Portfólio Cálculo Equações Diferenciais

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ENGENHARIA MECATRÔNICA – N2CI2A 
 
JOSÉ ROBERTO DA SILVA NETO – RA 245522015 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTFÓLIO DE CÁLCULO 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
............................................................................................................................... 
Guarulhos 
2018 
 
 
 
 
JOSÉ ROBERTO DA SILVA NETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PORTFÓLIO DE CÁLCULO 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao Curso de Bacharelado 
em Engenharia Mecatrônica do Centro 
Universitário ENIAC para a disciplina de Cálculo – 
Equações Diferenciais. 
 
Prof. Washington de Mendonça 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guarulhos 
2018 
 
 
1)Resolva as equações: 
 
a) 𝑦−1𝑑𝑦 + 𝑦𝑒cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0 
 
𝑦−1𝑑𝑦 + 𝑦𝑒cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0: 𝑦 = −
 1 
𝑐1 + 𝑒cos (𝑥)
 
 
1
𝑦
𝑑𝑦 + 𝑦𝑒cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 0 
 
Seja y a variável dependente, vamos dividir por dx: 
 
1
𝑦
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦) + 𝑦𝑒cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 
 
Reescrevendo como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem de 
variáveis separáveis e resolvendo: 
 
1
𝑦2
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦) = −𝑒cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥): −
1
𝑦
= 𝑒cos(𝑥) + 𝑐1 
 
Assim sendo, se 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = 𝑴(𝒙)𝒅𝒙 , logo ∫ 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = ∫ 𝑴(𝒙)𝒅𝒙. Portanto: 
 
∫
1
𝑦2
𝑑𝑦 = ∫ −𝑒cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
 
Vamos integrar cada lado dessa equação, primeiro removendo a constante: 
 ∫ 𝒂 . 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 . ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 
 
= − ∫ 𝑒cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 
 
Agora vamos aplicar a integração por substituição: 𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 
 
= − ∫ −𝑒𝑢𝑑𝑢 
 
 
 
 
 
 
Removendo a constante: ∫ 𝒂 . 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒂 . ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 
 
= −(− ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢) 
 
Aplicando a regra de integração: ∫ 𝒆𝒖𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 
 
= −(−𝑒𝑢) 
 
Substituindo na equação 𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) 
 
= −(−𝑒cos (𝑥)) 
 
Simplificando e adicionando uma constante à solução: 
 
= 𝑒cos (𝑥) + 𝑐1 
 
Continuando, agora na primeira parte da equação: 
 
∫
1
𝑦2
𝑑𝑦 = −
1
𝑦
+ 𝑐2 
 
Vamos usar a propriedades dos expoentes: 
𝟏
𝒂𝒏
= 𝒂−𝒏 
 
∫
1
𝑦2
𝑑𝑦 ∴ 
1
𝑦2
= 𝑦−2 ∴ ∫ 𝑦−2 𝑑𝑦 
 
Agora, aplicando a regra da potência: ∫ 𝒙𝒂 𝒅𝒙 = 
𝒙𝒂+𝟏
𝒂+𝟏
, 𝒂 ≠ −𝟏 
 
𝑦−2+1
−2 + 1
 ∴ 
𝑦−1
−1
 
 
E então, aplicando a propriedade 
𝒂
−𝒃
= − 
𝒂
𝒃
, a regra 
𝒂
𝟏
= 𝒂 e a propriedade dos 
expoentes 𝒂−𝟏 = 
𝟏
𝒂
, teremos: 
 
𝑦−1
−1
 ∴ −
𝑦−1
1
 ∴ -𝑦−1 ∴ −
1
𝑦
 
 
 
 
 
Adicionando uma constante à solução, 
𝒅𝑭(𝒙)
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙) então ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =
𝑭(𝒙) + 𝒄𝟐 
 
= −
1
𝑦
+ 𝑐2 ∴ −
1
𝑦
+ 𝑐2 = 𝑒
cos(𝑥) + 𝑐1 
 
assim combinando as constantes. Logo, isolando y e simplificando (com troca 
de lados): 
 
