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Introdução
aos Métodos Numéricos 
e Computacionais 
LOB1056
• Carga Horária: 60 horas/aula
Ementa:
- Introdução ao MATLAB:
Cálculos simples; 
Uso de variáveis e funções; 
Matrizes e Vetores (- álgebra linear: propriedades e operações com 
vetores e matrizes; resolução de sistemas de equações lineares); 
- Gráficos;
- Programação em MATLAB: 
escrevendo programas: comandos de entrada e saída de dados;
comandos de controle de fluxo de execução(comandos de seleção e 
de repetição).
Introdução aos Métodos Numéricos e Computacionais 
Introdução ao MATLAB
• O MATLAB é um software de alto desempenho destinado a fazer cálculos
com matrizes (MATrix LABoratory).
• MATLAB foi criado no fim dos anos 1970 por Cleve Moler, então
residente do departamento de ciência da computação da Universidade do 
Novo México, e logo se espalhou para outras universidades. 
• Jack Little, um engenheiro, conheceu a linguagem MATLAB, durante uma
visita feita por Moler a Universidade de Stanford em 1983. Reconhecendo 
o seu potencial comercial, ele juntou-se a Moler e Steve Bangert. 
• Eles reescreveram MATLAB na Linguagem de Programação C.
• Em 1984 fundaram a MathWorks e prosseguiram no seu desenvolvimento. 
Introdução ao MATLAB
Introdução ao MATLAB
• O MATLAB é um software de alto desempenho destinado a fazer 
cálculos com matrizes (MATrix LABoratory).
• Pode funcionar como uma calculadora ou como uma linguagem de 
programação científica (FORTRAN, Pascal, C/C++, etc.). 
• Os comandos do MATLAB são mais próximos da forma como 
escrevemos expressões algébricas, o que torna mais simples o seu uso. 
• O MATLAB é um sistema interativo e uma linguagem de programação 
para computação técnica e científica, integrando a capacidade de fazer 
cálculos e visualização gráfica.
MATLAB – Ambiente de Trabalho
- O MATLAB apresenta um ambiente de trabalho com muitos 
recursos operacionais:
• Janela de Histórico (de Comandos)
• Janela de Figuras (Gráficos)
• Navegador de Diretórios Correntes 
• Navegador de Espaço de Trabalho
• Navegador de Ajuda
MATLAB – Ambiente de Trabalho
AMBIENTE GERAL DO MATLAB
Tela Inicial
MATLAB – Ambiente de Trabalho
AMBIENTE GERAL DO MATLAB
Tela Inicial : com Editor de programas
MATLAB – Ambiente de Trabalho
• Janela de Comandos
- Uma vez inicializado o MATLAB, aparecerá na tela uma janela de 
comandos e o "prompt" padrão ( fx >> ), nas versões recentes, ou 
simplesmente ( >> ) é exibido na tela. 
- A partir deste ponto, o MATLAB espera um comando (instruções) do 
usuário. Todo comando deve ser finalizado teclando-se Enter.
- Para a edição das linhas de comando as teclas com setas ( ↑ ↓ ) 
podem ser usadas para se encontrar comandos dados anteriormente, 
para execução novamente ou sua reedição. 
fx >> 
MATLAB – Ambiente de Trabalho
• Exemplo:
fx >> sen(0)
Ao apertar a tecla Enter , o MATLAB responde com uma mensagem de erro:
Undefined function or variable ´sen´.
- Isto acontece porque para se determinar o seno de um ângulo é necessário 
digitar em inglês o comando sin. 
- Ao invés de rescrever a linha inteira, simplesmente pressione a tecla "seta 
para cima". O comando errado retorna, e você pode, então, corrigir:
fx >> sin(0)
ans =
0
• Note que o MATLAB chamou o resultado de ans (answer=resposta).
