Questão de Análise Matemática

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Defina sequência de números reais.
Solução:
Uma sequência de números reais é uma função 
Uma sequência de números reais é uma lista ordenada e infinita , onde para cada , é um número real.
Defina sequência limitada.
Solução:
Uma sequência é dita limitada quando existir tal que para todo .
Dadas as sequencias:
Quais são limitadas? Justifique.
Solução:
Encontre (se possível) uma fórmula para representar as sequencias do item anterior.
Solução:
Defina sequência crescente, decrescente, não – decrescente e não crescente.
Solução:
Uma sequência diz – se crescente quando temos ; diz – se decrescente quando ; diz – se não – crescente quando e; não – decrescente quando temos , .
Defina sequência monótona.
Solução:
Uma sequência chame – se monótona quando se pode classificar – lá em crescente, decrescente, não crescente e não decrescente. 
Quais sequências do exercício 3 são monótonas? Justifique.
Solução: e 
Defina subsequência. Encontre duas subsequências para a sequência do item 3.5.
Solução:
É uma sequência que é a restrição da função x que define a um subconjunto infinito (Elon Lages)
Uma sequência é chamada de subsequência de se existe uma sequência estritamente crescente de números naturais tal que para todo 
Defina sequência convergente.
Solução:
Uma sequência é dita convergente quando dado, existe tal que , sempre que .
Defina sequência não convergente.
Solução:
Uma sequencia é dita não - convergente quando ; , , existe .
Mostre pela definição que a sequência converge para o número 1.
Solução: 
Seja dado . Pela propriedade arquimediana, existe tal que . Assim,
Portanto, pela definição:
Mostre pela definição que a sequência converge para o número 7.
Solução:
Seja dado qualquer. Tome tal que . Pela propriedade arquimediana temos, . Então:
Mas,
Portanto, 
Prove que se uma sequência é convergente então o limite é único.
Solução:
Se e então . 
Seja dado . Suponha que . Se e então existe tal que
Escolhendo – se , temos:
Se e , e
Logo, . Mas, é uma contradição. Pois .
Portanto, .
Prove que toda sequência convergente é limitada.
Solução:
Seja . Tomando , vemos que existe tal que . Sejam o menor e o maior elemento do conjunto finito . Todos os termos da sequência estão contidos no intervalo , logo ela é limitada.
Prove que toda sequência monótona limitada é convergente.
Solução:
Tomemos . Afirmamos . Seja dado , como , o número não é cota superior do conjunto dos . Logo, existem algum tal que Como a sequência é não – decrescente, e, portanto, . Como para todo n (pela definição de supremo), vemos que , ou seja, .
Prove que se uma sequencia converge para um limite , então qualquer subsequência de também converge para .
Solução:
Seja uma subsequência . Dado , existe tal que . Como os índices da subsequência formam um subconjunto infinito, existe entre eles um . Então, , o que por sua vez implica que . Logo, .
Dê exemplos de uma sequência limitada que não é convergente.
Solução:
Sejam e sequências tais que e . Prove que .
Solução:
Seja . E, 
Portanto, .
Quais das sequências do exercício 3 são convergentes? Justifique.
Solução:
O que significa dizer que “ tende para mais (menos) infinito”?
Solução:
Mostre pela definição que .
Solução: 
Seja dado qualquer. Pela propriedade arquimediana existe tal que .
Portanto, .
Mostre pela definição que , onde .
Solução:
Seja dado qualquer. Pela propriedade arquimediana existe tal que . Assim:
Portanto, 
Defina sequência de Cauchy.
Solução:
Uma sequência é de Cauchy quando existe tal que e .
Mostre que toda sequência convergente é de Cauchy.
Solução:
Seja . Qualquer que seja , existe tal que , então . Seja , e 
Portanto, é de Cauchy.
Defina série de Números Reais.
Solução:
Seja uma sequência de números reais. A soma infinita dos termos de , denotada por é denominada série uma série de número reais.
Defina série convergente.
Solução:
Dizemos que uma série é convergente se a sequências de somas parciais é convergente. Neste caso , onde é chamado a soma desta série.
Defina série divergente.
Solução:
Dizemos que uma série é divergente quando não existe . A divergência ocorre quando torna – se infinita ou oscila quando . 
Mostre que a série é divergente.
Solução:
Prove que se a série é uma série convergente então .
Solução:
Mostre que a série é divergente.
Solução:
Encontre .
Solução:
Note que
Mas, podemos reescrever:
Logo, suas somas parciais são:
E:
Então:
Dê um contraexemplo para reciproca do resultado do exercício 29.
Solução: