Técnicas para Cálculo de Limites

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10 
 Cálculo de Limites 
 
Técnicas para Cálculo de limites - ao calcular um limite, podemos escolher três processos básicos, ou seja, procurar determinar o limite 
graficamente (esboçar o gráfico) ou numericamente (tabelar a função) ou analiticamente (substituição direta), que veremos a seguir. 
 
Propriedades dos Limites 
 
1ª) 
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

 
 O limite da soma é a soma dos limites. 
 O limite da diferença é a diferença dos limites. 
Exemplo: 
 
  xxxx
xxx
3limlim3lim
1
2
1
2
1 

 
2ª) 
  )(lim).(lim)().(lim xgxfxgxf
axaxax 

 
 O limite do produto é o produto dos limites. 
 Exemplo: 
 
  xxxx
xxx
coslim.3limcos.3lim 33


 
3ª) 
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax









 
 O limite do quociente é o quociente dos limites desde que 
o denominador não seja zero. 
 Exemplo: 
 
1lim
coslim
1
cos
lim
2
0
0
20 









 x
x
x
x
x
x
x
 
4ª) 
  *)(lim)(lim Nnxfxf n
ax
n
ax








 
Exemplo: 
 
  *22
1
22
1
3lim3lim Nnxx
xx








 
5ª) 
),0)((0)(
)(lim)(lim
* imparénxfSexfeNn
xfxf
ax
n
ax



 
 
Exemplo: 
 
),0)((0)(
1lim1lim
*
23
2
23
2
imparénxfSexfeNn
xxxx
xx



 
6ª) 
  0)(lim)(limln)(lnlim 







xfsexfxf
axaxax
 
 
 Exemplo: 
 
  0)(limlimln)lnlim 22 







xfsexx
axexex
 
7ª) 








)(lim))((lim xfsenxfsen
axax
 
 
 Exemplo: 
 










)3(lim)3(lim 2
1
2
1
xxsenxxsen
xx
 
8ª) 
)(lim
)(lim
xf
xf
ax
cxee 

 
 
Exemplo: 
 
xx
xx
x
xee
3lim
3
1
2
1
2
lim




 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Limite de uma função polinomial 
Se
)(xfp 
é uma função polinomial e 
a
 é um número arbitrário, então 
 
)()(lim afxf
ax


 Substituição direta 
Podemos dizer que o limite pode ser calculado por substituição direta. 
Exemplo 1 
Calcule o 
253lim 2
2


xx
x
 
Solução: 
253lim 2
2


xx
x
=
2lim5lim3lim
22
2
2 

xxx
xx
 1ª Propriedade – soma ou diferença 
 = 
2)2(5)2(3 2 
 Substituição direta 
 =
4
 
O exemplo é uma ilustração da definição citada acima que afirma que o limite de um polinômio pode se calculado por substituição direta. 
Interpretação: quando x se aproxima de 2 (pela direita e pela esquerda, a função y se aproxima e 4). 
 
Exemplo 2 
3
2
23
2 34
232
lim


 xx
xxx
x
 
 
Solução 
3
2
23
2 34
232
lim


 xx
xxx
x
= 
3
2
23
2 34
232
lim


 xx
xxx
x
 5ª Propriedade – Radical 
 = 
3
2
23
3)2(4)2(
2)2(3)2(2)2(


= 
3 8
=
2
 Substituição direta 
 
 
E X E R C Í C I OS 
 
Calcule os limites. 
a) 
)253(lim 2
2


xx
x
 
b) 
34
32
lim
2
1 

 x
xx
x
 
c) 22
1 23
12
lim










 x
xx
x
 
d) 
3
2
23
2 34
232
lim


 xx
xxx
x
 
e) 2
2
23
4 292
523
lim










 xx
xxx
x
 
 
Respostas: a) 4 b) 
7
4
 c) 4 d) -2 e) 
4
9
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Casos com indeterminação 
0
0
;


;
.0
 
 
Exemplo 3 
Calcule o
xx
x
x 2
4
lim
2
2
2 


 
Solução 
xx
x
x 2
4
lim
2
2
2 


 
=
xx
x
x 2
4
lim
2
2
2 


=
)(2)2(
4)2(
2
2
x

=
0
0
 Substituição direta 
0
0
 indica INDETERMINAÇÃO e nada podemos concluir ainda sobre o limite procurado. 
Manipulando algebricamente (simplificando) a função temos: 
xx
x
2
4
2
2


 Fatorando 
= 
)2(
)2)(2(


xx
xx
 
= 
x
x )2( 
 
Considerando que no cálculo do limite de uma função, quando x tende a c, interessa o comportamento da função quando x se aproxima de c 
e não o que ocorre com a função quando x=c, concluímos: 
xx
x
x 2
4
lim
2
2
2 


 = 
x
x
x
)2(
lim
2


 
 = 
2
22 
 Substituição direta 
 =
2
 
Assim, quando ocorrer indeterminação devemos simplificar a função em seguida fazer a substituição direta. 
 