−
1
𝑦
𝑦 = 𝑒cos(𝑥)𝑦 + 𝑐1𝑦 ∴ −1 = 𝑒
cos(𝑥)𝑦 + 𝑐1𝑦 ∴ 𝑒
cos(𝑥)𝑦 + 𝑐1𝑦 = −1 
 
E finalmente, fatorar e dividir ambos os lados por 𝒄𝟏 + 𝒆
𝒄𝒐𝒔(𝒙) 
 
𝑦(𝑐1 + 𝑒
𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = −1 ∴ 
𝑦(𝑐1 + 𝑒
𝑐𝑜𝑠(𝑥))
𝑐1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠
(𝑥)
= 
−1
𝑐1 + 𝑒𝑐𝑜𝑠
(𝑥)
 ∴ 𝑦 = −
 1 
𝑐1 + 𝑒cos (𝑥)
 
 
 
 
b) (𝑥 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑒𝑥
2
𝑦𝑑𝑦 = 0 
 
Seja y a variável dependente, vamos dividir por dx: 
 
𝑥 + 𝑥𝑦2 + 𝑒𝑥
2
𝑦
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦) = 0 
 
Reescrevendo como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem de 
variáveis separáveis e resolvendo: 
 
𝑦
𝑦2 + 1
 .
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦) = −𝑒−𝑥
2
𝑥 
 
 
Assim sendo, se 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = 𝑴(𝒙)𝒅𝒙 , logo ∫ 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = ∫ 𝑴(𝒙)𝒅𝒙. Portanto: 
 
∫
𝑦
𝑦2 + 1
𝑑𝑦 = ∫ −𝑒−𝑥
2
𝑥𝑑𝑥 
 
Vamos remover a constante e integrar cada lado da equação 
 
 
 
 
 
= − ∫ 𝑒−𝑥
2
𝑥𝑑𝑥 ∴ = − ∫ −
𝑒
2
𝑢
𝑑𝑢 ∴ = − (−
1
2
 . ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢) ∴ = − (−
1
2
 𝑒𝑢) ∴ 
= − (−
1
2
 𝑒−𝑥
2
) ∴ =
1
2
𝑒−𝑥
2
 ∴ =
1
2
𝑒−𝑥
2
+ 𝑐1 
 
 
= ∫
1
2𝑢
𝑑𝑢 ∴ =
1
2
. ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 ∴ =
1
2
. ln(𝑢) ∴ =
1
2
. ln(𝑦2 + 1) ∴ 
=
1
2
. ln(𝑦2 + 1) + 𝑐2 
 
Agora, devemos juntar os dois termos da equação e cobinar os constantes 
 
 
1
2
. ln(𝑦2 + 1) + 𝑐2 = 
1
2
𝑒−𝑥
2
+ 𝑐1 ∴ 
1
2
. ln(𝑦2 + 1) = 
1
2
𝑒−𝑥
2
+ 𝑐1 
 
Tudo “bem explicadinho”, chegou a hora de resolver a equação e isolar o y 
 
 
 
1
2
. ln(𝑦2 + 1) =
1
2
𝑒−𝑥
2
+ 𝑐1 ∴ 𝑦 = −√𝑒2𝑐1+𝑒
−𝑥2
− 1 , 𝑦 = √𝑒2𝑐1+𝑒
−𝑥2
− 1 
 
Agora é só simplificar as constantes 
 
𝑦 = −√𝑒𝑐1+𝑒−𝑥
2
− 1 , 𝑦 = √𝑒𝑐1+𝑒−𝑥
2
− 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Resolva o problema de valor inicial 
𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑥2 − 𝑥 − 2
(𝑥 + 1)(𝑦 + 1)
, 𝑦(1) = 1 
 
𝑥2
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦) =
4𝑥2 − 𝑥 − 2
(𝑥 + 1)(𝑦 + 1)
, 𝑦(1) = 1: 𝑦 =
√2 . √2𝑥 + 𝑥2 ln(𝑥) + 3𝑥2 ln(𝑥 + 1) − 3𝑥2 ln(2) − 𝑥
𝑥
 
 
Reescrevendo como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem de 
variáveis separáveis 𝑵(𝒚). 𝒚’ = 𝑴(𝒙) e resolvendo 𝑵(𝒚) = 𝒚 +
𝟏 , 𝑴(𝒙) = 
𝟒𝒙𝟐−𝒙−𝟐
𝒙𝟑+𝒙𝟐
 : 
 
