Encontre as soluções gerais das seguintes equações diferenciais de segunda ordem: a) y′′ + y′ = e−x. b) y′′ + y(y′)3 = 0. c) y′′ − 9y′ + 20y = ...

a) y′′ + y′ = e−x. Para resolver essa equação, primeiro encontramos a equação característica: r² + r = 0 r(r + 1) = 0 r1 = 0 e r2 = -1 Portanto, a solução geral da equação homogênea é: y_h(x) = c1 + c2 * e^(-x) Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea. Como o lado direito é e^(-x), podemos tentar uma solução particular na forma de y_p(x) = Ae^(-x), onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo y_p(x) na equação original, temos: Ae^(-x) - Ae^(-x) = e^(-x) A = -1 Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y(x) = c1 + c2 * e^(-x) - e^(-x) b) y′′ + y(y′)³ = 0. Para resolver essa equação, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, dividimos ambos os lados por y(y')³: y''/y(y')³ + 1/y(y')² = 0 Agora, fazemos a substituição u = y': y''/u³ + 1/u² = 0 Multiplicando ambos os lados por u³, temos: y''u + u' = 0 Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser resolvida usando o método de separação de variáveis: y''/y' = -1/u Integrando ambos os lados em relação a x, temos: ln|y'| = -ln|u| + c1 y' = c2/u Substituindo u = y', temos: y'² = c2/y Integrando ambos os lados em relação a x, temos: y = c3 - (2c2/x) + c4x Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y(x) = c3 - (2c2/x) + c4x c) y′′ − 9y′ + 20y = 0. Para resolver essa equação, primeiro encontramos a equação característica: r² - 9r + 20 = 0 (r - 4)(r - 5) = 0 r1 = 4 e r2 = 5 Portanto, a solução geral da equação homogênea é: y_h(x) = c1 * e^(4x) + c2 * e^(5x) d) y′′ − 2y′ + 4y = 0. Para resolver essa equação, primeiro encontramos a equação característica: r² - 2r + 4 = 0 r = (2 ± sqrt(-12))/2 r1 = 1 + 1.732i e r2 = 1 - 1.732i Portanto, a solução geral da equação homogênea é: y_h(x) = e^x(c1 * cos(sqrt(3)x) + c2 * sin(sqrt(3)x))