 
Exemplo 4 
353
142
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
 
 
Solução 
Fazendo substituição direta 
353
142
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
 = 
3)1(5)1(3)1(
1)1(4)1()1(2
23
23


 = 
0
0
Isso indica INDETERMINAÇÃO e nada podemos 
concluir ainda sobre o limite procurado. Devemos então tentar simplificar a função. 
Os polinômios (
142 23  xxx
) e (
353 23  xxx
) se anulam para x=1; portanto, são divisíveis por (x-1). Efetuando-se as divisões 
(
142 23  xxx
) e (
353 23  xxx
) por x – 1, obtemos: 
 






)32).(1(
)132).(1(
353
142
2
2
23
23
xxx
xxx
xxx
xxx
32
132
2
2


xx
xx
 
 
Então: 
353
142
lim
23
23
1 

 xxx
xxx
x
= 
32
132
lim
2
2
1 

 xx
xx
x
 
 = 
3)1(2)1(
1)1(3)1(2
2
2


 Substituição direta 
 = 2 
 
 
 
 
 
12 
E X E R C Í C I OS 
 
Calcule os limites 
a) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 
b) 
x
x
x 

 2
4
lim
2
2
 
c) 
1
1
lim
2
3
1 

 x
x
x
 
d) 
3
4
2 8
16
lim
x
x
x 


 
e) 
2
33
lim
23
23
1 

 xx
xxx
x
 
f) 
132
243
lim
23
23
1 

 xx
xxx
x
 
 
Respostas: a) 2 b) 4 c) 
2
3
 d) 
3
8

 e) 
5
4

 f) 
3
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5 
 










13
1
1
23
)(
2
xse
xse
x
xx
xf
 
Calcule o 
)(lim
1
xf
x
 
Solução 
Como no cálculo do limite de uma função, quando x tende a 
a
 
 ax
, interessa o comportamento da função quando 
x
 se aproxima de 
a
 e não o que ocorre com a função quando 
 ax 
. Assim na função acima, mesmo que 
1
232


x
xx
 seja para valores de 
1x
 
podemos calcular o limite dessa função quando x tende a 1 (iremos analisar o comportamento da função nas proximidades de 1 e não 
exatamente no 
 1x
. 
)(lim
1
xf
x
= 
1
23
lim
2
1 

 x
xx
x
= 
0
0
 INDETERMINAÇÃO=
)1(
)2)(1(
lim
1 

 x
xx
x
 Fatorando 
 =
)2(lim
1


x
x
= 
1
 Substituição direta 
 
 
Exemplo 6 










13
11
14
)(
2
xsex
xse
xsex
xf
 Calcule os limites:
)(lim
1
xf
x 
 e 
)(lim
1
xf
x 
 
Solução 
)(lim
1
xf
x 
- deseja-se calcular o limite da função para valores de x se aproximando de 1 pela direita, ou seja, 
1x
 . Para 
1x
temos: 
2)3(lim
1


x
x
 
 
)(lim
1
xf
x 
- deseja-se calcular o limite da função para valores de x se aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, 
1x
 . Para 
1x
temos 
 
)(lim
1
xf
x 
 = 
34lim 2
1


x
x
 
Como os limites laterais são diferentes, dizemos que 
)(lim
1
xf
x
 não existe. 
 
 
Funções definidas por mais de uma sentença 
 
13 
E X E R C Í C I OS 
 
a) Seja a função f definida por: 










23
2
2
232
)(
2
xse
xse
x
xx
xf
 
Calcule o 
)(lim
2
xf
x
 
 
 
b) Seja a função f definida por: 










33
3
3
992
)(
2
xse
xse
x
xx
xf
 
Calcule o 
)(lim
3
xf
x 
 
 
c) Seja a função f definida por: 
 









114
12
123
)(
xsex
xse
xsex
xf
 
Calcule os limites:
)(lim
1
xf
x 
 ; 
)(lim
1
xf
x 
 e 
)(lim
1
xf
x
 
 
d) Seja a função f definida por: 






14
123
)(
xsex
xsex
xf
 
Calcule os limites: 
)(lim
1
xf
x 
 ; 
)(lim
1
xf
x 
 e 
)(lim
1
xf
x 
 
e) Dada função f definida por 









15
13
123
)(
xseax
xse
xsex
xf
 
Determine 
a
para que exista 
)(lim
1
xf
x 
. 
Respostas: a) 5 b) -3 c) 1 5 não existe d) 5 5 5 e) -10 
 
 
 
 
Casos com divisão por zero: 
0
c
 ; c é um número qualquer diferente de zero. LIMITES INFINITOS 
 
Exemplo 7 
Ache o limite
21 )1(
23
lim


 x
x
x
 
Solução 
21 )1(
23
lim


 x
x
x
 = 
0
5
)11(
2)1(3
2



 NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO. Assim, o limite da função não existe, ou seja, o limite a esquerda é 
diferente do limite lateral direito, mas, isso não impede que calculemos separadamente os limites laterais. Nessas situações é recomendado 
tabelar a função quando 
x
 se aproxima de 1 para chegarmos a uma conclusão. 
 
