Aula 3 Limites Fundamentais

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1 
 
Limites fundamentais 
 
Os três limites abaixo são denominados limites fundamentais e podem ser utilizados no cálculo de outros limites, quando necessário. A 
demonstração será omitida aqui, porém é aconselhável que os estudantes façam a verificação através da visualização gráfica e/ou com a 
construção de tabelas. 
 
1º Limite Fundamental: “Se x é um arco em radianos e sen x é a medida do seno desse arco; então quando o arco x tender a zero, o 
limite da divisão do valor de seno de x pela medida do arco x será igual a 1” 
 
1
sen
lim
0

 x
x
x
 
Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 
rad. Nestas condições, o valor de senx será igual a sen 0,0001 = 0,00009999, (obtido numa calculadora científica). Efetuando-se o 
quociente, vem: 
199999,0
0001,0
00009999,0

x
senx
. Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o valor do quociente
x
senx
 se 
aproximará do valor 1, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função. 
 
 
Exemplo 1 
Calcule o limite: 
x
senx
x 5
lim
0
 
Solução 
A técnica de cálculo de limites consiste, na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais, 
facilitando assim, as soluções procuradas. 
x
senx
x 5
lim
0
 
x
senx
x
.
5
1
lim
0

 
x
senx
xx 00
lim.
5
1
lim


 2ª Propriedade dos Limites: “O limite do produto é o produto dos limites” (consultar página 10). 
1.
5
1

 
5
1

 
 
 
 
Exemplo 2 
Calcule o limite: 
x
xsen
x
3
lim
0
 
Solução 
x
xsen
x
3
lim
0
 
3
lim
0 u
senu
u

 Mudança de variável: fazendo xu 3 , temos 
3
u
x 
 
Como 
0x
 e 
xu 3
 teremos 
0u
 
u
senu
u
senu
uu
3lim
.3
lim
00 

 
u
senu
uu 00
lim.3lim


 2ª Propriedade dos Limites: “O limite do produto é o produto dos limites” (consultar página 10). 
3
1.3


 
 
 
 
 
2 
Exemplo 3 
Calcule o limite: 
x
xtg
x 0
lim

 
Solução 
x
xtg
x 0
lim

 
x
x
senx
x
coslim
0

 
 
xx
senx
x
1
.
cos
lim
0

 
xx
senx
x cos
1
.lim
0

 
xx
senx
xx cos
1
lim.lim
00 

 2ª Propriedade dos Limites: “O limite do produto é o produto dos limites” (consultar página 10). 
0cos
1
lim.1
0

x
 Calcular o 
xx cos
1
lim
0

por substituição direta. 
11.1 
 
 
 
E X E R C Í C I OS 
 
Calcule os limites 
a)
x
xsen
x
2
lim
0
 
b) 
x
xsen
x 2
3
lim
0
 
c)
xsen
xsen
x 5
3
lim
0
 
Respostas: a) 
2
 b) 
2
3
 c) 
5
3
 
 
 
 
 
 
2º Limite Fundamental: 
e
x
x
x








1
1lim
 onde 
...71828,2e
número de Euler 
 
Exemplo 1 Calcule o limite: x
x x
2
1
1lim 







 
Solução: 
x
x x
2
1
1lim 







 
2
1
1lim
















x
x x
 Aplicando propriedade de potência 
mnmn aa .)( 
 
2
1
1lim
















x
x x
 3ª Propriedade dos Limites: 
  n
ax
n
ax
xfxf 







)(lim)(lim
 
  22 ee 
 
 
 
 
3 
Exemplo 2 
Calcule o limite: x
x x
2
4
3
1lim 







 
Solução: 
x
x x
2
4
3
1lim 







 
4
3
.2
1
1lim
u
u u








 
Mudança de variável: fazendo 
xu 4
31

, temos 
4
3u
x 
 
Como 
x
 e 
3
4x
u 
 teremos 
u
 
u
u
u
u uu
.
2
3
2
3
1
1lim
1
1lim 













 
2
3
1
1lim
















u
u u
 
3ª Propriedade dos Limites: 
  n
ax
n
ax
xfxf 







)(lim)(lim
 
  2
3
2
3
ee 
 
 
 
