01 transformada de laplace

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6.1 - Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Caˆmpus Francisco Beltra˜o
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 4A
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A
6.1 - Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
Se f (t) for uma func¸a˜o definida para todo t ≥ 0, sua
transformada de Laplace e´ a integral de f (t) de t = 0 a ∞,
multiplicada por e−st . Ela e´ uma func¸a˜o de s, digamos F (s),
sendo denotada por L (f ); portanto
F (s) = L (f ) =
∫ ∞
0
e−st f (t) dt
Ale´m disso, a func¸a˜o dada por f (t) e´ chamada de transformada
inversa de F (s), sendo denotada por L −1(F ), ou seja,
escreveremos
f (t) = L −1(F )
Notac¸a˜o: As func¸o˜es originais dependem de t e sa˜o escritas em
letras minu´sculas, ao passo que suas transformadas dependem de
s e sa˜o escritas em letras maiu´sculas.
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6.1 - Transformada de Laplace
Exemplo
Considere f (t) = 1 para t ≥ 0. Obtenha F (s).
Exemplo
Considere f (t) = eat para t ≥ 0, onde a e´ uma constante.
Obtenha L (f ).
Teorema 1: Linearidade da Transformada de Laplace
A transformada de Laplace e´ uma operac¸a˜o linear, ou seja, para
func¸o˜es f (t) e g(t) quaisquer cujas transformadas existem, e para
constantes a e b quaisquer, a transformada de a f (t) + b g(t)
existe, e
L {a f (t) + b g(t)} = aL {f (t)}+ bL {g(t)}
Exemplo
Encontre as transformadas de cosh at e senh at.
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f (t) L (f )
1 1
1
s
2 t
1
s2
3 t2
2!
s3
4 tn
n!
sn+1
5 ta
1
sa+1
∫ ∞
0
e−xxa dx
6 eat
1
s − a
f (t) L (f )
7 cosωt
s
s2 + ω2
8 senωt
ω
s2 + ω2
9 cosh at
s
s2 − a2
10 senh at
a
s2 − a2
11 eat cosωt
s − a
(s − a)2 + ω2
12 eat senωt
ω
(s − a)2 + ω2
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6.1 - Transformada de Laplace
Teorema 2: Primeiro Teorema do Desvio
Se f (t) tiver a transformada F (s) (onde s > k para algum k),
enta˜o eat f (t) tem a transformada F (s − a) (onde s − a > k). Em
fo´rmula,
L {eat f (t)} = F (s − a)
ou, se invertermos ambos os lados,
L −1{F (s − a)} = eat f (t)
Exemplo
Determine a transformada ou a transformada inversa
a) f (t) = t2e5t
b) F (s) =
3s − 137
s2 + 2s + 401
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Existeˆncia e Unicidade
Uma func¸a˜o f (t) possui uma transformada de Laplace se ela na˜o crescer
muito depressa, digamos, se para todo t ≥ 0 e para algumas constantes
M e k, ela satisfazer a “restric¸a˜o de crescimento”
|f (t)| ≤ Mekt (1)
Teorema 3: Existeˆncia para as Transformadas de Laplace
Se f (t) for definida e cont´ınua por intervalos em cada intervalo finito do
semi-eixo t ≥ 0 e satisfazer (1) para todo t ≥ 0 e para algumas
constantes M e k , enta˜o a transformada de Laplace L (f ) existe para
todo s > k .
Unicidade: Se a transformada de Laplace de uma determinada func¸a˜o
existir, ela e´ determinada de maneira u´nica. Inversamente, podemos
mostrar que, se duas func¸o˜es (ambas definidas no eixo real positivo)
tiverem a mesma transformada, enta˜o essas func¸o˜es na˜o podem se diferir
num intervalo de largura positiva, embora possam diferir em pontos
isolados.
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Exerc´ıcio
Encontre as transformadas de Laplace das seguintes func¸o˜es (a, b,
k, ω, θ sa˜o constantes).
1. f (t) = t2 − 2t
2. f (t) = (t2 − 3)2
3. f (t) = cos 2pit
4. f (t) = sen 24t
5. f (t) = e2t cosh t
6. f (t) = e−t senh 5t
7. f (t) = cos(ωt + θ)
8. f (t) = sen (3t − 0,5)
9. f (t) = e3a−2bt
10. f (t) = −8 sen 0,2t
11. f (t) = sen t cos t
12. f (t) = (t + 1)3
13.