 
 
1x 
1x
 0 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,999999 
2)1(
23
)(



x
x
xf
 
2 14 470 49.700 4.997.000 499.970.000 
4.999.996.999.712 
 
 
)(xf
 
 
14 
 
 
 
1x 
1x
 1 1,1 1,5 1,01 1,001 1,0001 1,000001 
2)1(
23
)(



x
x
xf
 
8 26 530 50.300 5.003.000 500.030.000 
5.000.003.000.822 
 
 
)(xf
 
“
)(xf
cresce sem limitação quando 
x
tende a 1 ” 
 




2
1 )1(
23
lim
x
x
x
 e 




2
1 )1(
23
lim
x
x
x
 logo, 



 21 )1(
23
lim
x
x
x
 
 
 
Esboçando o gráfico confirmamos tal comportamento: 
 
100
10100
20100
30100
40100
50100
0,8 1 1,2
 
 
 Vejamos como chegar à mesma conclusão sem construir a tabela (muito cansativo)!!! 
 
Sejam 
)(xf
 e 
)(xg
 duas funções tais que 
0)(
)(
lim
c
xg
xf
ax






)(lim xf
ax
= c
0
 e 





0)(lim xg
ax
. Então, 
 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 se 
)(
)(
xg
xf
0
 quando x está próximo de a; 
 
 

 )(
)(
lim
xg
xf
ax
 se 
)(
)(
xg
xf
0
 quando x está próximo de a; 
 
 
Exemplo 8 
Calcule 
21 )1(
23
lim


 x
x
x
 
Solução: 
)(
)(
lim
xg
xf
ax
=
21 )1(
23
lim


 x
x
x
 
 =
21 )1(
23
lim


 x
x
x
 Substituição direta 
 =
21 )1(
23
lim


 x
x
x
= 
0
5
)11(
2)1(3
2



 Esse resultado não existe na matemática!!! 
Para calcularmos o limite sem precisar tabelar a função, atribua valores a x pela esquerda: 
1x
, por exemplo, x = 0,9 e substitua na 
função: 
2)1(
23


x
x
 =
470
)19,0(
2)9,0(3
2



. Como 
0470
 podemos concluir que 




2
1 )1(
23
lim
x
x
x
 
 
Atribua valores a x pela direita: 
1x
, por exemplo, x=1,1 e substitua na função: 
2)1(
23


x
x
= 
530
)11,1(
2)1,1(3
2



. Como 
530 0
 
concluímos que 




2
1 )1(
23
lim
x
x
x
 
Assim, 



 21 )1(
23
lim
x
x
x
 (lembre-se que o limite não existe - infinito não é número). 
1 
Observem que o gráfico apresenta um assíntota vertical (reta vertical) em 
1x
. Nesse ponto a função tende a infinito positivo. 
 
 
15 
Exemplo 9 
Calcule o
1
12
lim
1 

 x
x
x
 
Solução 
1
12
lim
1 

 x
x
x
= 
11
1)1(2


= 
0
3
. O limite não existe! Mas podemos calcular os limites laterais: 
1
12
lim
1 

 x
x
x
 e 
1
12
lim
1 

 x
x
x
. 
 
Atribua valores a x pela esquerda de 1,
1x
: 
x = 0,9 e substitua na função: 
1
12


x
x
 = 
28
1)9,0(
1)9,0(2



0
 podemos concluir que 



 1
12
lim
1 x
x
x
 
 
Atribua valores a x pela direita,
1x
 
x=1,1 e substitua na função: 
1
12


x
x
= 
32
11,1
1)1,1(2



0
 concluir que 



 1
12
lim
1 x
x
x
 
Assim, 



 1
12
lim
1 x
x
x
 e 



 1
12
lim
1 x
x
x
 
 
 
E X E R C Í C I OS 
 
Calcule os limites 
a) 
2
4
lim
2 

 x
x
x
 
b) 
2
4
lim
2 

 x
x
x
 
c) 
3
21
lim
3 

 x
x
x
 
d) 
3
21
lim
3 

 x
x
x
 
e) 
 3
2
2 2
532
lim
x
xx
x 


 
f) 
 3
2
2 2
532
lim
x
xx
x 


Respostas: a) 

 b) 

 c) 

 d) 

 e) 

 f) 

 
 
 
 
 
LIMITES NO INFINITO 
 
x
 
1ª.
n
x
x

lim
= 

 se n é um número inteiro e positivo 
2ª.
n
x
x)(lim 

= 





.ª2
.ª2
bímparénse
aparénse
 
 
x
 
 
3ª.
n
x
x)(lim 

= 

 se n é um número inteiro e positivo 
4ª.
n
x
x

lim
= 




.ª4
.ª4
bímparénse
aparénse
 
 
16 
Exemplo 10 
 
x
 
1ª 


5lim x
x
 expoente n inteiro e positivo 


2lim x
x
 
 
 
2ª 
a. 