(𝑦 + 1)
𝑑
𝑑𝑥
(𝑦) =
4𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥3 + 𝑥2
 
 
 
Portanto, se 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = 𝑴(𝒙)𝒅𝒙 então ∫ 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = ∫ 𝑴(𝒙)𝒅𝒙 , até uma 
constante 
 
∫ 𝑦 + 1𝑑𝑦 = ∫
4𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥3 + 𝑥2
𝑑𝑥 
 
Portanto, devemos integrar cada lado da equação. Comecemos por tirar a 
fração parcial e depois fatorar. 
 
4𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥3 + 𝑥2
 ∴ =
4𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥2(𝑥 + 1)
 ∴ 
4𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥2(𝑥 + 1)
=
𝑎0
𝑥
+
𝑎1
𝑥2
+
𝑎2
𝑥 + 1
 
 
Multiplicaremos a equação pelo denominador e depois a simplificaremos 
 
𝑥2(4𝑥2 − 𝑥 − 2)(𝑥 + 1)
𝑥2(𝑥 + 1)
= 
𝑎0𝑥
2(𝑥 + 1)
𝑥
+
𝑎1𝑥
2(𝑥 + 1)
𝑥2
+
𝑎2𝑥
2(𝑥 + 1)
𝑥 + 1
 
 
4𝑥2 − 𝑥 − 2 = 𝑎0𝑥(𝑥 + 1) + 𝑎1(𝑥 + 1) + 𝑎2𝑥
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, resolveremos os parâmetros desconhecidos através das raízes reais 
dos denominadores. Inserindo x=0 na equação, teremos: 
 
4. 02 − 0 − 2 = 𝑎0. 0. (0 + 1) + 𝑎1(0 + 1) + 𝑎2. 0
2 ∴ −2 = 𝑎1 
 
Inserindo x=-1 na equação, teremos: 
 
4. (−1)2 − (−1) − 2 = 𝑎0. (−1). ((−1) + 1) + 𝑎1((−1) + 1) + 𝑎2. (−1)
2 ∴ 3 = 𝑎2 
 
Desta forma obtemos 𝑎1 = −2 e 𝑎2 = 3, então expandimos e arranjamos de 
acordo com as potências de x: 
 
4𝑥2 − 𝑥 − 2 = 𝑎0𝑥
2 + 𝑎0𝑥 − 2𝑥 − 2 + 3𝑥
2 
 
4𝑥2 − 1. 𝑥 − 2 = 𝑥2(𝑎0 + 3) + 𝑥(𝑎0 − 2) − 2 
 
Assumimos 𝑎0 − 2 = −1, logo 𝑎0 = 1 
 
Transformando em fração parcial e depois simplificando 
 
1
𝑥
+
(−2)
𝑥2
+
3
𝑥 + 1
 ∴ −
2
𝑥2
+
3
𝑥 + 1
+
1
𝑥
 
 
Prosseguindo com a integralização e aplicando a regra da soma ∫ 𝒇(𝒙) ±
𝒈(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 
 
= ∫ −
2
𝑥2
+
3
𝑥 + 1
+
1
𝑥
𝑑𝑥 ∴ ∫
2
𝑥2
𝑑𝑥 = −
2
𝑥
 ∴ ∫
3
𝑥 + 1
𝑑𝑥
= 3 𝑙𝑛(𝑥 + 1) ∴ ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 
 
 
Que simplificada e adicionada de uma constante ( 
𝒅𝑭(𝒙)
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙) então 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒄𝟏) fica: 
 
=
2
𝑥
+ 3 𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 𝑙𝑛 (𝑥)+𝑐1 
 
Integralizando e aplicando a regra da soma ∫ 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ±
∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 agora no outro lado da equação: 
 
 
 
 
∫ 𝑦 + 1𝑑𝑦 ∴ = ∫ 𝑦𝑑𝑦 + ∫ 1𝑑𝑦 
 
Agora, aplicando a regra da potênciae simplificando: ∫ 𝒙𝒂 𝒅𝒙 = 
𝒙𝒂+𝟏
𝒂+𝟏
, 𝒂 ≠
 −𝟏 
 
