130 sócios e 70 não sócios
	
Explicação:
X+y=200 (5)         X= quantidade de sócios   y=quantidade não sócios
5x+10y=1400
5x+5y=1000 (-1)
5x+10y=1400
-5x-5y=-1000
5x+10y=1400 Some as duas equações
5y=400
y=80
Substitua y=80 em x+y=200
x+80=200
x=120
Foram 80 não associados e 120 associados ao show
	
	
	
	
		
	
		5.
		Considere a transformação linear do R², f(x,y) = (x+y , 4x) e os vetores u=(-1,3) e v=(5,2). Determine o valor de f(3u-2v).
	
	
	
	(8,-52)
	
	
	(8,52)
	
	
	(-8,52)
	
	
	(6,-52)
	
	
	(-8,-52)
	
Explicação:
Temos:
3u-2v = 3(-1,3) - 2(5,2) = (-3,9) - (10,4) = (-13,5)
 
Logo: f(x,y) = (x+y , 4x) => f(-13,5) = (-13+5 , 4.(-13)) = (-8,-52)
	
	
	
	
		
	
		6.
		A dimensão do espaço vetorial dim M5 x 5(R) é igual a:
	
	
	
	10
	
	
	5
	
	
	0
	
	
	25
	
	
	20
	
Explicação:
A resolução é: dim M5 x 5(R) = 5 . 5 = 25
	
	
	
	
		
	
		7.
		Determine m para que o seguinte sistema seja possível e determinado.
mx + 2y - z = 1
x - 3y + z = 0
x + 2z = 2
	
	
	
	m ≠ -5/6
	
	
	m ≠ -2/3
	
	
	m ≠ -3/4
	
	
	m ≠ -4/5
	
	
	m ≠ -1/2
	
Explicação:
Para que o sistema seja possível e determinado, devemos ter D ≠ 0, ou seja:
m   2   -1
1   -3   1      ≠   0   ⇒  6m ≠ -5 ⇒ ≠  -5/6
1    0   3
 
Logo , m ≠ -5/6
	
	
	
	
		
	
		8.
		Resolva o sistema linear
 
	
	
	
	V = {(8,9,11)}
	
	
	V = {(3,4,5)}
	
	
	V = {(1,2,3)}.
	
	
	V = {(2,3,4)}
	
	
	V = {(7,8,9)}
	
Explicação:
Equação I:
2x+3y+z= 11
2x+3y+(6-x-y= 11
2x+3y+6-x-y= 11
x+2y= 5
 
Equação III:
5x+2y+3y= 18
5x+2y+3(6-x-y)= 18
5x+2y+18-3x-3y= 18
2x-y= 0
y= 2x
Substituindo esta equação III na I,...
x+2y= 5
x+2 . (2x)= 5
x+4x= 5
5x= 5
x= 1
Equação III,
 
y= 2x
y= 2 . 1
y= 2
Equação II,
 
z= 6-x-y
z= 6-1-2
z= 3
		Vamos resolver o sistema linear: 
x + y = 9
x + z = 8
y + z = 5
	
	
	
	S = {(7, 6, 5)}
	
	
	S = {(8, 4, 3)}
	
	
	S = {(6, 3, 2)}
	
	
	S = {(6, 4, 2)}
	
	
	S = {(5, 4, 2)}
	
Explicação:
Ele pode ser excrito na forma
x + z + 0z = 9
x + 0y + z = 8
0x + y + z = 5
Daí, temos 
          1  1  0
D =    1  0  1   =   - 2
          0  1  1
Como D = - 2 ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
 
          9  1  0
Dx =   8  0  1   =  - 12                   
          5  1  1
x = Dx/D  = -12/-2  =  6  
 
           1  9  0
Dy =     1  8  1  =  - 6
           0  5  1
y = Dz/D  = -6/-2  = 3   
 
           1  1  9
Dz =     1  0  8  =  - 4
           0  1  5
 z = Dz/D  = -4/-2  = 2
 
S = {(6, 3, 2)}
                                     
 
 
	
	
	
	
		
	
		2.
		Determine a e b para que os sistemas sejam equivalentes.
x - y = 9                                     ax + y = 12
x + y = 5                  e                2x - by = 20
	
	
	
	a = 2 e b = 3
	
	
	a = 3 e b = 2
	
	
	a = 4 e b = 3
	
	
	a = 6 e b = 5
	
	
	a = 3 e b = 4
	
Explicação:
Primeiro resolvemos o sistema 
x - y = 9
x + y = 5
 
x - y = 9
x + y = 5
Somando as duas equações temos:
2x = 14 ⇒ 7 - 9 ⇒ y = -2
 
Para que os sitemas sejam equivalentes, S = {(7, -2)} também deve ser o conjunto solução do outro sistema; então:
ax + y = 12 ⇒  a(7) + (-2) = 12 ⇒  7a - 2 = 12  ⇒  7a = 14 ⇒  a = 2
2x - by = 20 ⇒  2(7) - b(-2) = 20 ⇒  14 + 2b = 20 ⇒  2b = 6 ⇒  b = 3
 
Portanto, a = 2 e b = 3
	
	
	
	
		
	
		3.
		Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.
	