 
Exemplo 3 
Calcule o limite: 
 x
x
x
1
0
1lim 

 
Solução: 
 x
x
x
1
0
1lim 

 
u
u u








1
1lim
 
Mudança de variável: fazendo 
x
u
1

, temos 
u
x
1

 
Como 
0x
 e 
x
u
1

 teremos 
u
 
e
 
 
 
E X E R C Í C I OS 
 
Calcule os limites 
a) x
x x








3
1lim
 
b) x
x x









1
1
1lim
 
c) 2
2
1lim









x
x x
 
d) x
x x








1
1lim
 
Respostas: a) 
3e
 b) 
e
1
 c) 
2e
 d) 
e
1
 
 
 
 
 
 
 
4 
3º Limite Fundamental: “ Seja um valor exponencial 
x
b
, onde b é a base, positiva e diferente de 1. Sendo x o expoente, um numero 
real qualquer temos que: se o número x tender a zero então a expressão
x
b
x
1
 assumirá o valor de 
bln
. 
b
x
bx
x
ln
1
lim
0



 
 
Exemplo 1 
Calcule o limite: 
x
e x
x
1
lim
3
0


 
Solução 
x
e x
x
1
lim
3
0


 
3
1
lim
0
u
eu
u



 
Mudança de variável: fazendo 
xu 3
, temos 
3
u
x 
 
Como 
0x
 e 
xu 3
 teremos 
0u
 
u
eu
u
3
.1lim
0


 
3.
1
lim
0 u
eu
u



 
u
eu
uu
1
lim.3lim
00



 2ª Propriedade dos Limites: “O limite do produto é o produto dos limites” (consultar página 10). 
eln.3
 
3
 
 
Exemplo 2 
Calcule o limite: 
1
1
lim
3
2
0 


x
x
x e
e
 
Solução 
1
1
lim
3
2
0 


x
x
x e
e
 
x
e
x
e
x
x
x 1
1
lim
3
2
0 



 Dividindo o numerador e denominador da função dada por x ( a expressão não se altera). 
x
e
x
e
x
x
x
x
1
lim
1
lim
3
0
2
0




 
 3ª Propriedade de Limites “O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.” 
(consultar página 10) 
3
1
lim
2
1
lim
0
0
u
e
u
e
u
x
u
x





 
Resolvendo separadamente os limites do numerador e denominador : 
Denominador: Mudança de variável fazendo: 
xu 3
, temos 
3
u
x 
 
Como 
0x
 e 
xu 3
 teremos 
0u
 
 
Numerador: Mudança de variável fazendo: 
xu 2
, temos 
2
u
x 
 
Como 
0x
 e 
xu 2
 teremos 
0u
 
 
5 
u
e
u
e
u
x
u
x
1
.3lim
1
.2lim
0
0




 
u
e
u
e
u
xx
u
xx
1
lim.3lim
1
lim.2lim
00
00




 2ª Propriedade dos Limites: “O limite do produto é o produto dos limites” (consultar página 10). 
3
2
ln3
ln2


e
e
 
 
Exemplo 3 
Calcule o limite: 
2
255
lim
2 

 x
x
x
 
Solução 
2
255
lim
2 

 x
x
x
 
uu
u
255
lim
2
0


 
Mudança de variável: fazendo 
2 xu
, temos 
2 ux
 
Como 
0x
 e 
2 xu
 teremos 
0u
 
u
u
u
22
0
55.5
lim


 Propriedade de potências 
u
u
u
)15(5
lim
2
0


 Fatorar: Fator comum em evidência 
u
u
uu
15
lim.5lim
0
2
0


 2ª Propriedade dos Limites: “O limite do produto é o produto dos limites” (consultar página 10). 
5ln.25
 
 
 
E X E R C Í C I OS 
 
Calcule os limites 
a) 
x
e x
x
1
lim
2
0


 
b) 
x
x
x
12
lim
3
0


 
c) 
12
13
lim
5
2
0 

 x
x
x
 
d) 
2
lim
2
2 

 x
eex
x
 
e) 



 2
93
lim
2 x
x
x
 
Respostas: a) 2 b) 
2ln3
 
c) 
2ln3
3ln2
 d) 2e 
e) 
3ln9