MATLAB – Ambiente de Trabalho
- Além das teclas com setas, pode-se usar outras teclas para reeditar a linha 
de comando. A seguir, uma breve descrição de algumas teclas:
↑ retorna a linha anterior
↓ retorna a linha posterior
← move um espaço para a esquerda
→ move um espaço para a direita
Ctrl ← move uma palavra para a esquerda
Ctrl → move uma palavra para a direita
Home move para o começo da linha
End move para o final da linha
- Conhecer os elementos básicos do MATLAB é estudar:
• Operações 
• Expressões
• Constantes 
• Variáveis
• Funções 
MATLAB – Elementos Básicos 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Operações Aritméticas Básicas 
Operação Símbolo Exemplos
Adição, a+b + 5 + 6
Subtração, a-b - 19 - 4.7
Multiplicação, a.b * 5.02 * 7.1
Divisão, a÷b / (ou \) 45/5 (ou 5\45)
Potência, 𝐚𝐛 ^ 3^4
- Precedência ( ordem hierárquica ) dos operadores aritméticos:
• A precedência de operadores é a ordem ( hierárquica ) em que as operações 
são executadas pelo computador. 
• As operações de maior precedência são executadas antes das operações de 
menor precedência. 
• Se duas operações possuem a mesma precedência, então a expressão é 
executada da esquerda para a direita. 
Precedência Operação 
Primeira Parênteses, começando com o par mais interno 
Segunda Exponenciação
Terceira Multiplicação e Divisão (mesma precedência) 
Quarta Adição e Subtração (mesma precedência) 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Operações Aritméticas Básicas 
- Precedência ( ordem hierárquica ) dos operadores aritméticos:
Exemplo - qual o resultado da expressão: 5 + 3 * ( 3 – 1 ) – 2 ^ 5 / 4 – 1 
5 + 3 * ( 3 – 1 ) – 2 ^ 5 / 4 – 1 
5 + 3 * 2 – 2 ^ 5 / 4 – 1 
5 + 3 * 2 – 32 / 4 – 1 
5 + 6 – 32 / 4 – 1 
5 + 6 – 8 – 1 
11 – 8 – 1 
3 – 1 
2 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
- Operações Aritméticas Básicas no MatLab:
• Expressões Numéricas: conjunto de constantes e variáveis relacionado por 
operadores aritméticos ( veremos adiante ).
Como representar as expressões dos exercícios abaixo no Matlab e obter os 
resultados?
1. A distância percorrida por uma bola em queda livre é dada pela equação:
Calcular a posição da bola no tempo t =5 s; para x =10 m, v =15 m/s e a= -9,81 m/s.
2. Para x=3 e y=4, calcular a seguinte expressão:
ttvxx a
2
00 2
1
)(
2
22
yx
yx

MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Expressões Lógicas: os operadores relacionais realizam comparações 
entre valores do mesmo tipo (veremos adiante). Os operadores relacionais 
utilizados pelo MATLAB são:
Operador 
Relacional
Descrição
== igual a
~= diferente de
> maior que
>= maior ou igual 
< menor que
<= menor ou igual 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis
- Constantes:
O MATLAB faz cálculos simples e científicos como uma calculadora. Para tal, os 
comandos devem ser digitados diretamente no prompt (usaremos : >> nos 
nossos exemplos) do MATLAB (software interativo). Exemplo:
>> 3*25 + 5*12
ans =
135
Lembre-se que no MATLAB a multiplicação tem precedência sobre a adição.
Uma constante numérica no MATLAB é formada por uma sequência de dígitos 
que pode estar ou não precedida de um sinal positivo (+) ou negativo (-) e 
pode conter um ponto decimal (.). 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes: 
O formato em que uma constante numérica é mostrada no MATLAB, como 
opção default, seguem os critérios: 
- se um resultado é inteiro, o MATLAB mostra o número como inteiro; 
- quando o resultado é real, o MATLAB mostra o número com 4 dígitos à 
direita do ponto decimal, exemplo: 
>> 5.123456789
ans =
5.1235
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes: 
O formato em que uma constante numérica é mostrada no MATLAB, 
como opção default, seguem os critérios: 
- o MATLAB mostra também, o resultado, usando a notação científica. 
- Os dígitos da constante pode terminar por exemplo com a letra e, 
seguida de outra sequência de dígitos precedida ou não de um sinal de 
(+) ou de (-). 
- Esta segunda sequência é a potência de 10 pela qual a primeira 
sequência deve ser multiplicada. Por exemplo,
>> 1.23e-1
ans =
0.1230
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis
- Expressões Numéricas: 
conjunto de constantes e variáveisrelacionado por operadores 
aritméticos. 
- Comando de Atribuição: o sinal de igual ( = )
A variável ( nome da variável ) deve estar à esquerda do sinal de igual.
