Teoria de Derivadas Parciais

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DERIVADAS PARCIAIS 
 
Uma função pode depender de uma variável, por exemplo, f(x) = 3x + 2, ou de muitas variáveis, por 
exemplo, f(x, y) = x2 + y2 + xy. Para funções de uma variável definimos sua derivada como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
e dizemos que uma variação infinitesimal da função f(x) é dada por d= ′(x)dx. 
 
A derivada parcial de uma função z = (x,y) de duas variáveis, com gráfico representada por uma 
superfície, é a sua derivada com respeito a uma dessas variáveis, quando as outras variáveis são 
mantidas constantes. Mais especificamente definimos: 
 
A derivada parcial de z = (x,y) em relação a x é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
se o limite existir. 
 
 
 
 
E ainda, a derivada parcial de z = (x,y) em relação a y é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
se o limite existir. 
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Observe os dois casos em um único gráfico, não necessariamente, x = y: 
 
 
 
 
 
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Vamos estender o conceito de derivada parcial para funções de n variáveis: 
 
Seja P(x1,x2,....,xn) um ponto em R
n e seja  uma função de n variáveis x1,x2,....,xn. Então a derivada 
parcial de  em relação a xk é a função, denotada por Dk, tal que: 
 
 
 
 
 
se o limite existir. 
 
Exemplos: 
1. Seja a função (x,y) = 4 – x2 – 2y2, calcule o valor de x(1,1) e y(1,1) e interprete esses números 
como inclinações. 
Solução: Temos que zx = x(x, y) = -2x, logo x(1,1) = -2. Enquanto que zy = y(x, y) = -4x, logo 
y(1,1) = -4. 
 
A inclinação da reta tangente a curva de interseção do gráfico de  com o plano y = 1 é de -2, 
enquanto que a inclinação da reta tangente a curva de interseção do gráfico de  com o plano x 
= 1 é de -4. 
 
2. Sejam as funções de várias variáveis abaixo, vamos calcular as derivadas parciais: 
a. (x,y) = x2 + y2 + xy 
x(x,y) = 2x + y e y(x,y) = 2y + x 
 
b. (x,y,z) = 3x2y2z1/2 
x(x,y,z) = 6xy
2z1/2, y(x,y,z) = 6x
2yz1/2 e z(x,y,z) = (3/2)x
2y2z-1/2, 
 
c. (x,y) = xcox(x2 + y2) 
x(x,y) = cox(x
2 + y2) + 2x2sen(x2 + y2) 
y(x,y) = 2xysen(x
2 + y2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM 
 
As derivadas parciais de segunda ordem são obtidas da mesma forma que as derivadas parciais de 
primeira ordem, no entanto, deve-se observar que para uma função de duas variáveis existirão duas 
derivadas de segunda ordem para cada parcial, ou seja, as derivadas de segunda ordem de f são dadas 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando duas vezes 
em relação à x. 
Derivando primeiro em 
relação à x e depois em 
relação à y. 
Derivando primeiro em 
relação à y e depois em 
relação à x. 
Derivando duas vezes 
em relação à y. 
 
Teorema: Suponha que  seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (x0,y0). Se as 
funções xy e yx forem contínuas em D, então xy(x0,y0) = yx(x0,y0). 
 
Verifique o teorema para os exemplos acima. 
 
Bibliografia: 
Stewart, James. Cálculo, vol 2. Ed Cengage Learning. São Paulo – SP. 2011. 
http://fap01.if.usp.br/~vannucci/Notas%20de%20Aula%203.pdf. 
http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/func3.pdf. 
Adapitado por Profª Rúbia Carla Pereira.