∫ 𝑦𝑑𝑦 ∴ =
𝑦1+1
1 + 1
 ∴ = 
𝑦2
2
 
 
Integrando uma constante ∫ 𝒂𝒅𝒙 = 𝒂𝒙 
 
∫ 1𝑑𝑦 ∴ = 1. 𝑦 ∴ = 𝑦 
 
Que simplificada e adicionada de uma constante ( 
𝒅𝑭(𝒙)
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙) então 
∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒄𝟐) fica: 
 
= 
𝑦2
2
+ 𝑦 + 𝑐2 
 
Agora, combinemos as constantes e vamos resolver aplicando as condições 
iniciais, substituindo x por 1 (usando a condição inicial y(1)=1): 
 
𝑦2
2
+ 𝑦 + 𝑐2 = 
2
𝑥
+ 3 𝑙𝑛(𝑥 + 1) + 𝑙𝑛 (𝑥)+𝑐1 
 
 
12
2
+ 1 = 
2
1
+ 3 𝑙𝑛(1 + 1) + 𝑙𝑛 (1)+𝑐1 
 
Isolaremos agora 𝑐1, invertendo os lados da equação e simplificando: 
 
2
1
+ 3 𝑙𝑛(1 + 1) + 𝑙𝑛 (1)+𝑐1 = 
12
2
+ 1 
 
2 + 3 𝑙𝑛(2) + 𝑙𝑛 (1)+𝑐1 − (2 + 3 𝑙𝑛(2) + 𝑙 𝑛(1)) = 
3
2
 - (2 + 3 𝑙𝑛(2) + 𝑙𝑛 (1)) 
 
𝑐1 = −3 𝑙𝑛(2) − 
1
2
 ∴ 
2
1
+ 3 𝑙𝑛(2) + 𝑙𝑛 (1)+(−3 𝑙𝑛(2) − 
1
2
 ) = 
12
2
+ 1 
 
Verificadas as condições iniciais, chega-se ao resultado: 
 
𝑦 
 
 
=
√2 . √2𝑥 + 𝑥2 ln(𝑥) + 3𝑥2 ln(𝑥 + 1) − 3𝑥2 ln(2) − 𝑥
𝑥
 
 
 
3) Encontre a solução para o problema de valor inicial: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑦 − 2𝑦𝑡 
 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑦) = 2𝑦 − 2𝑦𝑡, 𝑦(0) = 3: 𝑦 = 3𝑒−𝑡
2+2𝑡 
 
Reescrevendo como uma equação diferencial ordinária de primeira ordem de 
variáveis separáveis 𝑵(𝒚). 𝒚’ = 𝑴(𝒙) e resolvendo 𝑵(𝒚) =
𝟏
𝒚
 , 𝑴(𝒙) = −𝟐𝒕 +
𝟐 
 
1
𝑦
 .
𝑑
𝑑𝑡
 (𝑦) = −2𝑡 + 2 
 
Portanto, se 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = 𝑴(𝒙)𝒅𝒙 então ∫ 𝑵(𝒚)𝒅𝒚 = ∫ 𝑴(𝒙)𝒅𝒙 , até uma 
constante 
 
∫
1
𝑦
𝑑𝑦 = ∫ −2𝑡 + 2𝑑𝑡 
 
Vamos integrar cada lado da equação, aplicar a regra da soma ∫ 𝒇(𝒙) ±
𝒈(𝒙)𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙 , remover a constante ∫ 𝒂 . 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 =
𝒂 . ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 , aplicar a regra de potência ∫ 𝒙𝒂 𝒅𝒙 = 
𝒙𝒂+𝟏
𝒂+𝟏
, 𝒂 ≠ −𝟏 e 
simplificar 
 
