Transformada_Laplace_Resposta_Sistemas

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Sinais e Sistemas
Unidade 5 –
 
Representação em domínio da 
 frequência para sinais contínuos:
Transformada de Laplace
Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng.
rech.cassiano@gmail.com
Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
rcbeltrame@gmail.com
1/5
2Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
•
 
Introdução
•
 
Definição da Transformada de Laplace
•
 
Solução de equações diferenciais lineares
e invariante no tempo
•
 
Função de Transferência
•
 
Conceito de pólos e zeros
•
 
Estabilidade de sistemas
•
 
Sistemas com atraso de transporte
•
 
Análise da resposta transitória
•
 
Análise da resposta em regime permanente
•
 
Resposta em frequência e Diagrama de Bode
Conteúdo da unidade
Aulas
 
01 e 02
Aula 03
Aula 04
Aulas
 
05 e
 
06
1/5
3Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Aula 04
•
 
Sistemas com atraso de transporte
–
 
Definição do atraso de transporte
–
 
Exemplo de sistemas com atraso de transporte
–
 
Aproximação de Padé
•
 
Análise da resposta transitória
–
 
Sistemas de primeira ordem
–
 
Sistemas de segunda ordem
–
 
Resposta ao impulso, degrau e rampa
•
 
Análise da resposta em regime permanente
1/5
4Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Sistemas com atraso de transporte
Atraso de transporteAtraso de transporte: : éé
 
o tempo decorrente para que uma o tempo decorrente para que uma 
 variavariaçção no sinal de entrada (excitaão no sinal de entrada (excitaçção) seja efetivamente ão) seja efetivamente 
 ““percebidapercebida””
 
pela varipela variáável de savel de saíída (resposta)da (resposta)
y(t)
Ta
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Sistemas com atraso de transporte
•
 
Exemplos
–
 
Sistemas térmicos
–
 
Sistemas hidráulicos
–
 
Sistemas pneumáticos
–
 
Resposta de sensores
–
 
Tem grande impacto na
estabilidade
 
de sistemas
operando em malha‐fechada
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Sistemas com atraso de transporte
•
 
Modelagem
•
 
Aproximação de Padé
  asTaG s e
 
   
   
2 3
2 3
1
2 8 48
1
2 8 48


a
a aa
sT
a
a aa
T s T sT s
G s e
T s T sT s
     
   
  2
2
asT a
a
a
T s
G s e
T s
    Truncando no 2º 
termo
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Sistemas com atraso de transporte
•
 
Exemplo
0 0.5 1 1.5 2
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
 
 
Sem atraso
Com atraso
Aprox. Padé
    
  
  
0 25
2
1 2
3 5
, sY s s s e
G s
X s s s
    
1/5
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Análise da resposta transitória
•
 
Objetivo
–
 
Comparar o desempenho
 
de diferentes sistemas com base em sinais 
 padrão de teste aplicados na entrada
•
 
Função degrau
•
 
Função rampa
•
 
Função impulso
•
 
Função senoidal
•
 
Resposta transitória
–
 
Função do tempo que vai do estado inicial até
 
o final
•
 
Resposta estacionária (regime permanente)
–
 
Maneira como o sinal de saída do sistema se comporta quanto t
 
tende 
 ao infinito
1/5
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Resposta transitória – Sistema de 1ª
 
ordem
•
 
Seja o sistema de 1º
 
ordem definido a seguir, com T constante
•
 
Sua resposta ao degrau unitário é dada por
•
 
Logo, a resposta temporal é dada por
Resposta ao degrau unitário
    
1
1
Y s
G s
X s Ts
  
          1 11
1
Y s G s X s G s L t
Ts s
       
   1 1 0,    para  
t
Ty t L Y s e t
     
1/5
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Resposta transitória – Sistema de 1ª
 
ordem
•
 
Constante de tempo
–
 
Ou seja, y(t) atinge 63,3%
 
da excursão total
  11 1 0 632,
T
Ty T e e
     
y(t)
Para t
 
> 4T, a resposta 
 permanece dentro de 
 2% de seu valor final
1/5
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Resposta transitória – Sistema de 1ª
 
ordem
•
 
Seja o sistema de 1º
 
ordem definido a seguir, com T constante
•
 
Sua resposta à
 
rampa unitária é dada por
•
 
Logo, a resposta temporal é dada por
Resposta à rampa unitária
    
1
1
Y s
G s
X s Ts
  
          21 11Y s G s X s G s L t Ts s    
   1 0,    para  
t
Ty t L Y s t T T e t
      
1/5
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Resposta transitória – Sistema de 1ª
 
ordem
•
 
Sinal de erro
        1
t t
T Te t x t y t t t T T e e t T e
                     
Quando t
 
tende ao 
infinito, tem-se que
e(∞) = T
y(t)
y(t)
1/5
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Resposta transitória – Sistema de 1ª
 
ordem
•
 
Seja o sistema de 1º
 
ordem definido a seguir, com T constante
•
 
A excitação ao impulso unitário, que é a derivada do degrau 
 unitário é dada por
Resposta ao impulso unitário
    