Variável = Constante/ Variável / Expressão
.
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis - Expressões Numéricas
- Comando de Atribuição: Variável = Constante/ Variável / Expressão
Obs.: prompt usado nos exemplos... >>
>> K=2
K=
2
>> L=3
L=
3
Nos exemplos acima:
Primeiro, criamos duas variáveis, K e L, atribuindo a elas os seus valores respectivos. 
Assim, o que estiver à direita do sinal de igual é “colocado” na variável que estiver à 
esquerda. 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis: Expressões Numéricas
- Comando de Atribuição: Variável = Constante/ Variável / Expressão
>> M= K + L
M=
5
>> M= L + 11
M=
14
>> K= K + 5
K = 
7
Em seguida, criamos uma variável chamada M que recebeu a soma de K 
mais L. 
Logo após, o valor da variável M e da variável K foram alterados.
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Expressões Numéricas:
Como representar as expressões dos exercícios abaixo no Matlab e obter os resultados?
1. A distância percorrida por uma bola em queda livre é dada pela equação:
Calcular a posição da bola no tempo t=5 s; para 𝑥0=10 m, 𝑣0 =15 m/s e a= -9,81 m/s.
>> t=5;
>> x0=10;
>> v0=15;
>> a= -9.81;
>> x= x0 + v0 * t + 1 / 2 * a * t^2
X =
-37.6250
ttvxx a
2
00 2
1

MATLAB – Operações na Área de Trabalho
- Operações Aritméticas Básicas no MatLab:
• Expressões Numéricas:
Como representar as expressões dos exercícios abaixo no Matlab e obter os 
resultados?
2. Para x=3 e y=4, calcular a seguinte expressão:
>> x=3;
>> y=4;
>> calculo= x ^2 * y ^3 / ( x – y ) ^2 
calculo =
576
)(
2
32
yx
yx

MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Variáveis:
Regras de construção de NOMES de variáveis:
- Os nomes das variáveis devem consistir de uma única palavra.
- As variáveis devem começar com uma letra e pode ser seguida de 
letras, números ou subscrito - underscore ou underline ( _ ). 
- Variáveis com letras minúsculas e maiúsculas são diferentes (case 
sensitive), mesmo que consistam das mesmas letras.
- As variáveis podem consistir de até 63 caracteres (versão). 
- Nomes não devem possuir acentos, espaços e operadores aritméticos. 
NOTA_DO_ALUNO nota_do_aluno Nota_do_aluno
nota1_do_aluno
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Variáveis:
- As variáveis podem ser redefinidas a qualquer momento, bastando 
para isso executar a atribuição de um novo valor.
- Alguns nomes são usados para variáveis predefinidas, ou seja, são 
variáveis especiais do MATLAB, por exemplo:
• ans : usada para exibir os resultados
• pi : número 3,14159
>> pi
ans =
3.1416
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Variáveis:
- Alguns nomes são usados para variáveis predefinidas, ou seja, são 
variáveis especiais do MATLAB, por exemplo:
• ans : usada para exibir os resultados
• eps : epsílon - representa a menor diferença entre 2 números que 
pode ser representada no computador.
>> eps
ans =
2.2204e-16
MATLAB – Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis: Comentário e pontuações
Símbolo Função
, Separar comandos dados em uma mesma linha.
; Separar comandos dados em uma mesma linha. Se o último 
caractere da declaração é um ponto e vírgula, a impressão na 
tela é suprimida, mas a tarefa é realizada.
% Todo e qualquer caractere depois do símbolo de porcentagem é 
tomado como comentário.
... Pode-se continuar uma certa expressão na próxima linha usando 
um espaço em branco e três pontos,"...", ao final das linhas 
incompletas.
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis: Comentário e pontuações
Exemplo:
Quando se coloca o sinal de ponto e vírgula no final da sentença do MATLAB, o resultado de 
uma operação ou comando não é exibido na tela do MATLAB. Veja a diferença:
>> g=3
g =
3
>> g=3;
- Os espaços em branco entre os operadores (aritméticos, lógicos, relacionais) e as 
variáveis (ou constantes) são opcionais. O mesmo vale para a vírgula, o ponto e vírgula e o 
símbolo de porcentagem. 
