Movimento Harmonico Simples

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MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
discente:
henry yuzo Aoyague
Rosana
Outubro de 2018
RESUMO
O movimento harmônico simples (MHS) é o movimento oscilatório ocorrido quando a aceleração e a força resultante são proporcionais e opõem ao deslocamento. É um tipo de frequência do movimento, onde oscila a massa. É explicável por um modelo matemático para alguns movimentos vibratórios observáveis em alguns fenômenos (pêndulo ou vibração molecular). Um movimento é dito oscilatório quando a massa se desloca sobre uma mesma trajetória (mola), indo e vindo de um lado para outro em relação a uma posição média de equilíbrio. Os experimentos realizados relatados nesse documento visa estudar justamente o MHS para um sistema massa-mola, analisar principalmente a constante elástica da mola e o período das oscilações, além de mostrar que é possível calcular a constante elástica tanto pelo MHS, tanto pela relação da Lei de Hooke e da Segunda Lei de Newton. Para isso o experimento foi separado em duas partes, a parte A onde é analisado o MHS em si e onde é calculado os valores da constante elástica, de valor igual a 17,85 N/m e seu erro percentual de 10,75%, que apesar de alto, ainda se encontra em valores aceitáveis dentro do padrão de 15% de erro, além das variáveis envolvidas no MHS como a amplitude de 0,09 m e do período das oscilações de 0,589 s. Já na segunda parte do experimento é provado que a constante elástica também pode ser calculada pela relação da Lei de Hooke e da Segunda Lei de Newton e também que o não houve erro percentual em relação ao cálculo do período experimental e ao período teórico.
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Palavras-chaves: Movimento harmônico simples. MHS. Mola e massa. Ponto de equilíbrio. Força elástica. Deslocamento. Lei de Hooke.
INTRODUÇÃO
Num modelo físico construído com molas e massas, o movimento harmônico simples, abreviado por MHS, ocorre quando a força restauradora F é diretamente proporcional ao descolamento x (um movimento de “vai e vem”) da posição de equilíbrio, que consiste é o ponto médio da trajetória, a elongação é numericamente igual a zero (x=0), consequentemente a força resultante que atua neste momento também é nula (F=0). Este ponto onde a força é anulada é denominado ponto de equilíbrio do movimento. Tudo isso ocorre quando obedece à lei de Hooke. 
Partindo do ponto de equilíbrio, ao ser "puxado" o bloco, a força elástica será aumentada, e como esta é uma força restauradora e não estamos considerando as dissipações de energia, o oscilador deve se manter em MHS [1]. 
Para observar melhor o que ocorre neste processo observe a figura: 
 
Figura 1: Um corpo suspenso na extremidade de uma mola.
Fonte: Young e Friedman - 12ªed
 
A Figura 1 mostra três momentos, o primeiro mostra uma mola suspensa que obedece a lei de Hooke, a segunda mostra um corpo suspenso na extremidade da mola está em equilíbrio quando a força da mola de baixo para cima possui modulo igual ao do peso do corpo logo em seguida o corpo sofre um deslocamento a partir da posição de equilíbrio, a força restauradora do corpo proporcional a esse descolamento, estas oscilações constituem um MHS. Mas, como o peso não varia conforme o movimento, este pode ser considerado como uma constante. Assim, a força varia proporcionalmente à elongação do movimento [2]. 
Sabe-se que a aceleração escalar de uma partícula em movimento harmônico simples, em uma posição x, pode ser determinada pelas seguintes equações: 
 (1)
Portanto:
 (2)
 	
Fazendo a relação de igualdade entre as equações (1) e (2), podemos determinar o valor da constante elástica (k) da mola, assim temos: 
 (3)
 	
Outra relação que podemos fazer, a partir da equação (3) pode ser observada abaixo:
 (4)
Como , temos que: 
 =
 (5)
Rearranjando a equação para achar a constante k, expressamos: 
 
	 (6)
Como:
Então 	,
v(t) = −ω. A. sen .ωt (7)
Ainda podemos rearranjar a equação (7) com a frequência angular, obtendo: 
 (8)
 
