7) Em cada um dos problemas a seguir, mostre que as equações são homogêneas e resolva as equações diferenciais. 1) dy/dx = x+ y/x; 2) dy/dx =...

Para mostrar que uma equação diferencial é homogênea, é necessário verificar se ela pode ser escrita na forma f(y/x) = g(x), onde f e g são funções. Se a equação pode ser escrita dessa forma, ela é homogênea. 1) A equação dy/dx = x + y/x pode ser reescrita como y/x + dy/dx = x + y/x, ou seja, y/x + d(y/x)/dx = x + y/x. Substituindo v = y/x, temos v + dv/dx = x + v, que é uma equação homogênea. Para resolvê-la, podemos reescrevê-la como dv/(v-x) = dx, integrando ambos os lados, obtemos ln|v-x| = x^2/2 + C, onde C é uma constante de integração. Substituindo v = y/x, temos ln|y-x^2| = x^2/2 + C, que é a solução geral da equação diferencial. 2) A equação dy/dx = x^2 + xy + y^2/x^2 não é homogênea, pois não pode ser escrita na forma f(y/x) = g(x). No entanto, podemos transformá-la em uma equação homogênea usando a substituição y = vx. Temos que dy/dx = v + x dv/dx, substituindo na equação original, obtemos v + x dv/dx = x^2 + vx + v^2/x^2. Multiplicando ambos os lados por x^2, temos x^2 dv/dx + xv = x^4v + x^3v^2 + v^2. Reorganizando os termos, temos (x^2 - v^2) dv/dx = (x^4 - xv - v^2)x. Substituindo v = y/x, temos (x^2 - y^2/x^2) dy/dx = (x^3 - y)dx, que é uma equação homogênea. Para resolvê-la, podemos fazer a substituição u = y/x, que nos dá (1 - u^2) du/dx = (x^3 - ux) / x^2. Separando as variáveis e integrando, obtemos ln|u^2 - 1| = x^4/4 - u^2/2 + C, onde C é uma constante de integração. Substituindo u = y/x, temos ln|y^2 - x^2| = x^4/4 - (y/x)^2/2 + C, que é a solução geral da equação diferencial. 3) A equação dy/dx = (4y - 3x) / (2x - y) não é homogênea, pois não pode ser escrita na forma f(y/x) = g(x). No entanto, podemos transformá-la em uma equação homogênea usando a substituição u = y/x. Temos que dy/dx = u + x du/dx, substituindo na equação original, obtemos u + x du/dx = (4u - 3) / (2 - u). Multiplicando ambos os lados por (2 - u), temos x du/dx = (4u - 3 - 2u^2 + u) / (2 - u). Separando as variáveis e integrando, obtemos ln|2 - u| = -3x/2 + ln|u - 1| + C, onde C é uma constante de integração. Substituindo u = y/x, temos ln|2 - y/x| = -3x/2 + ln|y/x - 1| + C, que é a solução geral da equação diferencial. 4) A equação dy/dx = (x + 3y) / (x - y) não é homogênea, pois não pode ser escrita na forma f(y/x) = g(x). No entanto, podemos transformá-la em uma equação homogênea usando a substituição u = y/x. Temos que dy/dx = u + x du/dx, substituindo na equação original, obtemos u + x du/dx = (1 + 3u) / (1 - u). Multiplicando ambos os lados por (1 - u), temos x du/dx = (1 + 3u - u^2 - 3u^3) / (1 - u). Separando as variáveis e integrando, obtemos ln|1 - u| = x + 2ln|u + 1| - ln|3u - 1| + C, onde C é uma constante de integração. Substituindo u = y/x, temos ln|x - y| = x + 2ln|y/x + 1| - ln|3y/x - 1| + C, que é a solução geral da equação diferencial. 5) A equação dy/dx = (4x^2y - y^3) / (x^3 - 2xy^2) não é homogênea, pois não pode ser escrita na forma f(y/x) = g(x). No entanto, podemos transformá-la em uma equação homogênea usando a substituição u = y/x. Temos que dy/dx = u + x du/dx, substituindo na equação original, obtemos u + x du/dx = (4u - u^3) / (1 - 2u^2). Multiplicando ambos os lados por (1 - 2u^2), temos x du/dx = (4u - u^3 - 2u^5) / (1 - 2u^2). Separando as variáveis e integrando, obtemos ln|1 - 2u^2| = -2ln|x| + ln|u^4 - u^2 + 1| + C, onde C é uma constante de integração. Substituindo u = y/x, temos ln|x^2 - y^2| = -2ln|x| + ln|y^4 - x^2y^2 + x^4| + C, que é a solução geral da equação diferencial. 6) A equação dy/dx = (x^2 - 3y^2) / (2xy) não é homogênea, pois não pode ser escrita na forma f(y/x) = g(x). No entanto, podemos transformá-la em uma equação homogênea usando a substituição u = y/x. Temos que dy/dx = u + x du/dx, substituindo na equação original, obtemos u + x du/dx = (1/2)u - (3/2)u^3. Multiplicando ambos os lados por 2/u, temos x du/dx = (1 - 3u^2) / u. Separando as variáveis e integrando, obtemos ln|u| = x/2 + ln|u^2 - 1| + C, onde C é uma constante de integração. Substituindo u = y/x, temos ln|y| = x/2 + ln|y^2 - x^2| + C, que é a solução geral da equação diferencial.