- No entanto, o espaço em branco entre a última variável (ou constante) de uma linha e os 
três pontos é obrigatório (veja exemplo a seguir).
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis: 
Comentário e pontuações
Exemplo:
>> e1=3, f1=20, ...
e2=15; f2=42; % Exemplo de uso da vírgula, ponto e vírgula e três pontos
e1 =
3
f1 =
20
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Variáveis:
Variáveis literais
- Uma variável pode conter uma cadeia de caracteres ao invés de um número. 
- Estes caracteres são manipulados como vetores linha (assunto que será tratado 
mais adiante).
- A cadeia de caracteres deve estar limitada por apóstrofes (‘cadeia de caracteres’) 
para ser atribuída a uma variável literal. Por exemplo: 
>> L='MATLAB'
L =
MATLAB
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis: 
Obtendo Informações da Área de Trabalho
Os exemplos de declarações mostrados nos itens acima criaram variáveis que são 
armazenadas na Área de Trabalho do MATLAB. 
- O comando who: mostra as variáveis ativas do ambiente, em ordem alfabética. 
- O comando whos: mostra as variáveis ativas do ambiente mais o tamanho e tipo. 
>> who
Your variables are:
ans e1 e2 f1 f2 g L % variáveis utilizadas como exemplo até aqui
>> whos
Name Size Bytes 
ans 1x1 8 
e1 1x1 8
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis: 
Obtendo Informações da Área de Trabalho
Em qualquer momento, podemos ver o valor que está contido em uma 
variável, simplesmente digitando no prompt o seu nome.
>> f2
f2=
42
- O comando clear: permite apagar variáveis do sistema 
As variáveis no espaço de trabalho podem ser removidas incondicionalmente 
usando o comando clear. 
>> clear f1 % remove a variável f1
>> clear (ou clear all) % remove todas as variáveis do espaço de trabalho
- O comando clc: limpa a janela de comandos e coloca o cursor na posição 
inicial.
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis: 
Obtendo Informações da Área de Trabalho
- Comandos de auxílio
No MATLAB, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou função 
através do comando help, que mostra uma listagem de todos os pacotes 
disponíveis. 
A ajuda sobre um comando ou função específica é obtida com o comando 
help <tópico>, onde tópico pode ser o nome de um pacote, de um 
comando ou função. Por exemplo:
>> help sqrt
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Funções Matemáticas
Categorias gerais de funções matemáticas disponíveis no MATLAB:
- Matemática elementar;
- Funções especiais;
- Matrizes elementares e especiais;
- Decomposição e fatoração de matrizes;
- Polinômios;
- Solução de equações diferenciais;
- Equações não-lineares;
- Integração numérica;
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Funções Matemáticas
- O MATLAB tem uma série de funções científicas pré-definidas. 
- A palavra função no MATLAB tem um significado diferente daquele que tem na 
Matemática. 
- Aqui, função é um comando, que pode ter alguns argumentos de entrada e alguns 
de saída. 
- Algumas dessas funções são intrínsecas, ou seja, não podem ser alteradas pelo 
usuário. 
- Outras funções estão disponíveis em uma biblioteca externa distribuídas com o 
programa original (MATLAB TOOLBOX).
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Constantes e Variáveis: Funções Matemáticas
Funções científicas disponíveis e exemplos:• cos(x) : cosseno de x.
• sqrt(x) : raiz quadrada de x.
• acos(x) : arco cujo cosseno é x.
• abs(x) : valor absoluto de x.
• exp(x) : exponencial 𝑒𝑥.
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Funções Matemáticas
- Exemplo de algumas funções podem ser usadas da mesma forma que seria escrita 
matematicamente:
>> x_graus = 45 
x_graus =
45
>> x_rad = x_graus * pi / 180 
x_rad =
0.7854
>> y= cos(x_rad) 
y=
0.7071
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Funções Matemáticas
- Exemplo de algumas funções podem ser usadas da mesma forma que seria escrita 
matematicamente:
>> x = sqrt(2)/2 
x =
0.7071
>> y = acos(x) % em radianos 
y =
0.7854
>> y_graus = y*180/pi
y_graus =
45.0000
(Estes comandos calculam o arco cujo cosseno é 2 / 2 , inicialmente em radianos, depois em graus.)