OBJETIVO
Este relatório tem por objetivo estudar o Movimento Harmônico Simples (MHS) para um sistema massa-mola. Verificar a relação do período de oscilação e a massa do corpo. Analisar o comportamento estático e dinâmico de um sistema massa-mola suspenso, além de apurar que o comportamento estático de uma mola, para pequenas deformações é corretamente descrito pela Lei de Hooke. 
MATERIAIS E MÉTODOS
Materiais
Suporte móvel de molas com ponteiro;
Conjunto de massas e gancho 93 mm; 
03 massas acopláveis de 50 g;
Gancho curto de 93 mm;
Contrapeso acoplável 23 g;
Mola de tração , 110 mm; 
Tripé universal Wackerritt com sapatas; 
Régua com Escala Milimétrica; 
Metodologia
Figura 1: Sistema massa e mola
Fonte: Elaborada pelo próprio autor
Inicialmente foi realizado a montagem do conjunto como na Fig.1 em seguida anotou-se a sua posição de equilíbrio. Posteriormente a mola foi estendida em 10 mm e solta, provocando assim um movimento oscilatório no qual foram registradas o tempo de 10 oscilações e observou-se a sua amplitude. O processo foi realizado três vezes e foi feito a média dos tempos das oscilações.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Parte A
A massa total utilizada no experimento pode ser observada na tabela 1 abaixo.
Tabela 1: Massa total dos pesos e do gancho em quilogramas.
	Componentes
	Peso (kg)
	Massa 1
	0.4994
	Massa 2
	0.5004
	Massa 3
	0.5007
	Gancho
	0.0685
	Total
	0.1569
Fonte: Elaborada pelo próprio autor
O ponto de equilíbrio encontrado foi de 0,090 m. Após ter determinado o ponto de equilíbrio, a mola foi distendida em 10 mm e isso resultou no movimento oscilatório realizado pela força potencial elástica da mola.
Ao decorrer do tempo foi possível observar que a amplitude sofreu uma redução e a frequência tende a abaixar até que o sistema deixe de oscilar, ou seja, volte ao estado de equilíbrio. Duas causas que contribuem para que isso ocorra é que há uma força restauradora representada por: 
 (9) 
Essa força tende a fazer com que a massa retorne até a posição de equilíbrio ou repouso. Outro motivo para que o sistema sempre volte a posição de equilíbrio seria a dissipação da energia mecânica do sistema. 
A fim de determinar a constante elástica da mola (k), foi mensurado três tempos diferentes em um período (T) de 10 oscilações, com um peso de três massas de 0,1569 kg no total. Conforme a tabela 2: 
Tabela 2: Relação entre tempo e as distensões.
	Distensão
	Tempo (s)
	Distensão 1
	5.91
	Distensão 2
	5.90
	Distensão 3
	5.88
		Média
	5.89
	Média de 1 oscilação
	0.589
Fonte: Elaborado pelo próprio autor. 
Para encontrar a constante elástica da mola (k) a equação (5) foi utilizada: 
Através da constante obtida e a constante informada pelo fabricante podemos calcular o erro percentual entre eles pela seguinte equação:
 (10)
Após determinada a constante elástica (k) e o erro percentual, foi calculada a elongação necessária para ocorrer um deposito energético de 0,3 J na energia potencial da mola, por meio da equação da energia potencial elástica:
 (11)
0,183 m
Como o ponto de equilíbrio do sistema se encontra em 0,090m é necessária uma elongação de 0,093 m.
Com o sistema solto calculou-se a frequência do mesmo e o período do MHS executado pela massa de 0,1569 kg.
Para o cálculo da frequência foi utilizado a equação abaixo:
 (12)
 
E para o período a equação (5) foi utilizada:
A pulsação () e a energia potencial elástica contida na mola no ponto médio da trajetória também podem ser calculadas. Utilizando a equação , assim obtemos os seguintes resultados:
A energia potencial elástica é dada por:
 (13)
Por fim para encontramos a velocidade instantânea é utilizada a equação (8):
 
Parte B
Na segunda parte do experimento o mesmo procedimento foi realizado, porém foi comparado o oscilador massa + mola através da segunda lei de newton 
(𝐹 = 𝑀𝑎), sendo assim igualando a mesma com a lei de Hooke (𝐹 = −𝑘𝑥), obtendo a equação (9). Portanto, é possível isolar a aceleração (𝑎): 
 
 = 10,24 m/s2
E ao isolar a constante elástica (k), resulta em: 
 
Observando o valor obtido na primeira parte do procedimento, e comparando com a relação da lei de Hooke e Segunda lei de Newton, pode-se observar que foi o mesmo, ou seja, a relação de massa-mola na vertical através de um MHS pode ser observado de duas formas, sempre dependendo das incógnitas relacionadas ao problema e solucionando cada uma delas de uma forma mais simples. 
Através dos dados obtidos experimentalmente observamos que o sistema massa-mola depende da força aplicada sobre o mesmo, e que essa grandeza é inversamente proporcional ao período de cada oscilação (T). Ao analisarmos as oscilações do sistema, esticando a mola em 10 cm, pode se observar que a mesma irá sempre voltar ao seu ponto de equilíbrio (𝑥𝑒𝑞), denominado quando a mesma está sobre repouso. 
 
 
CONCLUSÃO
A partir dos dados obtidos podemos concluir que para a associação em série, quanto maior o número de espiras menor será a constante de elasticidade equivalente (k). Também pode-se concluir que o erro percentual do cálculo da constante elástica em ralação à constante fornecida pelo fabricante, foi de 10,75%, o mesmo deve decorrer devido a cronometragem errônea do tempo das 10 oscilações.
Entretanto vale ressaltar que a obtenção do período experimental não houve erro algum, pois ambos, período experimental e teórica, tiverem o mesmo valor. 
Em adicional, também foi possível concluir que o a constante elástica pode ser determinada tanto pela relação da Lei de Hooke e a Segunda de Newton tanto pelo Movimento Harmônico Simples.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] - SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. 12. ed. São Paulo, SP: Pearson Addison Wesley, c2008-2009 vol 1;
[2] - ] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. 8. ed. Rio de Janeiro, RJ: LTC, c2009 vol 1;