∫ −2𝑡 + 2𝑑𝑡 ∴ = − ∫ 2𝑡𝑑𝑡 + ∫ 2𝑑𝑡 
∫ 2𝑡𝑑𝑡 ∴ = 2 . ∫ 𝑡𝑑𝑡 ∴ = 2 .
𝑡1+1
1+1
 ∴ = 2 .
𝑡2
2
 ∴ = 
𝑡2 .2
2
 ∴ = 𝑡2 
∫ 2𝑑𝑡 ∴ = 2𝑡 
∴ = −𝑡2 + 2𝑡 
 
e adicionada de uma constante ( 
𝒅𝑭(𝒙)
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙) então ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) +
 𝒄𝟏) fica: = −𝑡
2 + 2𝑡 + 𝑐1 
 
 
 
 
Aplicando a regra de integração: ∫
1
𝑦
𝑑𝑦 = 𝑙𝑛(𝑦) 
Adicionando uma constante ( 
𝒅𝑭(𝒙)
𝒅𝒙
= 𝒇(𝒙) então ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝒄𝟐) 
fica: = 𝑙𝑛(𝑦) + 𝑐2 ∴ 𝑙𝑛(𝑦) + 𝑐2 = −𝑡
2 + 2𝑡 + 𝑐1 , onde faremos a 
combinação das constantes 
 
 𝑙𝑛(𝑦) = −𝑡2 + 2𝑡 + 𝑐1 
 
Agora vamos aplicar as condições iniciais, substituindo t=0 e usando a 
condição inicial y(0)=3 
 
𝑙𝑛(𝑦(0)) = −02 + 2 . 0 + 𝑐1 ∴ 𝑙𝑛(3) = −0
2 + 2 . 0 + 𝑐1 
 
Trocando os lados, iremos isolar 𝑐1 : 
 
−02 + 2 . 0 + 𝑐1 = 𝑙𝑛(3) ∴ 𝑐1 = 𝑙𝑛(3) 
 
E para 𝑙𝑛(𝑦) = −𝑡2 + 2𝑡 + 𝑐1 ficar de acordo, vamos substituir 𝑐1: 
 
𝑙𝑛(𝑦) = −𝑡2 + 2𝑡 + 𝑙𝑛(3) 
 
Agora iremos isolar y e aplicar a propriedade dos logaritmos: 𝒂 = 𝒍𝒐𝒈𝒃(𝒃
𝒂) 
Porém, quando os logaritmos possuem a mesma base, 
 𝒍𝒐𝒈𝒃(𝒇(𝒙)) = 𝒍𝒐𝒈𝒃(𝒈(𝒙)) → 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙) , portanto: 
 
−𝑡2 + 2𝑡 + 𝑙𝑛(3) = 𝑙𝑛(𝑒−𝑡
2+2𝑡+𝑙𝑛(3)) = 𝑙𝑛(3𝑒−𝑡
2+2𝑡) 
 
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(3𝑒−𝑡
2+2𝑡) ∴ 𝑦 = 3𝑒−𝑡
2+2𝑡 
 
Verificando a solução diante da aplicação das condições iniciais, temos que 
𝑦(0) = 3. 
 
𝑦 = 3𝑒−𝑡
2+2𝑡: 3 = 3𝑒−0
2+2 .0: 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜 
 
Assim sendo, a solução final para 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑦 − 2𝑦𝑡 é: 
 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑦) = 2𝑦 − 2𝑦𝑡, 𝑦(0) = 3: 𝑦 = 3𝑒−𝑡
2+2𝑡 
 
 
 
4) Uma cerveja que estava a 35º F ficou fora do congelador por 3 minutos e 
aqueceu para 40º F, enquanto na sala a temperatura ambiente era de 70º F. 
Qual será a temperatura da cerveja se ela for deixada por 20 minutos fora do 
congelador? 
 
Para resolver este problema, usei a fórmula da lei de resfriamento de Newton, 
expressa por ∆𝑇 = −𝐾(𝑇𝑐 − 𝑇𝑎)∆𝑡 , onde ∆𝑇 é a Variação de temperatura , -K 
é a constante de aquecimento, Tc é a Temperatura inicial do corpo, Ta é a 
Temperatura do ambiente e ∆𝑡 é a variação de tempo. 
 
O enunciado do problema nos fornece dados suficientes para efetuar as 
substituições necessárias na fórmula. 
 