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Funções Matemáticas
>> x = -0.8913 ;
>> abs(x) 
ans = 
0.8913 
>> exp(1) 
ans = 
2.7183 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• VETORES E MATRIZES 
- A unidade de dados fundamental para o Matlab é a matriz.
- Matriz é uma coleção de valores organizados em linhas e colunas 
representada por um nome de variável. 
- As matrizes podem ser declaradas como vetores ou matrizes 
propriamente ditas.
- O termo vetor descreve uma matriz com somente uma dimensão, 
enquanto que o termo matriz descreve uma matriz com duas ou mais 
dimensões.
- Mesmo os dados escalares são tratados como matrizes no Matlab
( com somente uma linha e uma coluna ). 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• VETORES E MATRIZES 
- Exemplo de uma matriz bidimensional com 4 linhas e 3 colunas
Col. 1 Col. 2 Col.3
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• VETORES E MATRIZES 
- Exemplo de um vetor (unidimensional) linha
Col. 1 Col. 2 Col.3
Linha 1
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• VETORES E MATRIZES 
- Exemplo de um vetor (unidimensional) coluna
Col. 1
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• VETORES E MATRIZES: INSERÇÃO DE DADOS 
• Escalar 
>> 3 
ans = 
3
• Vetor 
>> [1 2 3 4] 
ans =
1 2 3 4 
• Matriz 
>> [1 2 3; 4 5 6] 
ans = 
1 2 3 
4 5 6 
QUALQUER DADO NUMÉRICO É TRATATO COM UMA MATRIZ 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• VETORES E MATRIZES O MATLAB permite a manipulação de linhas, colunas, elementos
individuais e partes de matrizes. Um resumo das diversas formas de se construir um vetor no MATLAB.
X=primeiro : último Cria um vetor x começando com o valor primeiro, incrementando-se de (um) 
em 1(um) até atingir o valor último ou o valor mais próximo possível de 
último
X=primeiro:incremento:último
* O MAIS USADO
Cria um vetor x começando com o valor primeiro, incrementando-se do valor 
incremento até atingir o valor último ou o valor mais próximo possível de 
último
X=linspace(primeiro, último, n) Cria um vetor x começando com o valor primeiro e terminado no valor 
último, contendo n elementos linearmente espaçados.
X=logspace(primeiro, último, n) Cria um vetor x começando com o valor 𝟏𝟎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒊𝒓𝒐 e terminando no valor 
𝟏𝟎ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐, contendo n elementos logaritmicamente espaçados
X=[2 2*pi sqrt(2) 7] Cria um vetor x contendo os elementos especificados
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Construção de Vetores
- Exemplo 1:
>> x = 1:5 %gera um vetor linha contendo os números de 1 a 5 com incremento unitário. 
x=
1 2 3 4 5
>> x=1:10.5
x=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- Exemplo 2: 
>> z = 3: 2 : 15 %dados inteiros: formato inteiro
z=
3 5 7 9 11 13 15
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Construção de Vetores
- Exemplo 3:
Pode-se, também, gerar vetores usando a função linspace. 
>> k = linspace (0, 1, 6)
k =
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000
gera um vetor linearmente espaçado de 0 a 1, contendo 6 elementos.
>> L=linspace(20, 40,5)
L=
20 25 30 35 40
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Construção de Vetores
- Exemplo 4:
>> x=logspace(1,5,5) % dados em potência de 𝟏𝟎𝟏 𝟏𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟑 𝟏𝟎𝟒 𝟏𝟎𝟓
x=
10 100 1000 10000 100000
- Exemplo 5:
>> x=[8 6 8.10 5] % dados: inteiro e real – formato real
x=
8.0000 6.0000 8.1000 5.0000
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Construção de Vetores
- Nos exemplos anteriores os vetores possuem uma linha e várias colunas 
(vetores linha). 
- Da mesma forma podem existir vetores coluna (uma coluna e várias linhas). 
- Para se criar um vetor coluna elemento por elemento estes devem estar 
separados por ( ; ). 
>> v=[1.5; -3.2; 9]
v =
1.5000
-3.2000
9.0000
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Construção de Vetores
- Esses vetores coluna podem também ser criados a partir dos comandos 
utilizados anteriormente para criar os vetores linha, acompanhados do 
símbolo apóstrofe ( ' ), que é o operador de transposição. 