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Exerc´ıcio
Dada F (s) = L (f ), obtenha f (t) (L, m, k, a e b sa˜o constantes).
29. F (s) =
4s − 3pi
s2 + pi2
30. F (s) =
2s + 16
s2 − 16
31. F (s) =
s4 − 3s2 + 12
s5
32. F (s) =
10
2s +
√
2
33. F (s) =
npiL
L2s2 + n2pi2
34. F (s) =
20
(s − 1)(s + 4)
35. F (s) =
8
s2 + 4s
36. F (s) =
4∑
k=1
(k + 1)2
s + k2
37. F (s) =
1
(s −√3)(s +√5)
38. F (s) =
18s − 12
9s2 − 1
39. F (s) =
1
s2 + 5
− 1
s + 5
40. F (s) =
1
(s + a)(s + b)
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Exerc´ıcio
Encontre a transformada ou a transformada inversa.
42. f (t) = −3t4e−0,5t
43. f (t) = 5e−at senωt
44. f (t) = e−3t cospit
45. f (t) =
e−kt(a cos t + b sen t)
46. f (t) =
e−t(a0 + a1t + ...+ antn)
47. F (s) =
7
(s − 1)3
48. F (s) =
pi
(s + pi)2
49. F (s) =
√
8
(s +
√
2)3
50. F (s) =
s − 6
(s − 1)2 + 4
51. F (s) =
15
s2 + 4s + 29
52. F (s) =
4s − 2
s2 − 6s + 18
53. F (s) =
pi
s2 + 10pis + 24pi2
54. F (s) =
2s − 56
s2 − 4s − 12
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Respostas:
1.
2
s3
− 2
s2
2.
24
s5
− 12
s3
+
9
s
3.
s
s2 + 4pi2
4.
1
2s
− s
2(s2 + 64)
=
32
s(s2 + 64)
5.
s − 2
(s − 2)2 − 1
6.
1
2
(
1
s − 4 −
1
s + 6
)
=
5
(s + 1)2 − 25
7.
s cos θ − ω sen θ
s2 + ω2
8.
3 cos 0,5− s sen 0,5
s2 + 9
9.
e3a
s + 2b
10.
−1,6
s2 + 0,04
11.
1
s2 + 4
12.
6
s4
+
6
s3
+
3
s2
+
1
s
13.
k
s
(1− e−bs)
14.
k
s
(e−as − e−bs)
15.
1− (1 + 2s)e−2s
2s2
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Respostas:
16.
k
bs2
(bs + e−bs − 1)
17.
1− e−bs
s2
− be
−bs
s
18.
k
b
(
1− e−bs
s2
+
be−bs
s
)
19.
(1− e−s)2
s
20.
(1− e−s)2
s2
29. 4 cospit − 3 senpit
30. 3e4t − e−4t
31. 1− 3
2
t2 +
1
2
t4
32. 5e−t/
√
2
33. sen
npit
L
34. 4(et − e−4t)
35. 2− 2e−4t
36. 4e−t + 9e−4t + 16e−9t +
25e−16t
37.
e
√
3t − e−
√
5t
√
3 +
√
5
38. 2 cosh 13 t − 4 sinh 13 t
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Respostas:
39.
1√
5
sen
√
5t − e−5t
40. Se a 6= b: e
−at − e−bt
b − a
Sena˜o: te−bt
41.
3,8
(s − 2,4)2
42.
−72
(s + 0,5)5
43.
5ω
(s + a)2 + ω2
44.
s + 3
(s + 3)2 + pi2
45.
a(s + k) + b
(s + k)2 + 1
46.
a0
s + 1
+
a1
(s + 1)2
+ ...+
n!an
(s + 1)n+1
47. 3,5t2et
48. pite−pit
49.
√
2t2e−
√
2t
50. et(cos 2t − 52 sen 2t)
51. 3e−2t sen 5t
52. e3t(4 cos 3t + 103 sen 3t)
53. e−5pit senhpit
54. e2t(2 cosh 4t − 13 senh 4t)
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