2)(lim x
x
( n é par) 
b. 


5)(lim x
x
 (n é ímpar)
x
 
3ª. 


5)(lim x
x
 n é um número inteiro e positivo 
4ª a. 


2lim x
x
 n é par 
4ª b. 


5lim x
x
 n é ímpar 
 
 
 
Se n é um número inteiro e positivo Se n é um número inteiro e negativo 
5ª.
nx x
1
lim

= 
0
 7ª. 
nx x
1
lim
= 
n
x
x

lim
= Aplicar a 1ª propriedade = 
n
x
x

lim
= 

 
6ª.
nx x
1
lim

= 

 8ª.
nx x
1
lim
= 
0
 
 
Exemplo 11 
5ª.
3
1
lim
xx 
= 
0
 
6ª.
3
1
lim
xx 
= 

 
7ª. 
3
1
lim
 xx
= 
3lim x
x 
 
Aplicar 1ª propriedade 


n
x
xlim
 


3lim x
x
 
8ª. 
3
1
lim
 xx
= 0 
 
 
 
9ª. Se 
0,...)( 2210  n
n
n axaxaxaaxf
é uma função polinomial, então: 
 
n
n
x
xaxaxaa 

...lim 2210
= 
n
n
x
xa

lim
 e, 
 
n
n
x
xaxaxaa 

...lim 2210
=
n
n
x
xa

lim
 onde 
n
nxa
é o termo de maior grau do polinômio. 
 
Exemplo 12 
xxx
x
33lim 45 

= 
53lim x
x 
 
Aplicando a 1ª propriedade: 
n
x
x

lim
= 

 temos 
53lim x
x 
= 

 
xxx
x
33lim 45 

= 
53lim x
x 
 
Aplicando a 4ªb propriedade: 
n
x
x

lim
ímparénse
 temos 
53lim x
x 
= 

 
 
 
 
 
 
17 
 
Se 
0,...)( 2210  n
n
n axaxaxaaxf
 
 
0,...)( 2210  m
m
n bxbxbxbbxg
 
 
)(
)(
lim
xg
xf
x 
= 
m
m
n
n
x xbxbxbb
xaxaxaa


 ...
...
lim
2
210
2
210
 = 
m
m
n
n
x xb
xa

lim
= 
mn
n
n
x
x
b
a 

lim
 Aplicar a propriedade mais conveniente (já citada 
acima) dependendo do sinal da variável x e do expoente (n-m). 
 
)(
)(
lim
xg
xf
x 
= 
m
m
n
n
x xbxbxbb
xaxaxaa


 ...
...
lim
2
210
2
210
 =
m
m
n
n
x xb
xa

lim
= 
mn
n
n
x
x
b
a 

lim
 Aplicar a propriedade mais conveniente (já 
citada acima) dependendo do sinal da variável x e do expoente (n-m). 
 
Exemplo 13 
1022
332
lim
34
346


 xx
xxxx
x
= 
4
6
2
2
lim
x
x
x 
 Simplificar 
 = 
2lim x
x 
 Aplicar 1ª propriedade 
 = 

 
 
1022
332
lim
37
346


 xx
xxxx
x
=
7
6
2
2
lim
x
x
x 
 Simplificar 
 = 
1lim 

x
x
= 
xx
1
lim

 Aplicar a 5ª propriedade 
 = 0 
E X E R C Í C I OS 
 
Calcule os limites 
a) 
254lim 2 

xx
x
 
b) 
2523lim 23 

xxx
x
 
c) 
2345lim 23 

xxx
x
 
d) 
2373lim 34 

xxx
x
 
e) 
2373lim 33 

xxx
x
 
 
Respostas: a) 

 b) 

 c) 

 d) 

 e) 

 
 
 
Calcule os limites 
a) 
15
23
lim


 x
x
x
 
b) 
32
45
lim


 x
x
x
 
c) 
23
345
lim
2


 x
xx
x
 
d) 
253
14
lim
2 

 xx
x
x
 
e) 
2653
43
lim
23
2


 xxx
xx
x
 
f) 
1
1
lim
2
3


 x
x
x
 
g) 
18
4
lim
5
4


 x
x
x
 
 
Respostas: a) 
5
3
 b) -2 c) 

 d) 0 e) 0 f) 

 g) 0