>> y=(1: 0.5: 3)'
y =
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.0000
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• ENDEREÇAMENTO DE VETORES
- No MatLab, cada um dos elementos de um vetor podem ser acessados 
através de seu índice que identifica cada uma das colunas. Por exemplo :
>> x=5:2:20
x=
5 7 9 11 13 15 17 19
>> x(3) % Acessa o terceiro elemento de x
ans =
9
>> x(6) % Acessa o sexto elemento de x
ans =
15
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• ENDEREÇAMENTO DE VETORES
- Esses elementos de um vetor também podem ser acessados em blocos. Por 
exemplo:
>> c=linspace(10,40,7)
c =
10 15 20 25 30 35 40
>> c(3:5) % terceiro a quinto elemento de c
ans =
20 25 30
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Operações entre vetores
- As operações básicas entre vetores só são definidas quando estes tiverem o 
mesmo tamanho e orientação (linha ou coluna). Estas operações são:
- Seja a=[ a1 a2 ... an] , b=[ b1 b2 ... bn] e c um escalar
operação expressão resultado
adição escalar a + c [a1+c a2+c ... an+c]
adição vetorial a + b [a1+b1 a2+b2 ... an+bn]
multiplicação escalar a * c [a1*c a2*c ... an*c]
multiplicação vetorial a. * b [a1*b1 a2*b2 ... an*bn]
divisão a. / b [a1/b1 a2/b2 ... an/bn]
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Operações entre vetores
- Exemplos:
- Seja a=[ a1 a2 ... an] , b=[ b1 b2 ... bn] e c um escalar
>> a=[ 1 2 3 4 5 ] ; b=[ 6 7 8 9 0] ; c= 10;
>> a+c
ans =
11 12 13 14 15
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Operações entre vetores
- Exemplos:
- Seja a=[ a1 a2 ... an] , b=[ b1 b2 ... bn] e c um escalar
>> a=[ 1 2 3 4 5 ] ; b=[ 6 7 8 9 0] ; c= 10;
>> a+b
ans =
7 9 11 13 5
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• Operações entre vetores - Exemplos:
>> a=[ 1 2 3 4 5 ] ; b=[ 6 7 8 9 0] ; c= 10;
>> a*c
10 20 30 40 50 
>> a.*b % mult. vetorial: elemento x elemento 
6 14 24 36 0 
>> a*b
Error using * 
Inner matrix dimensions must agree. % a[1,4], b[1,4] => 4≠1
>> a./b
0.1667 0.2857 0.3750 0.4444 Inf
MATLAB – Cálculos na Área de Trabalho
• MATRIZES
- O MATLAB trabalha essencialmente com um tipo de objeto: matriz numérica
( 1x1; 2x2; 3x3; i ( linha) x j (coluna); etc).
- Os elementos de cada linha da matriz são separados por espaços em branco 
ou vírgulas e as colunas separadas por ponto e vírgula, colocando-se colchetesem volta do grupo de elementos que formam a matriz. Por exemplo, digite:
>> A=[ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ] % +espaços
- Pressionando <enter> o MATLAB mostra o resultado
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• MATRIZES
- As linhas das matrizes também podem ser definidas através dos comandos, 
utilizados anteriormente, para se definir vetores linha. Exemplo:
>> M=[1:3;linspace(4,9,3);0:.5:1]
M =
1.0000 2.0000 3.0000
4.0000 6.5000 9.0000
0 0.5000 1.0000
- Também podem ser definidos por operações ou funções matemáticas. Exemplo:
>> N=[15 7; sqrt(36) cos(pi/3); 12/7 22.53^2]
N = %ajuste numérico real pelo ponto decimal
15.0000 7.0000
6.0000 0.5000
1.7143 507.6009
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• MATRIZES
• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- As operações com matrizes no MATLAB são as seguintes:
· Transposta;
· Adição;
· Subtração;
· Multiplicação;
· Divisão à direita;
· Divisão à esquerda;
· Exponenciação;
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• MATRIZES
• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Transposta: o caractere apóstrofe, " ' " , indica a transposta de uma matriz. Ex.:
>>A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A = 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> B = A'
B = 
1 4 7
2 5 8
3 6 9
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Adição e Subtração
A adição e subtração de matrizes são indicadas, respectivamente, por "+" e "-". As
operações são definidas somente se as matrizes tiverem as mesmas dimensões. 