 A variação de temperatura nos é dada no enunciado, onde se informa que 
“Uma cerveja que estava a 35º F... aqueceu para 40°F...”, logo, a variação é de 
5°F. A temperatura do ambiente também é citada no trecho “...na sala a 
temperatura ... era de 70°F”. Igualmente, a variação do tempo é informada no 
trecho “...ficou fora do congelador por 3 minutos...”. 
 
Resta, portanto, neste primeiro momento, determinar a constante de 
resfriamento, que nosso caso é o inverso (ou seja, o aquecimento), grandeza a 
ser calculada para balanceamento da fórmula. Obtendo-se esse dado, 
realizaremos novamente as devidas substituições na fórmula para calcular, 
agora sim, a variação de temperatura decorrente do maior tempo de exposição 
ao ambiente, que somada à temperatura inicial da cerveja nos fornecerá, afinal, 
a resposta solicitada no enunciado “Qual será a temperatura da cerveja se ela 
for deixada por 20 minutos fora do congelador?”. 
 
Vamos aos cálculos: 
 
∆𝑇 = −𝐾(𝑇𝑐 − 𝑇𝑎)∆𝑡 ∴ 5 = −𝐾(35 − 70)3 
 
Primeiro, trocamos os lados da equação: 
 
−𝐾(35 − 70)3 = 5 
 
Agora, dividimos ambos os lados por −(35 − 70). 3, que é a parte numérica da 
equação, para isolarmos a parte literal que é nossa constante K: 
 
−𝐾. (35 − 70). 3
−(35 − 70). 3
=
5
−(35 − 70). 3
 
 
 
 
 
 
 
 
Realizamos agora a simplificação da equação, um lado de cada vez: 
 
 
−𝐾.(35−70).3
−(35−70).3
 ∴ =
−𝐾.(−35).3
−(−35).3
 ∴ =
−𝐾.−105
105
 ∴ =
105𝐾
105
 ∴ = 𝐾 
5
−(35−70).3
 ∴ =
5
−(−35).3
 ∴ =
5
105
 ∴ =
1
21
 
 
 
Reintegrando os elementos da equação, temos agora o valor da constante K: 
 
𝐾 =
1
21
 ∴ 𝐾 = 0,04762 … 
 
Isto feito, podemos agora realizar o cálculo que irá nos responder o enunciado 
do problema, efetuando as devidas substituições. 
 
∆𝑇 = −𝐾(𝑇𝑐 − 𝑇𝑎)∆𝑡 ∴ ∆𝑇 = −
1
21
. (35 − 70). 20 
 
Primeiro, reorganizamos os elementos da equação: 
 
∆𝑇 = −(35 − 70). 20.
1
21
 
 
Agora, realizamos primeiramente a operação interna aos parênteses, que é o 
primeiro cálculo numérico da equação por hierarquia: 
 
∆𝑇 = −(−35). 20.
1
21
 
 
Aplicamos agora a regra de sinais e de multiplicação de frações: 
 
∆𝑇 =
1.20.35
21
 
 
Obtemos assim o valor fracionário calculado de ∆𝑇,após a eliminação do fator 
comum, bem como seu valor decimal: 
 
∆𝑇 =
700
21
 ∴ ∆𝑇 =
100
3
 ∴ ∆𝑇 = 33,333 … 
 
 
 
 
 
Agora, somado o valor obtido ao valor da temperatura inicial informada no 
enunciado, obtemos a resposta solicitada no problema: 
 
Após 20 minutos fora do congelador, a referida cerveja teve sua temperatura 
elevada de 35°F para 68,333...°F, ou seja, quase a mesma temperatura do 
ambiente. 
 
 
5) Um circuito RC com um resistor de 1Ω e um capacitor de 0,000001 F é 
alimentado por uma tensão E(t) = sen100t V. Se a tensão inicial do capacitor é 
zero, determine as tensões subsequentes do resistor e do capacitor, bem como 
a corrente. 
 
R.: Vamos primeiramente calcular a carga 𝒒(𝒕), tendo em vista que nos foi 
informado os valores de 𝑹 = 𝟏, 𝑪 = 𝟏𝟎−𝟔 𝒆 𝑬𝟗𝒕) = 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕). 
 