	
	
	x + y - 5 = 0
	
	
	2x + 2y- 8 = 0
	
	
	x + 2y - 6 = 0
	
	
	x - y = 0
	
	
	x - 2y + 2 = 0
	
Explicação:
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1).
| x y 1 | x y
| 2 2 1 | 2 2
| 4 1 1 | 4 1
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias.
2x+4y+2-8-x-2y=0
x+2y-6=0
	
	
	
	
		
	
		4.
		O conjunto {(1,-1), (-2,2), (1,0)} não é uma base de R2. A afirmativa é:
	
	
	
	Verdadeira, pois o conjunto de vetores é linearmente dependente. 
	
	
	Falsa, pois o produto vetorial é nulo.
	
	
	Falsa, pois o conjunto de vetores é linearmente dependente.
	
	
	Nada se pode concluir sobre a afirmativa 
	
	
	Verdadeira, pois o conjunto de vetores é linearmente independente.
	
Explicação:
O conjunto de vetores não é linearmente independente. Observe que os dois primeiros vetores (1, ¿1) e (¿2, 2) são múltiplos. Temos (¿2, 2) = ¿2 . (1, ¿1) + 0 . (1, 0)
Logo, o conjunto de vetores é linearmente dependente.
Podemos concluir que o conjunto {(1, ¿1), (¿2, 2), (1, 0)} não é uma base de ℜ2.
	
	
	
	
		
	
		5.
		Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita X no seguinte sistema de equações lineares: 
	
	
	
	x = 10
	
	
	x = 6
	
	
	X= 3
	
	
	x = 4
	
	
	x = 7
	
Explicação:
Calculando o determinante temos D= 31
Calculando o determinante de x,temos Dx= 93
Logo x =Dx/D = 3
	
	
	
	
		
	
		6.
		Determinar os autovalores da matriz a seguir:
\(A =\bigl(\begin{smallmatrix} 3&-1 \\ -1&3 \end{smallmatrix} \bigr)\)
	
	
	
	1 e 5
	
	
	-1 e 3
	
	
	-2 e 2
	
	
	2 e 4
	
	
	1 e -3
	
Explicação:
Temos que:
A - \(\lambda\)I = \(\bigl(\begin{smallmatrix} 3&-1 \\ -1&3 \end{smallmatrix} \bigr)\)- \(\lambda\)\(\bigl(\begin{smallmatrix} 1&0 \\0&1 \end{smallmatrix} \bigr)\) =\(\bigl(\begin{smallmatrix}3-\lambda&-1 \\ -1&3-\lambda \end{smallmatrix} \bigr)\)
Daí, vem que:
det (A - \(\lambda\)I) = 0
det \(\bigl(\begin{smallmatrix} 3-\lambda&-1 \\ -1&3-\lambda \end{smallmatrix} \bigr)\) = 0   → 
(3 - \(\lambda\)).(3 - \(\lambda\)) - (-1).(-1) = 0
9 - 3\(\lambda\) - 3\(\lambda\) + \(\lambda\)² - 1 = 0
\(\lambda\)² - 6\(\lambda\) + 8 = 0
Logo: \(\lambda\)1 = 2  e \(\lambda\)2 = 4, que são os autovalores.
 
 
	
	
	
	
		
	
		7.
		Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:
	
	
	
	5
	
	
	7
	
	
	8
	
	
	6
	
	
	3
	
Explicação:
Somando todas equações, temos:
3x+3y+3z+3t = 15
3(x+y+z+t) =15 divida ambos os lados por 3
(x+y+z+t) = 5
	
	
	
	
		
	
		8.
		Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 66 kg. Determine o peso de cada um deles.
	
	
	
	Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
	
	
	Andreia pesa 53 kg, Bidu 14 kg e Carlos 75 kg.
	
	
	Andreia pesa 50 kg, Bidu 16 kg e Carlos 70 kg.
	
	
	Andreia pesa 52 kg, Bidu 16 kg e Carlos 73 kg.
	
	
	Andreia pesa 51 kg, Bidu 17 kg e Carlos 70 kg.
	
Explicação:
Peso de Carlos = x
Peso de Ándreia = y
Peso de Bidu = z
eq 1: x + z = 87
eq 2: x + y = 123
eq 3: y + z = 66
Agora, subtraímos a equação 1 da equação 2:
(x + y) - (x + z) = 123 - 87
y - z = 36 (eq 4)
Agora, somamos a eq 3 com a eq 4:
(y - z) + (y + z) = 36 + 66
2y = 102
y = 51
Com y = 51, temos:
y + z = 66
51 + z = 66
z = 15
Então...
x + z = 87
x + 15 = 87
x = 72
Logo, os pesos de cada um são:
Carlos (x) = 72 Kg
Ándreia (y) = 51 Kg
Bidu (z) = 15