Por exemplo, a soma das matrizes, A + x, não é correta porque A é 3x3 e x é 3x1. 
A = 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
x =
-1
0
2
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Adição e Subtração
>> C = A + B % a imagem de A e B são apenas ilustrativas
A = 
1 2 3
4 5 6
7 8 9
B = 
1 4 7
2 5 8
3 6 9
C = %ajuste numérico inteiro à direita
2 6 10
6 10 14
10 14 18
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Adição e Subtração
A adição e subtração também são definidas se um dos operadores é 
um escalar. 
Seja a matriz x do exemplo anterior, o escalar é (adicionado ou) 
subtraído de todos os elementos do outro operador. 
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Adição e Subtração
x =
-1
0
2
>> y = x – 1 % resulta em
y =
-2
-1
1 
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Multiplicação
A multiplicação de matrizes é indicada por "*". 
A multiplicação x*y (para o nosso exemplo abaixo) é definida somente se a segunda 
dimensão de x (coluna) for igual à primeira dimensão de y(linha). Seja:
x = y =
-1 -2
0 -1
2 1
>> x* y % [3,1] x [3,1] => 1 ≠ 3
Error using * 
Inner matrix dimensions must agree.
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Multiplicação
Entretanto, seja:
x = y =
-1 -2
0 -1
2 1
>> x'* y % x’ => -1 0 2 [1,3] [3,1] é aceitável: (-1x-2 + 0x-1 + 2x1)
% e o resultado [1,1] 
ans =
4
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Multiplicação
A = B=
1 2 3 1 4 7
4 5 6 2 5 8
7 8 9 3 6 9
>> C = A * B % C(1,1)= A(1,1).B(1,1)+A(1,2).B(2,1)+A(1,3).B(3,1)
% C(1,1)= 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 14
C = %ajuste numérico inteiro à direita
14 32 50
32 77 122
50 122 194
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Multiplicação
O produto de uma matriz por um vetor é um caso especial do produto entre 
matrizes. Por exemplo: A (3x3) e X(3x1), é possível, e b será (3x1). 
A = x =
1 2 3 -1 
4 5 6 0
7 8 9 2
>> b = A*x % que resulta em
b =
5
8
-7
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES: - Multiplicação
Naturalmente, um escalar pode multiplicar ou ser multiplicado por qualquer 
matriz. Seja x:
x =
-1
0
2
>> pi * x
ans =
-3.1416
0
6.2832
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Multiplicação
Além da multiplicação matricial e escalar, podemos ter a multiplicação por 
elemento de matrizes de mesma dimensão. 
Esse tipo de operação é feita utilizando-se um ponto ( . ) antes do operador de 
multiplicação ( * ). 
Ou seja, se A e B são matrizes definidas por
A=[ a11 a12 ... a1n ; a21 a22 ... a2n ; ... ; am1 am2 ... amn] e 
B=[ b11 b12 ... b1n ; b21 b22 ... b2n ; ... ; bm1 bm2 ... bmn ], 
então 
A.*B =aij*bij. 
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES - Multiplicação por elemento. Exemplo:
A = B =
1 2 3 1 4 7
4 5 6 2 5 8
7 8 9 3 6 9
>> A.*B % A(1,1).B(1,1) A(1,2).B(1,2) A(1,3).B(1,3) 
% A(2,1).B(2,1) A(2,2).B(2,2) ........... 
ans =
1 8 21
8 25 48
21 48 81 
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Divisão
Existem dois símbolos para divisão de matrizes no MATLAB "\" e "/". 
Se A é uma matriz quadrada não singular, então A\B corresponde à 
multiplicação da matriz B pela inversa da matriz A: inv(A)*B.
X = A\B é a solução de A*X = B
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Divisão
A = x =
1 2 3 -1 
4 5 6 0
7 8 9 2
>> b = A*x % A[3,3] x=[3,1] ==> b=[3,1]
b=
5
8
7
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Divisão
A = x = b= ( >> b = A*x ) 
1 2 3 -1 5 ( >> x= inv(A)*b OU >>x= A\b )
4 5 6 0 8
7 8 9 2 -7
No exemplo, como o vetor b foi definido como A*x , a declaração
>> z = A\b
resulta em
z =
-1
0
2
A divisão por elemento entre matrizes é definida de maneira similar à multiplicação por 
elemento, ou seja, A./B= aij/bij e A.\B= aij\bij , onde A e B têm mesma dimensão.