𝒅𝒒
𝒅𝒕
+ 𝟏𝟎−𝟔𝒒 = 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕) 𝒒(𝟎) 
 
O fator integrante é dado por: 
 
𝒅𝒅𝒕
(𝒒(𝒕)𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕) = 𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕) 
 
Integrando os dois lados com relação a 𝒕 e isolando 𝒒(𝒕), encontramos: 
 
𝒒(𝒕) =
𝟏
𝒆𝟏𝟎𝟔𝒕
(∫ 𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕)𝒅𝒕 + 𝑲) 
 
Dessa maneira, para encontrar a carga 𝒒(𝒕), precisamos primeiramente 
resolver a integral. Usarei o método de integração por partes em dois 
momentos. Inicialmente, usando 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕) e 𝒅𝒗 = 𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒅𝒕. 
 
∫ 𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕)𝒅𝒕 =
𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕)
𝟏𝟎𝟔
−
𝟏
𝟏𝟎𝟒
∫ 𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕)𝒅𝒕 
 
 
Seguindo o mesmo raciocínio do lado direito, usando 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕) e 
𝒅𝒗 = 𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒅𝒕, ficamos assim: 
 
 
∫ 𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕)𝒅𝒕 =
𝟏𝟎𝟎𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕)
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
−
𝒆𝟏𝟎
𝟔𝒕𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟎𝟎𝒕)𝒅𝒕
(𝟏𝟎𝟖 + 𝟏)𝟏𝟎²
 
 
 
 
 
Retomando o detalhe da equação para determinar a carga 𝒒(𝒕), e fazendo a 
substituição do valor encontrado na integral, temos o seguinte: 
 
𝒒(𝒕) =
𝟏𝟎𝟎𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕)
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
−
𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟎𝟎𝒕)
(𝟏𝟎𝟖 + 𝟏)𝟏𝟎²
+
𝑲
𝒆𝟏𝟎𝟔𝒕
 
 
Porém, devido ao fato de estarmos admitindo que a condição de início é 
𝒒(𝒕) = 𝟎, precisamos aplicar esse dado nesta última equação para determinar 
o valor de 𝑲. O valor encontrado para o mesmo foi 𝑲 =
𝟏
(𝟏𝟎
𝟖
+𝟏)𝟏𝟎²
 . Dessa 
forma, vamos admitir que a equação da carga nestas circunstâncias seja: 
 
 
 𝒒(𝒕) =
𝟏𝟎𝟎𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕)
𝟏𝟎𝟖+𝟏
−
𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟎𝟎𝒕)
(𝟏𝟎𝟖+𝟏)𝟏𝟎²
+
𝒆−𝟏𝟎
𝟔𝒕
(𝟏𝟎𝟖+𝟏)𝟏𝟎²
 
 
Enfim, depois dessa verdadeira maratona cerebral, eis que chegamos à uma 
equação que satisfizesse a condição para encontrar a carga, para somente 
agora calcular qual será a equação que determina a corrente 𝑰(𝒕) e as tensões 
tanto no capacitor, quanto no resistor, 𝑬𝒄(𝒕) e 𝑬𝒓(𝒕) respectivamente. Só para 
refrescar a memória: 
 
𝑰(𝒕) =
𝒅𝒒
𝒅𝒕
(𝒕); 𝑬𝒓(𝒕) = 𝑹𝑰(𝒕); 𝑬𝒄(𝒕) =
𝒒(𝒕)
𝑪
 
 
 
Concluindo, derivando a função q(t) encontramos a corrente e a tensão sobre 
o resistor, já que R=1; e multiplicando-se essa carga por 𝟏𝟎𝟔 chegamos à 
tensão no capacitor. Finalmente, determinamos as seguintes fórmulas: 
 
𝑰(𝒕) =
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟎𝟎𝒕) +
𝟏
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕) −
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒆−𝟏𝟎
𝟔𝒕 
 
𝑬𝒓(𝒕) =
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟎𝟎𝒕) +
𝟏
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕) −
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒆−𝟏𝟎
𝟔𝒕 
 
𝑬𝒄(𝒕) =
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟎𝟎𝒕) +
𝟏𝟎𝟖
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒔𝒆𝒏(𝟏𝟎𝟎𝒕) +
𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟖 + 𝟏
𝒆−𝟏𝟎
𝟔𝒕