1
1
Y s
G s
X s Ts
  
  1 0,    para  
t
Ty t e t
T
 
y(t)
1/5
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Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Seja o sistema de 2º
 
ordem definido a seguir
–
 
ωn
 
 frequência natural não amortecida
–
 
ζ
 
 coeficiente de amortecimento
•
 
Classificação
–
 
Sistema subamortecido
 
 (0 < ζ
 
< 1)
–
 
Sistema criticamente amortecido  (ζ
 
= 1)
–
 
Sistema superamortecido  (ζ
 
> 1)
Resposta ao degrau unitário
    
2
2 22
n
n n
Y s ω
G s
X s s ξω s ω
   
Comportamento
oscilatório
Não
 
oscila
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Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Caso 1: Sistema subamortecido
 
(0 < ζ
 
< 1)
–
 
Dois pólos complexos
Onde                                 é a frequência natural amortecida
•
 
Excitação do tipo degrau
       
2
n
n d n d
Y s ω
G s
X s s ξω jω s ξω jω
     
21d nω ω ξ 
        
2 1n
n d n d
ω
Y s G s X s
s ξω jω s ξω jω s
     
1/5
16Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Logo, a resposta temporal é dada por
•
 
Sinal de erro
–
 
Observar que, em regime permanente, não existe erro entre entrada e 
 saída
    21
2
11 0
1
sen arctg ,    para  
nξω t
d
e ξ
y t L Y s ω t t
ξξ
             
       1e t x t y t y t   
  2
2
1 0
1
sen arctg ,    para  
nξω t
d
e ξ
e t ω t t
ξξ
        
1/5
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Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Caso 2: Sistema criticamente amortecido
 
(ζ
 
= 1)
–
 
Dois pólos reais e iguais
•
 
Excitação do tipo degrau
•
 
Logo, a resposta temporal é dada por
      
2
2
n
nY s ω
G s
X s s ω
 

       
2
2
1n
n
ω
Y s G s X s
ss ω
  

     1 1 1 0,    para  nω t ny t L Y s e ω t t       
1/5
18Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Caso 3: Sistema superamortecido
 
(ζ
 
> 1)
–
 
Dois pólos reais, negativos e distintos
•
 
Excitação do tipo degrau
       
2
2 21 1
n
n n n n
Y s ω
G s
X s s ξω ω ξ s ξω ω ξ
 
     
        
2
2 2
1
1 1
n
n n n n
ω
Y s G s X s
ss ξω ω ξ s ξω ω ξ
  
     
1/5
19Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Logo, a resposta temporal é dada por
   
 
 
1 2
1
2 1 2
2
1
2
2
1 0
2 1
1
1
,    para  
s t s t
n
n
n
ω e e
y t L Y s t
s sξ
s ξ ξ ω
s ξ ξ ω
              
  
  
1/5
20Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Respostas de um sistema de 2ª
 
ordem
y(t)
1/5
21Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Especificações de regime transitório
(Definidas no domínio do tempo)
–
 
Tempo de atraso, td
 
 Tempo para y(t) atingir metade do valor final
–
 
Tempo de subida, tr
 
 Tempo para y(t) variar de 10% a 90% do valor 
 final
–
 
Instante de pico, tp
 
 Instante de tempo em que y(t) atinge o valor 
 máximo
–
 
Máxima ultrapassagem percentual
 

–
 
Tempo de acomodação, ts
 
 Tempo para y(t) situar‐se na faixa entre 
 2% ou 5% do valor final
   
  100%
p
p
y t y
M
y
  
1/5
22Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
Resposta transitória – Sistema de 2ª
 
ordem
•
 
Especificações de regime transitório
y(t)
1/5
23Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. | Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng.
[1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª
 
ed. Rio de Janeiro: Prentice‐
 Hall, 2000.
[2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, 2011.
[3] FERREIRA, P. A. V. Princípios
 
de controle
 
e servomecanismos
 
(notas
 
de aula). 
 Campinas: UNICAMP, 2006.
Bibliografia
	Slide Number 1
	Slide Number 2
	Slide Number 3
	Slide Number 4
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Slide Number 7
	Slide Number 8
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Slide Number 11
	Slide Number 12
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Slide Number 16
	Slide Number 17
	Slide Number 18
	Slide Number 19
	Slide Number 20
	Slide Number 21
	Slide Number 22
	Slide Number 23