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Álgebra Linear: Sistemas Lineares - fatoração LU (Low/Upper) 
Exemplo - dado o sistema abaixo formado por três equações lineares:
1,2x + 6y + 4z = 12
5x + 8y = 3
7x + 12y + 5z = 12
MATLAB – Operações na Área de Trabalho
• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Álgebra Linear: Sistemas Lineares - fatoração LU (Low/Upper) 
A resolução deste sistema através da aplicação de matriz é dado por: 
M . X = N
onde,
- a matriz M formada por 9 elementos, ou seja, os 9 coeficientes (A1,1 ... 
A3,3) 
- a matriz X será um vetor coluna formado pelas incógnitas: x, y, z.
- a matriz N será um vetor coluna formado pelos termos dos resultados: N1, 
N2, N3.
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Álgebra Linear: Sistemas Lineares - fatoração LU (Low/Upper) 
1,2x + 6y + 4z = 12
5x + 8y = 3
7x +12y + 5z = 6
- Colocando o sistema dado no formato matricial, temos: 
M X N
1,2 6 4
5 8 0
7 12 5
.
𝑥
𝑦
𝑧
=
12
3
6
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES- Álgebra Linear: Sistemas Lineares - fatoração LU (Low/Upper) 
M X N
1,2 6 4
5 8 0
7 12 5
.
𝑥
𝑦
𝑧
=
12
3
6
Geramos agora a matriz M e o vetor N através do MATLAB:
>> M =[1.2 6 4;5 8 0;7 12 5] % matriz dos coeficientes 
>> N =[12; 3; 6] % matriz dos resultados
Sendo M.X=N podemos então encontrar os valores de x, y e z. 
A fatoração LU pode ser implementada no Matlab pela expressão ( inv(M)*N ) ou 
através do operador:
>> M\N
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Álgebra Linear: Sistemas Lineares - fatoração LU (Low/Upper) 
>>M =[1.2 6 4;5 8 0;7 12 5] >>N=[12; 3; 6]
M= N =
1.200 6.0000 4.0000 12
5.000 8.0000 0 3
7.0000 12.0000 5.0000 6
>> M\N
ans =
-3.9767
2.8605
-0.0977 
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Álgebra Linear: Sistemas Lineares - fatoração LU (Low/Upper) 
M X N
1,2 6 4
5 8 0
7 12 5
.
𝑥
𝑦
𝑧
=
12
3
6
>> M\N
ans =
-3.9767
2.8605
-0.0977 
Solução do sistema: 
x= -3.9767 y= 2.8605 z= - 0.00977
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES - Exponenciação
A expressão A^p eleva A à p-ésima potência e é definida se A é matriz 
quadrada e p um escalar. 
Se p é um inteiro maior do que um, a exponenciação é computada como
múltiplas multiplicações. 
Por exemplo, seja: 
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Exponenciação
>> A.^3
ans =
1 8 27
64 125 216
343 512 729
A exponenciação por elemento entre matrizes é definida de maneira similar à 
multiplicação por elemento, ou seja, A.^B= 𝒂𝒊𝒋𝒃𝒊𝒋, onde A e B têm mesma 
dimensão. De maneira similar, a potenciação por elemento entre uma matriz e 
um escalar apresenta as seguintes formas: 
A.^c = 𝒂𝒊𝒋𝒄 e c.^A = 𝒄𝒂𝒊𝒋
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Elementos das Matrizes
Um elemento individual da matriz pode ser indicado entre parênteses. Por exemplo:
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
a declaração
>> A(3,3) = A(1,3) + A(3,1)
resulta em
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 10
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Elementos das Matrizes
Um elemento individual da matriz pode ser indicado incluindo os seus subscritos 
entre parênteses. Por exemplo, dada a matriz A:
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
a declaração
>> A(1:3,2)
ans =
2
5
8
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• OPERAÇÕES COM MATRIZES
- Elementos das Matrizes ( ... São muitas combinações e detalhes )
Por exemplo, dada a matriz A:
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> A(1:3,2:3)
é uma submatriz 3x2, consiste das três linhas e das últimas duas colunas de A.
ans =
2 3
5 6
8 9